是最小值 【评注】本题属基本题型,只是函数表达式由驻点给出,求极值与最值的要求均是 最基本的 类似例题见《数学复习指南》P144【例6.11-12】 七、(本题满分9分) 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1)B(1,0)的一段连续曲线,Mxy)为该曲线上任意 点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为 ,求f(x)的表达式 【分析】梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到,曲边三角形CBM的面 积可用定积分计算,再由题设,可得一含有变限积分的等式,两边求导后可转化为一阶线性 微分方程,然后用通解公式计算即可 【详解】根据题意,有 5[1+f(x)]+f(dt=x 两边关于x求导,得 1+f(x)+=xf(x)-f(x) 当x≠0时,得 f(x)--f(x) 此为标准的一阶线性非齐次微分方程,其通解为 f(r=eI[ =elnxrfx2-1-In-sdx+C x( x+1+Cx 当ⅹ=0时,fO)=1 由于x=1时,f()=0,故有2C=0,从而C=2.所以 f(x)=x2+1-2x=(x-1 【评注】本题一阶线性微分方程的求解比较简单,一般教材中都可找到标准的求解方 法,完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P290第七题9 是最小值. 【评注】 本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是 最基本的. 类似例题见《数学复习指南》P.144【例 6.11-12】. 七、（本题满分 9 分） 设 y=f(x) 是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一 点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 3 1 6 3 + x ，求 f(x)的表达式. 【分析】 梯形 OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形 CBM 的面 积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性 微分方程，然后用通解公式计算即可. 【详解】 根据题意，有 3 1 6 [1 ( )] ( ) 2 1 3 + + = + x x f x f t dt x . 两边关于 x 求导，得 . 2 1 ( ) ( ) 2 1 [1 ( )] 2 1 2 + f x + xf  x − f x = x 当 x  0 时，得 . 1 ( ) 1 ( ) 2 x x f x x f x −  − = 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y ] 1 ( ) [ 1 2 1 e dx C x x f x e dx x dx x +  −  = − − −  A = ] 1 [ ln 2 ln e dx C x x e x x + − −  M = ) 1 ( 2 2 dx C x x x + −  O C B x = 1 . 2 x + + Cx 当 x=0 时，f(0)=1. 由于 x=1 时，f(1)=0 ,故有 2+C=0，从而 C=-2. 所以 ( ) 1 2 ( 1) . 2 2 f x = x + − x = x − 【评注】 本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方 法，完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.290 第七题