微分流形上微分学——流形上的联络 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11切向量丛、余切向量丛及张量丛 切向量丛定义为 TM会∪{×{TpM p∈M 基于M上的局部坐标叭(x),则有 {p}×TpM~ ∈Rm+ 如当地另有局部坐标v(y),则有 {p}×TpM~ ∈R 且有 P axj (a)XD, i 此即切向量分量在不同参数域下的转换关系.由此,TM可认识为m+m维流形. 余切向量丛定义为 TM会∪}×{T1 对局部坐标(x)和(y),分别有 p}×TM ×(:dx2 ∈Rm+m v {p}×TpM yp微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的联络 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 切向量丛、余切向量丛及张量丛 切向量丛定义为 TM , ∪ p∈M {p} × {TpM}. 基于 M 上的局部坐标 ϕ(x), 则有 {p} × TpM ∼   x 1 p . . . x m p   × ( x Xi p ∂ ∂xi ) ∼   x 1 p . . . x m p   ×   x X1 p . . . x Xm p   ∈ R m+m. 如当地另有局部坐标 ψ(y), 则有 {p} × TpM ∼   y 1 p . . . y m p   × ( y Xi p ∂ ∂yi ) ∼   y 1 p . . . y m p   ×   y X1 p . . . y Xm p   ∈ R m+m, 且有 y Xi p = ∂yi ∂xj (x) x Xj p , i = 1, · · · , m, 此即切向量分量在不同参数域下的转换关系. 由此, TM 可认识为 m + m 维流形. 余切向量丛定义为 T ∗M , ∪ p∈M {p} × {T ∗ p M}. 对局部坐标 ϕ(x) 和 ψ(y), 分别有 {p} × T ∗ p M ∼   x 1 p . . . x m p   × (x θidx i ) ∼   x 1 p . . . x m p   ×   x θ1 . . . x θm   ∈ R m+m, {p} × T ∗ p M ∼   y 1 p . . . y m p   × (y θidy i ) ∼   y 1 p . . . y m p   ×   y θi . . . y θm   ∈ R m+m, 1