微分流形上微分学——流形上的联络 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11切向量丛、余切向量丛及张量丛 切向量丛定义为 TM会∪{×{TpM p∈M 基于M上的局部坐标叭(x),则有 {p}×TpM~ ∈Rm+ 如当地另有局部坐标v(y),则有 {p}×TpM~ ∈R 且有 P axj (a)XD, i 此即切向量分量在不同参数域下的转换关系.由此,TM可认识为m+m维流形. 余切向量丛定义为 TM会∪}×{T1 对局部坐标(x)和(y),分别有 p}×TM ×(:dx2 ∈Rm+m v {p}×TpM yp
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的联络 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 切向量丛、余切向量丛及张量丛 切向量丛定义为 TM , ∪ p∈M {p} × {TpM}. 基于 M 上的局部坐标 ϕ(x), 则有 {p} × TpM ∼ x 1 p . . . x m p × ( x Xi p ∂ ∂xi ) ∼ x 1 p . . . x m p × x X1 p . . . x Xm p ∈ R m+m. 如当地另有局部坐标 ψ(y), 则有 {p} × TpM ∼ y 1 p . . . y m p × ( y Xi p ∂ ∂yi ) ∼ y 1 p . . . y m p × y X1 p . . . y Xm p ∈ R m+m, 且有 y Xi p = ∂yi ∂xj (x) x Xj p , i = 1, · · · , m, 此即切向量分量在不同参数域下的转换关系. 由此, TM 可认识为 m + m 维流形. 余切向量丛定义为 T ∗M , ∪ p∈M {p} × {T ∗ p M}. 对局部坐标 ϕ(x) 和 ψ(y), 分别有 {p} × T ∗ p M ∼ x 1 p . . . x m p × (x θidx i ) ∼ x 1 p . . . x m p × x θ1 . . . x θm ∈ R m+m, {p} × T ∗ p M ∼ y 1 p . . . y m p × (y θidy i ) ∼ y 1 p . . . y m p × y θi . . . y θm ∈ R m+m, 1
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 且有 (y)6j 由此,T*M可认识为m+m维流形 张量丛定义为 831TM会∪p}×81TM 对局部坐标系(x)和v(y),分别有 p}×81Tp a* ∈ Rm p 3/ 且有 由此,811TM可认识为m+m2维流形 对⑧TM=∪p}×8”TM,可有 M3=…可 azir o de e .o dr, 故⑧TM可认识为m+m+s维流形 切向量丛、余切向量丛以及张量丛如图1所示.微分几何中切向量丛、余切向量丛以及张量 从又可统称为向量丛;向量丛本质上为在流形的每一点附加切向量、余切向量或者张量空间,这 种附属的空间又称为纤维.在流形上每一点确定一个切向量、余切向量或者张量(从相应的空间 中确定),则形成切向量场、余切向量场或者张量场.微分几何中切向量场、余切向量场以及张量 场又可统称为向量场 12一般向量丛及其上的联络 定义1.1(向量丛上的联络).设u∈6∞(E)为流形上的光滑向量场,定义 xu:(TM)×6(E) 6(E) 满足 1.对vf,g∈6∞(M),X,Y∈6(TM),有 V fVxw +9V
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 且有 y θi = ∂xj ∂yi (y) x θj , i = 1, · · · , m, 由此, T ∗M 可认识为 m + m 维流形. 张量丛定义为 ⊗ 1,1TM , ∪ p∈M {p} × ⊗1,1TpM. 对局部坐标系 ϕ(x) 和 ψ(y), 分别有 {p} × ⊗1,1TpM ∼ x 1 p . . . x m p × (x Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx i ) ∼ x 1 p . . . x m p × [ x Φ i ·j ] i,j=1,··· ,m ∈ R m+m2 , {p} × ⊗1,1TpM ∼ y 1 p . . . y m p × (y Φ i ·j ∂ ∗ ∂yi ⊗ dy i ) ∼ y 1 p . . . y m p × [ y Φ i ·j ] i,j=1,··· ,m ∈ R m+m2 , 且有 y Φ i ·j = ∂yi ∂xp (x) ∂xq ∂yj (y) x Φ p · q, i, j = 1, · · · , m, 由此, ⊗1,1TM 可认识为 m + m2 维流形. 对 ⊗ r,sTM = ∪ p∈M {p} × ⊗r,sTpM, 可有 ⊗ r,sTpM ∋ Φ = Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js , 故 ⊗r,sTM 可认识为 m + mr+s 维流形. 切向量丛、余切向量丛以及张量丛如图1所示. 微分几何中切向量丛、余切向量丛以及张量 丛又可统称为向量丛; 向量丛本质上为在流形的每一点附加切向量、余切向量或者张量空间, 这 种附属的空间又称为纤维. 在流形上每一点确定一个切向量、余切向量或者张量 (从相应的空间 中确定), 则形成切向量场、余切向量场或者张量场. 微分几何中切向量场、余切向量场以及张量 场又可统称为向量场. 1.2 一般向量丛及其上的联络 定义 1.1 (向量丛上的联络). 设 ω ∈ C ∞(E) 为流形上的光滑向量场, 定义 ∇Xω : C ∞(TM) × C ∞(E) ∋ {X, ω} 7→ ∇Xω ∈ C ∞(E), 满足: 1. 对 ∀ f, g ∈ C ∞(M), ∀ X,Y ∈ C ∞(TM), 有 ∇fX+gY ω = f∇Xω + g∇Y ω; 2
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 张量场 18… air e de'8…8dr∈C(T“M ②T,M 切向量场 T. M 余切向量场 微分流形M 图1:切向量丛、余切向量丛以及张量丛示意 2.对A1,A2∈R,G,山∈省∞(E),有 Vx(1G+A26)=A1Vxw+A2Vxw 3.对vf∈6∞( ∞(E),有 Vx(fω)=(Vxf)+fVx=X(f)u+∫xu 此处 xf全X(f) 在向量丛上亦可引入曲率张量 定义12(一般向量丛上的曲率张量) R(X,Y) )×6∞(TM)×8(E)3{X,Y,u} →R(X,Y) w=VxVYU- YIXu-Vxy∈(E) 式中,X,Y]为 Poisson括号,定义为 x,)=x(Y))-Y(X() 性质11(一般向量丛上的曲率张量的基本性质).一般向量丛上的曲率张量具有如下基本 性质 1. R(X, Y)w= fR(X, Y)w:
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 ⊗r,sTxαM TxαM T ∗ xαM ⊗r,sTxβM TxβM T ∗ xβM ⊗r,sTxγM TxγM T ∗ xγM 微分流形 M O x 1 α xm α xα O x 1 β xm β xβ O x 1 γ xm γ xγ 张量场 Φ = Φ i1···ir j1···js ∂ ∂xi1 ⊗ · · · ⊗ ∂ ∂xir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ∈ C∞(T ∗M) 切向量场 X = X i ∂ ∂xi ∈ C∞(TM) 余切向量场 θ = θidx i ∈ C∞(⊗r,sTM) 图 1: 切向量丛、余切向量丛以及张量丛示意 2. 对 ∀ λ1, λ2 ∈ R, ∀ ω˜ , ωˆ ∈ C ∞(E), 有 ∇X(λ1ω˜ + λ2ωˆ ) = λ1∇Xω˜ + λ2∇Xωˆ ; 3. 对 ∀ f ∈ C ∞(M), ∀ ω ∈ C ∞(E), 有 ∇X(fω) = (∇Xf)ω + f∇Xω = X(f)ω + f∇Xω, 此处 ∇Xf , X(f). 在向量丛上亦可引入曲率张量. 定义 1.2 (一般向量丛上的曲率张量). R(X,Y )ω : C ∞(TM)×C ∞(TM) × C ∞(E) ∋ {X,Y , ω} 7→ R(X,Y )ω , ∇X∇Y ω − ∇Y ∇Xω − ∇[X,Y ]ω ∈ C ∞(E). 式中, [X,Y ] 为 Poisson 括号, 定义为 [X,Y ](f) , X(Y (f)) − Y (X(f)). 性质 1.1 (一般向量丛上的曲率张量的基本性质). 一般向量丛上的曲率张量具有如下基本 性质: 1. R(fX,Y )ω = fR(X,Y )ω; 3
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 R(X, fYw=fR(X,Y) 3. R(X, Y(u)= fR(X, Y)w 证明由于性质中的(1)同(2)的证明类似,此处证明(2).计算 R(X, fYw=VxVfyw-V/YV 以下计算上式右端的各项 VxVyyw=Vx(Vyw)=X()Vyw+ fVx Vru VYVXU=fVYV Lx, /Y]=om, /yy o\2x'8r7(Y)aw"/ruOxi a X(Y+f XOY+f X(Y+fX,Y LX LX 故有 ∫(V VIX, YJw)=fR(X 以下证明(3).计算 R(X, Y)(fw)=VxVy(fw)-VrVx(fw)-VIx, YI(fw) 以下计算上式右端的各项 VxVy(u)=VxY(f)w+fVYw X(Y()w+Y(Vxw+ X()Vyw+fVx Vyw VyVx(f∞)=Y(X(f)+X(f)vyu+Y(f)Vx山+ fYX, fu)=[X, YI()w+f 考虑到 Ix, r()=x(Y())-Y(X() 则有 f(VxV 13切丛上的联络 将上述一般定义应用至切丛,此时 VxY:(TM)×6(TM){X,Y}+VxY∈6(TM), R(X,Y)z:8(TM)×6(M)×6(TM)3{X,Y,}+R(X,Y)z∈6∞(TM)
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 2. R(X, fY )ω = fR(X,Y )ω; 3. R(X,Y )(fω) = fR(X,Y )ω. 证明 由于性质中的 (1) 同 (2) 的证明类似, 此处证明 (2). 计算 R(X, fY )ω , ∇X∇fyω − ∇fY ∇Xω − ∇[X, fY ]ω. 以下计算上式右端的各项: ∇X∇fY ω = ∇X(f∇Y ω) = X(f)∇Y ω + f∇X∇Y ω, ∇fY ∇Xω = f∇Y ∇Xω, [X, fY ] = [ Xi ∂ ∂xi , fY j ∂ ∂xj ] = Xi ∂ ∂xi (fY j ) ∂ ∂xj − fY j ∂Xi ∂xj ∂ ∂xi = X(f)Y + fXi ∂Y j ∂xi ∂ ∂xj − fY j ∂Xi ∂xj ∂ ∂xi = X(f)Y + f [ Xi ∂ ∂xj , Y j ∂ ∂xj ] = X(f)Y + f[X, Y ], ∇[X, fY ]ω = X(f)∇Y ω + f∇[X, Y ]ω, 故有 f(∇X∇Y ω − ∇Y ∇Xω − ∇[X, Y ]ω) = fR(X,Y )ω. 以下证明 (3). 计算 R(X,Y )(fω) , ∇X∇Y (fω) − ∇Y ∇X(fω) − ∇[X, Y ] (fω). 以下计算上式右端的各项: ∇X∇Y (fω) = ∇X [Y (f)ω + f∇Y ω] , = X(Y (f))ω + Y (f)∇Xω + X(f)∇Y ω + f∇X∇Y ω ∇Y ∇X(fω) = Y (X(f))ω + X(f)∇Y ω + Y (f)∇Xω + f∇Y ∇Xω, ∇[X, Y ] (fω) = [X, Y ](f)ω + f∇[X, Y ]ω, 考虑到 [X, Y ](f) = X(Y (f)) − Y (X(f)), 则有 f(∇X∇Y ω − ∇Y ∇Xω − ∇[X, Y ]ω) = fR(X,Y )ω. 1.3 切丛上的联络 将上述一般定义应用至切丛, 此时 ∇XY : C ∞(TM) × C ∞(TM) ∋ {X,Y } 7→ ∇XY ∈ C ∞(TM), R(X,Y )Z : C ∞(TM) × C ∞(TM) × C ∞(TM) ∋ {X,Y , Z} 7→ R(X,Y )Z ∈ C ∞(TM). 4
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 另可再引入挠张量 T(X, Y): 6(TM)x6(TM)2X,Y+T(X,Y)=VxY-VYX-[X,Y ∈6(TM) 现由于联络、曲率张量、挠张量均为切向量,则可引入如下结构: 0 1.aan=1ak∈TM 0a) azxi'axj)ark 00 考虑到对f∈6∞(M),有 0,2a(a)/e ax ax 00 即 0∈6(TM).又考虑到 R(aB)aD品m品-品,品] ars 0Ii-+I下ar° rOs+IiVa、O +5几 即有 aI Fku=一I+a(x)-(x) 再考虑 T/a aev. b2 axt axt=(r azt Ti=Ni-N 可见,由于 Christtoffe号的两个协变指标对称l=l,亦即挠张量为零
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 另可再引入挠张量 T (X,Y ) : C ∞(TM) × C ∞(TM) ∋ {X,Y } 7→T (X,Y ) , ∇XY − ∇Y X − [X,Y ] ∈ C ∞(TM). 现由于联络、曲率张量、挠张量均为切向量, 则可引入如下结构: 1. ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj =: Γ k ij ∂ ∂xk ∈ TM; 2. R ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) ∂ ∂xk =: R s · kij ∂ ∂xs ; 3. T ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) =: Γ k ij ∂ ∂xk − Γ k ji ∂ ∂xk . 考虑到对 ∀ f ∈ C ∞(M), 有 [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] f , ∂ ∂xi ( ∂ ∂xj ) f − ∂ ∂xj ( ∂ ∂xi ) f = 0, 即 [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = 0 ∈ C ∞(TM). 又考虑到 R ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) ∂ ∂xk ,∇ ∂ ∂xi ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xk − ∇ ∂ ∂xj ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xk − ∇[ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] ∂ ∂xk = ∇ ∂ ∂xi ( Γ s jk ∂ ∂xs ) − ∇ ∂ ∂xj ( Γ s ik ∂ ∂xs ) = ∂Γs jk ∂xi ∂ ∂xs + Γ s jk∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xs − [ ∂Γs ik ∂xj (x) ∂ ∂xs + Γ s ik∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xs ] = [ ∂Γt jk ∂xi (x) + Γ s jkΓ t is − ∂Γt ik ∂xj (x) − Γ s ikΓ t js] ∂ ∂xt , 即有 R t ·kij = Γ s jkΓ t is − Γ s ikΓ t js + ∂Γt jk ∂xi (x) − ∂Γt ik ∂xi (x), 再考虑 T ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) ,∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj − ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi − [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = Γ t ij ∂ ∂xt − Γ t ji ∂ ∂xt = ( Γ t ij − Γ t ji) ∂ ∂xt , 可得 T t ij = Γ t ij − Γ t ji. 可见, 由于 Christtoffel 符号的两个协变指标对称 Γ t ij = Γ t ji, 亦即挠张量为零. 5
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 切向量场的联络,也可按联络定义直接计算 VxY=V a2( r ark (vr)02:+riv= d Orr(a)+rir x'vyk a 14余切丛上的联络 将前述的一般定义应用至余切从,此时 Vx:6(TM)×8(TM)3{X,6}+Vx∈8(TM), 此处 (VxO)(Y)X(0(Y)-(VxY)∈R,WY∈6(TM) 研究ⅤxO的表达式 (VxO)(Y)4X(e(r)-(VxY)=X(0, dr(r)-exviYj X2 ar (, Y )(x)-Oedr (riv ri a (6)(x)-6XV2Y7 a(a)Y3+dez(a)-e,/ayi 「ae Y axi tAsk (a)-rik8sy=: X' (V: Ok)Y [X'(V:Ok)dx1(), 即有 Vx0=Vxi_a(kdr)=XVa(.zk)=X' (V: Ok)dzE g(T*M) 此处、。。28()-可称为余切向量的分量1关于坐标x的协变导数.基于 VxO∈6(TM)的表达式,显见有 1.对vf,g∈6∞(M),X,Y∈6∞(TM),有 2.对A,∈R,V0,0∈8(TM),有 ⅴx(A+10)=AVx+pVx6;
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 切向量场的联络, 也可按联络定义直接计算 ∇XY = ∇Xl ∂ ∂xl ( Y i ∂ ∂xi ) = Xl∇ ∂ ∂xl ( Y i ∂ ∂xi ) = Xl [( ∇ ∂ ∂xl Y i ) ∂ ∂xi + Y i∇ ∂ ∂xl ∂ ∂xi ] = Xl [ ∂Y i ∂xl (x) ∂ ∂xi + Y iΓ k li ∂ ∂xk ] = Xl [ ∂Y k ∂xl (x) + Y iΓ k li] ∂ ∂xk = Xl∇lY k ∂ ∂xk . 1.4 余切丛上的联络 将前述的一般定义应用至余切丛, 此时 ∇Xθ : C ∞(TM) × C ∞(T ∗M) ∋ {X, θ} 7→ ∇Xθ ∈ C ∞(T ∗M), 此处 (∇Xθ)(Y ) , X(θ(Y )) − θ(∇XY ) ∈ R , ∀Y ∈ C ∞(TM). 研究 ∇Xθ 的表达式 (∇Xθ)(Y ) , X(θ(Y )) − θ(∇XY ) = X(θjdx j (Y )) − θ ( Xi∇iY j ∂ ∂xj ) = Xi ∂ ∂xi (θjY j )(x) − θkdx k ( Xi∇iY j ∂ ∂xj ) = Xi ∂ ∂xi (θjY j )(x) − θjXi∇iY j = Xi [ ∂θj ∂xi (x)Y j + θj ∂Y j ∂xi (x) − θj ( ∂Y j ∂xi + Γ j ikY k )] = Xi [ ∂θk ∂xi (x) − Γ s ikθs ] Y k =: Xi (∇iθk)Y k = [Xi (∇iθk)dx k ](Y ), 即有 ∇Xθ = ∇Xi ∂ ∂xi (θkdx k ) = Xi∇ ∂ ∂xi (θkdx k ) = Xi (∇iθk)dx k ∈ C ∞(T ∗M), 此处 ∇iθk , ∂θk ∂xi (x) − Γ s ikθs 可称为余切向量 θ 的分量 θi 关于坐标 x i 的协变导数. 基于 ∇Xθ ∈ C ∞(T ∗M) 的表达式, 显见有 1. 对 ∀ f, g ∈ C ∞(M), ∀ X,Y ∈ C ∞(TM), 有 ∇fX+gY θ = f∇Xθ + g∇Y θ; 2. 对 ∀ λ, µ ∈ R, ∀ θ˜, θˆ ∈ C ∞(TM), 有 ∇X(λθ˜ + µθˆ) = λ∇Xθ˜ + µ∇Xθˆ; 6
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 i fei)d (f03)(x)-rf0,da =fx(vd+/r20f、 fVx8+X()e 上述定义的Vxθ为T*M上的联络 1.5张量丛上的联络 将前述的一般定义应用至张量丛,此时 此处对v61,…,θr∈6(T“M),Y1,…,Ys∈(TM),满足 Vx(61,…,6r;Y1,…,Ys) x((,…,0;Y1,…,Y)-∑鄄O1,…,VxO,…,O,;Y1 下面研究Vx更∈6(8TM)的表达式,不失一般性,考虑更∈11TM,有 Vxφ(6,Y)X(更(0,￥)-(Vx,y)-更(6,VxY) XAy)=(7),y) 更[6dr2,X(V2)ax =Xk(,)()-X()y,一X0(y)两 =X(am2(a)+厂一几时 a2()+的一面,y (VR)adr(8,Y), 即有 此处 aΦ2 ViE (x)+Tk重.-F 可称为张量的分量砂关于坐标x的协变导数
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 3. ∇X(fθ) = Xi∇i(fθj )dx j = Xi [ ∂ ∂xi (fθj )(x) − Γ s ijfθs ] dx j = fXi (∇iθj )dx j + [ Xi ∂f ∂xi (x)(θjdx j ) ] = f∇Xθ + X(f)θ. 上述定义的 ∇Xθ 为 T ∗M 上的联络. 1.5 张量丛上的联络 将前述的一般定义应用至张量丛, 此时 ∇XΦ : C ∞(TM) × C ∞(⊗ r,sTM) ∋ {X, Φ} 7→ ∇XΦ ∈ C ∞(⊗ r,sTM). 此处对 ∀ θ1, · · · , θr ∈ C ∞(T ∗M), ∀Y 1, · · · ,Y s ∈ C ∞(TM), 满足: ∇XΦ(θ1, · · · , θr;Y 1, · · · ,Y s) , X(Φ(θ1, · · · , θr;Y 1, · · · ,Y s)) − ∑r i=1 Φ(θ1, · · · , ∇Xθi , · · · , θr;Y 1, · · · ,Y s) − ∑s j=1 Φ(θ1, · · · , θr;Y 1, · · · , ∇XY j , · · · ,Y s). 下面研究 ∇XΦ ∈ C ∞(⊗r,sTM) 的表达式, 不失一般性, 考虑 Φ ∈ ⊗1,1TM, 有 ∇XΦ(θ,Y ) , X(Φ(θ,Y )) − Φ(∇Xθ,Y ) − Φ(θ, ∇XY ) = X(Φ i ·jθiY j ) − Φ ( Xs (∇sθi)dx i , Y j ∂ ∂xj ) − Φ ( θidx i , Xs (∇sY j ) ∂ ∂xj ) = Xk ∂ ∂xk (Φ i ·jθiY j )(x) − Xk (∇kθi)Y jΦ i ·j − Xk θi(∇kY j )Φ i ·j = Xk [ ∂Φi ·j ∂xi (x)θiY j + Γ s kiΦ i ·jθsY j − Γ j ksΦ i ·jθiY s ] = Xk [ ∂Φi ·j ∂xi (x) + Γ i ksΦ s · j − Γ s kjΦ i ·s ] θiY j = Xk (∇kΦ i ·j ) ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j (θ,Y ), 即有 ∇XΦ = ∇Xk ∂ ∂xk ( Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j ) = Xk (∇kΦ i ·j ) ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j , 此处 ∇kΦ i ·j , ∂Φi ·j ∂xk (x) + Γ i ksΦ s · j − Γ s kjΦ i ·s 可称为张量 Φ 的分量 Φ i ·j 关于坐标 x k 的协变导数. 7
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 对Ⅴ更∈TM,可有 Vx=V Ox⑧dx…dx dair e dx1…⑧dx3°, 此处 V④ 0 azl(a)+ratimir +…+一 易见,Vx更∈6(⑧TM)为张量从⑧sTM上的联络 以下研究张量分量协变导数的基本性质 性质12(张量分量协变导数的基本性质) 线性性:对Vφ,重∈⑧TM,Va,B∈R,有 V(+1-y)=aV,+V业; 2. Leibniz性:对Ⅴ更∈⑧TM,业∈⑧PTM,有 VI( ng)=(v1rynl-ng+r(V1yni-ngp 3. Ricci恒等式:对Ⅴ更∈⑧sTM,有 N,,-=(m时+…+2m明:“ +R1p9 证明前两个性质是显然的 下面以更∈1TM为例证明Rico等式 VvP: V4V)=(V1)()-如可+V时一rV 0/0 axq( axp FVk重 +(m)+一时)6(m+一) 0(+m(01+m()-BD,一()-(明 ()+的一顶写时, +I4 adis -0ar()-0pk+ ars (r)-TODVR j +1eam(2) ()+ rokr
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 对 ∀ Φ ∈ ⊗r,sTM, 可有 ∇XΦ = ∇Xl ∂ ∂xl ( Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 ⊗ · · · ∂ ∗ ∂xir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) = Xl∇lΦ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js , 此处 ∇lΦ i1···ir j1···js = ∂Φi1···ir j1···js ∂xl (x) + [ Γ i1 lt Φ ti2···ir j1···js + · · · + Γ ir lt Φ i1···ir−1t j1···js ] − [ Γ t lj1 Φ i1···ir tj2···js + · · · + Γ t ljs Φ i1···ir j1···js−1t ] . 易见, ∇XΦ ∈ C ∞(⊗r,sTM) 为张量丛 ⊗r,sTM 上的联络. 以下研究张量分量协变导数的基本性质. 性质 1.2 (张量分量协变导数的基本性质). 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ ⊗r,sTM, ∀ α, β ∈ R, 有 ∇l(αΦi1···ir j1···js + βΨi1···ir j1···js ) = α∇lΦ i1···ir j1···js + β∇lΨ i1···ir j1···js ; 2. Leibniz 性: 对 ∀ Φ ∈ ⊗r,sTM, Ψ ∈ ⊗p,qTM, 有 ∇l(Φ i1···ir j1···js Ψ m1···mp n1···nq ) = (∇lΦ i1···ir j1···js )Ψ m1···mp n1···nq + Φ i1···ir j1···js (∇lΨ m1···mp n1···nq ); 3. Ricci 恒等式: 对 ∀ Φ ∈ ⊗r,sTM, 有 ∇p∇qΦ i1···ir j1···js − ∇q∇pΦ i1···ir j1···js = ( R i1 · tpqΦ ti2···ir j1···js + · · · + R ir · tpqΦ i1···ir−1t j1···js ) − ( R t · j1pqΦ i1···ir tj2···js + · · · + R t · jspqΦ i1···ir j1···js−1t ) . 证明 前两个性质是显然的. 下面以 Φ ∈ ⊗1,1TM 为例证明 Ricci 等式. ∇q∇pΦ i ·j = ∇q(∇pΦ i ·j ) = ∂ ∂xq (∇pΦ i ·j )(x) − Γ k qp∇kΦ i ·j + Γ i qk∇pΦ k · j − Γ k qj∇pΦ i ·k = ∂ ∂xq ( ∂Φi ·j ∂xp (x) + Γ i psΦ s · j − Γ s pjΦ i ·s ) − Γ k qp∇kΦ i ·j + Γ i qk ( ∂Φk · j ∂xp (x) + Γ k psΦ s · j − Γ s pjΦ k · s ) − Γ k qj ( ∂Φi ·k ∂xp (x) + Γ i psΦ s · k − Γ s pkΦ i ·s ) = ∂ 2Φ i ·j ∂xq∂xp (x) + ∂Γi ps ∂xq (x)Φ s · j + Γ i ps ∂Φs · j ∂xq (x) − ∂Γs pj ∂xq Φ i ·s − Γ s pj ∂Φi ·s ∂xq (x) − Γ k qp∇kΦ i ·j + Γ i qs ∂Φs ·j ∂xp (x) + Γ i qkΓ k psΦ s · j − Γ i qkΓ s pjΦ k · s − Γ s qj ∂Φi ·s ∂xp (x) − Γ k qjΓ i psΦ s · k + Γ k qjΓ s pkΦ i ·s = ∂ 2Φ i ·j ∂xq∂xp (x) − Γ k qp∇kΦ i ·j + [ Γ i ps ∂Φs · j ∂xq (x) + Γ i qs ∂Φs · j ∂xp (x) ] − [ ∂Γs pj ∂xq (x) − Γ k qjΓ s pk] Φ i ·s − [ Γ s pj ∂Φi ·s ∂xq (x) + Γ s qj ∂Φi ·s ∂xp (x) ] + [ ∂Γi ps ∂xq (x) + Γ i qkΓ k ps] Φ s · j − ( Γ i qkΓ s pj + Γ i pkΓ s qj) Φ k · s, 8
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 所以有 VV-N时/D(、+F一rF酬 axp ()-am()+一」 R R 2应用事例 21平行移动 定义21(切向量场沿流形上确定曲线的平行移动).设 7(t):[a,b3t+?(t)∈M 为流形上的光滑曲线.设在曲线起点有切向量X∈TaM,可按如下规则确定曲线终点的切向 量X((b)∈T(b)M: V(X((t)=0∈TM 则称X为沿?(t)的平行移动 计算 ()x((t)=V 0)=述(t) 即有 (7x=0(x()+x dXi (t)+I(t)Xs=0∈R, 则有微分方程组 (t)=-ks(x(t)(t) X(a) i=1 按常微分方程理论,可确定X(t),t∈园a,列,i=1,…,m. 如曲线(t)∈M,满足Vf()i(t)=0,则称(t)为流形M上的测地线即 V()i(t)=V过 a aaj+. k )+过 故有测地线方程 dix dt (1)+÷=0, 3建立路径
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 所以有 ∇q∇pΦ i ·j − ∇p∇qΦ i ·j = [ ∂Γi ps ∂xq (x) − ∂Γi qs ∂xp (x) + Γ i qkΓ k ps − Γ i pkΓ k qs] Φ s · j + [ ∂Γs qj ∂xp (x) − ∂Γs pj ∂xq (x) + Γ k qjΓ s pk − Γ k pjΓ s qk] Φ i ·s = R i ·sqpΦ s · j − R s · jqpΦ i ·s. 2 应用事例 2.1 平行移动 定义 2.1 (切向量场沿流形上确定曲线的平行移动). 设 γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ γ(t) ∈ M 为流形上的光滑曲线. 设在曲线起点有切向量 ◦ X ∈ Tγ(a)M, 可按如下规则确定曲线终点的切向 量 X(γ(b)) ∈ Tγ(b)M: ∇γ˙ (t)X(γ(t)) = 0 ∈ TM, 则称 X 为沿 γ(t) 的平行移动. 计算 ∇γ˙ (t)X(γ(t)) = ∇x˙ k ∂ ∂xk ( Xi ∂ ∂xi ) = ˙x k (t) ( ∇kXi ) ∂ ∂xi = 0, 即有 x˙ k (t)∇kXi = ˙x k (t) ( ∂Xi ∂xk (x(t)) + Γ i ksXs ) = dXi dt (t) + Γ i ksx˙ k (t)Xs = 0 ∈ R, 则有微分方程组 dXi dt (t) = −Γ i ks(x(t)) ˙x k (t)Xs , Xi (a) = ◦ Xi , i = 1, · · · , m. 按常微分方程理论, 可确定 Xi (t), t ∈ [a, b], i = 1, · · · , m. 如曲线 γ(t) ∈ M, 满足 ∇γ˙ (t)γ˙(t) = 0, 则称 γ(t) 为流形 M 上的测地线. 即 ∇γ˙ (t)γ˙(t) = ∇x˙ i ∂ ∂xi ( x˙ j (t) ∂ ∂xj ) = ˙x i [ ∂x˙ j ∂xi (x) ∂ ∂xj + Γ j ikx˙ k ∂ ∂xj ] = [ x˙ i ∂x˙ j ∂xi (x) + Γ j ikx˙ ix˙ k ] ∂ ∂xj = 0, 故有测地线方程 d 2x j dt 2 (t) + Γ j ikx˙ ix˙ k = 0, j = 1, · · · , m. 3 建立路径 9