赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 复旦力学谢锡麟 16年4月21日 1知识要素 11完备度量空间上的压缩映照定理 定理1.1(完备度量空间上的压缩映照定理).设映照 ∫(x):X3x→∫(x)∈X 满足压缩性 彐a∈0,1),有d(f(x),f(y)≤ad(x,y),x,y∈X, 现(X,d(,“)为完备的度量空间,则有 彐!x,∈X,满足f(x)=x,∈X. 证明采用构造型证明.任取x0∈X作x1:=f(xo),x2:=f(x1),……,xn+1:=f(xn),…,有 {xn}n∈NCX为基本点列研究估计式 d(an+l, n)=d(f(an+1), f(en))< ad(n, In-1) =ad(f(xn-1),f(xn-2)≤a2d(xrn-1,xn-2)≤ ≤ad(x1,ro), 即有d(xn+1,xn)≤a"d(x1,xo),Vn∈N 由此,估计 d(xn+p,xn)≤d(xn+p,xn+p-1)+…+d(xn+1,xn) +a+1)d(x1,xo)< 故可有{xn}cX为基本点列.由(X,d(…,)的完备性,有 X 由压缩性,可见∫(x)∈(X),故按映照极限的 Heine叙述,有 f(xn)→f(x,)∈X
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 完备度量空间上的压缩映照定理 定理 1.1 (完备度量空间上的压缩映照定理). 设映照 f(x) : X ∋ x 7→ f(x) ∈ X 满足压缩性 ∃ α ∈ [0, 1), 有 d(f(x), f(y)) 6 αd(x, y), ∀ x, y ∈ X, 现 (X, d(·, ·)) 为完备的度量空间, 则有 ∃ ! x∗ ∈ X, 满足f(x∗) = x∗ ∈ X. 证明 采用构造型证明. 任取 x0 ∈ X 作 x1 := f(x0), x2 := f(x1), · · · , xn+1 := f(xn), · · · , 有 {xn}n∈N ⊂ X 为基本点列. 研究估计式 d(xn+1, xn) = d(f(xn+1), f(xn)) 6 αd(xn, xn−1) = αd(f(xn−1), f(xn−2)) 6 α 2 d(xn−1, xn−2) 6 · · · 6 α n d(x1, x0), 即有 d(xn+1, xn) 6 α nd(x1, x0), ∀ n ∈ N. 由此, 估计 d(xn+p, xn) 6 d(xn+p, xn+p−1) + · · · + d(xn+1, xn) 6 α n+p−1 d(x1, x0) + · · · + α n d(x1, x0) = α n (α p−1 + · · · + α + 1)d(x1, x0) < α n 1 − α d(x1, x0), 故可有 {xn} ⊂ X 为基本点列. 由 (X, d(·, ·)) 的完备性, 有 xn → x∗ ∈ X; 由压缩性, 可见 f(x) ∈ C (X), 故按映照极限的 Heine 叙述, 有 f(xn) → f(x∗) ∈ X. 1
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 由于f(xn)=xn+1,故有f(x)=x*,亦即x0为不动点 最后证明不动点的唯一性.设彐x*,,∈X,满足f(2,)=2*,f(G,)=*考虑到压缩性,有 d(*,)=d(f(x),f(x)≤ad(x*,),a∈[0,1), 故仅可能,=∈X 对于压缩性条件,可以改写为彐r∈N,有 df"(x),f(y)≤ad(x,y),a∈[0,1) 此处∫(x)≡∫o…of(x),即作用r次.按上述证明,有 彐!x*∈X,满足∫(x,)=r* 则有f+1(x*)=f(f(x,)=f(x,),亦即f(x)也为f(x)的不动点.故有f(x)=x*,亦即 为f(x)的一个不动点 若假设另有,也为f(x,)的不动点,即有f(G,)=x,则有 f(G,)=f-1(x,)=2 即为∫(x)的不动点,根据压缩映照定理,有=x 1.2由压缩映照定理获得隐映照定理 定理1.2(隐映照定理),.设有映照∫(x,y) f(x,y): xxY> Dr X Dy3{x,y→f(x,y)∈2 满足 f(x,y)∈(Dx×D;Z); 2.3()ED2xD,使得{()=0∈z Df(x0,30)∈2(Y;Z)可逆 则 有 1.彐Bx(xo)cDx,B(9o)cDy,有Vx∈Bx(xo),3!y∈B4()满足f(x,yx)=0∈Z,由此 可作(x):BA(0)3x()∈满足!s(x)∈B1(m) r(xx)=0∈z; 2.(x)∈61(Bx(xo0);Y
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 由于 f(xn) = xn+1, 故有 f(x∗) = x∗, 亦即 x0 为不动点. 最后证明不动点的唯一性. 设 ∃ xe∗, xb∗ ∈ X, 满足 f(xe∗) = xe∗, f(xb∗) = xb∗. 考虑到压缩性, 有 d(xe∗, xb∗) = d(f(xe∗), f(xb∗)) 6 αd(xe∗, xb∗), α ∈ [0, 1), 故仅可能 xe∗ = xb∗ ∈ X. 对于压缩性条件, 可以改写为 ∃ r ∈ N, 有 d(f r (x), fr (y)) 6 αd(x, y), α ∈ [0, 1), 此处 f r (x) ≡ f ◦ · · · ◦ f | {z } r次 (x), 即作用 r 次. 按上述证明, 有 ∃ !x∗ ∈ X, 满足 f r (x∗) = x∗, 则有 f r+1(x∗) = f r (f(x∗)) = f(x∗), 亦即 f(x∗) 也为 f r (x∗) 的不动点. 故有 f(x∗) = x∗, 亦即 x∗ 为 f(x) 的一个不动点. 若假设另有 xe∗ 也为 f(x∗) 的不动点, 即有 f(xe∗) = xe∗, 则有 f r (xe∗) = f r−1 (xe∗) = xe∗, 即 xe∗ 为 f r (x) 的不动点, 根据压缩映照定理, 有 xe∗ = x∗. 1.2 由压缩映照定理获得隐映照定理 定理 1.2 (隐映照定理). 设有映照 f(x, y) f(x, y) : X × Y ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ f(x, y) ∈ Z 满足: 1. f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy;Z); 2. ∃ (x0, y0) ∈ Dx × Dy 使得 f(x, y) = 0 ∈ Z, Dyf(x0, y0) ∈ L (Y ;Z)可逆, 则有 1. ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0) ⊂ Dy, 有 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ !yx ∈ Bµ(y0) 满足 f(x, yx) = 0 ∈ Z, 由此 可作 ξ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ Y, 满足 ξ(x) ∈ Bµ(y0), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ Z; 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); Y ). 2
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 证明(1)利用压缩映照定理证明隐映照定理,考虑作 2(y):B4(0)3y→(y)全y-(Df)-1(xo,3)f(x,y)∈Y, 可证对x∈Bx(x0),3!yz∈B(v),满足 f(x,y)=0∈Z,或者φ(yx)=ym∈Y, 此处B(x0)CDx,B2()cDy易见,对vx∈B(zo),f(x,y)=0∈Z在B2(o)上的解等价 于x(y)在B4(3)上的不动点 以下按完备度量空间中的压缩映照定理进行相关分析.估计 z(y)-yly=|or(y)-r(30)+(30)-y0y <or(y)-(yo)ly +lo(yo)-yol 按有限增量估计(此处x∈Bx(x0)为参数)则有 1(y)-q(o)y≤sup|Do(30+6(y-90)lz(y:)·ly-9 / y∈B4(9o) 考虑到 Do(y)=Iy-(Duf)-(zo, yo)Duf(a,), Vy E Bu(yo), IE BA(o), IDor(y)Lp(YY)=IIy-(Dyf)-(ao, yo)Dyf(a, y)lp(r: Y) I(Dyf)-1(o, yo).[(D, f)(co, yo)-Dy f(, y)2(r: Z) D)-(xo,3o)z(z3)(D)( 以及f(x,y)∈(D×Dy;2),则彐Bx(x0)cD=,B(0)cDy(A<入,<p,有 Da(y)x(y;y)<1-a,Vy∈Ba(3),r∈Bx(x0) 另估计 1Pr(yo)-yolr= lyo-(Duf)-(co, yo)f(, yo)-yoly (D3)-1(xo,3)·Uf(x,3)-f(xo,3o) ≤|(Df)-1(xo,)(zy)f(x,30)-f(xo,3)z 则彐Bx(x0)∈D2(A<),有1-(y)-oy<aj 综上,x∈B(xo),vy∈B(30),有 lor()-yoly <(1-a)ly-yoly +au ≤(1-a)+ 即Ⅴx∈B3(x0)有(y)∈Bn(y),Vy∈Ba(o)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 证明 (1) 利用压缩映照定理证明隐映照定理, 考虑作 ϕx(y) : Bµ(y0) ∋ y 7→ ϕx(y) , y − (Dyf) −1 (x0, y0)f(x, y) ∈ Y, 可证对 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ ! yx ∈ Bµ(y0), 满足 f(x, yx) = 0 ∈ Z, 或者ϕx(yx) = yx ∈ Y, 此处 Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0) ⊂ Dy. 易见, 对 ∀ x ∈ Bλ(x0), f(x, y) = 0 ∈ Z 在 Bµ(y0) 上的解等价 于 ϕx(y) 在 Bµ(y0) 上的不动点. 以下按完备度量空间中的压缩映照定理进行相关分析. 估计 |ϕx(y) − y0|Y = |ϕx(y) − ϕx(y0) + ϕx(y0) − y0|Y 6 |ϕx(y) − ϕx(y0)|Y + |ϕx(y0) − y0|Y , 按有限增量估计 (此处 x ∈ Bλ(x0) 为参数) 则有 |ϕx(y) − ϕx(y0)|Y 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx(y0 + θ(y − y0))|L (Y ;Y ) · |y − y0|Y ∀ y ∈ Bµ(y0). 考虑到 Dϕx(y) = IY − (Dyf) −1 (x0, y0)Dyf(x, y), ∀ y ∈ Bµ(y0), x ∈ Bλ(x0), |Dϕx(y)|L (Y ;Y ) = |IY − (Dyf) −1 (x0, y0)Dyf(x, y)|L (Y ;Y ) = (Dyf) −1 (x0, y0) · [(Dyf)(x0, y0) − Dyf(x, y)] L (Y ;Z) 6 (Dyf) −1 (x0, y0) L (Z;Y ) · |(Dyf)(x0, y0) − Dyf(x, y)|L (Y ;Z) , 以及 f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy;Z), 则 ∃ Bλe(x0) ⊂ Dx, Bµe(y0) ⊂ Dy (λ < λ, e µ < µ e ), 有 |Dϕx(y)|L (Y ;Y ) < 1 − α, ∀ y ∈ Bµe(y0), x ∈ Bλe(x0). 另估计 |ϕx(y0) − y0|Y = |y0 − (Dyf) −1 (x0, y0)f(x, y0) − y0|Y = (Dyf) −1 (x0, y0) · [f(x, y0) − f(x0, y0)] Y 6 |(Dyf) −1 (x0, y0)|L (Z;Y ) |f(x, y0) − f(x0, y0)|Z, 则 ∃ Bλb(x0) ∈ Dx(λ <b λe), 有 |ϕx(y0) − y0|Y < αµe. 综上, ∀ x ∈ Bλb(x0), ∀ y ∈ Bµe(y0), 有 |ϕx(y) − y0|Y < (1 − α)|y − y0|Y + αµe 6 (1 − α)µe + αµe = µ, e 即 ∀ x ∈ Bλb(x0) 有 ϕx(y) ∈ Bµe(y0), ∀ y ∈ Bµe(y0). 3
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 另可有估计 lP(y1)-pr(32)< sup Dpr(32+o(y1-y2)ls(r rly1-y2lr 92 Br(yo), 即,对vx∈Bx(x0,a(y)在B()上具有压缩性 综上,存在(y):B(9)3y→(y)∈Y,满足 or(y)∈Ba(0) q(y)为B(o)上的压缩映照 由于B(o)cY为完备的度量空间,因此按完备度量空间中的压缩映照定理,有 ∈Bx(x0),3!y∈B(y)满足qa(yz) 亦即,对vx∈B3(xo),3!y∈Ba(0),满足f(x,y)=0∈Z,由此可作 (x):B(x0)3x→5(x)∈Y 满足 (x)∈B(0) f(x,5(x))=0∈Z (2)以下证明(x)∈2(Bx;Y).先证连续性,考虑vr,x+△r∈Bx(xo),估计 (x+△x)-5(x)y=|x+△x(￡(x+△x)-oz((x) ≤|x+△x(￡(x+△x)-x+△r((x)y+x+△r(￡(x)-((x)y ≤sp|Dox+△x((x)+((x+△a)-(x)y0)K(x+△m)-(x)y +|x+△x((x)-((x)y6∈(0,1 <(1-a)(x+△x)-(x)y+|x+△x(5(x))-pr(￡(x)}y, 即有 (x+△x)-(x)y<-|(x+△r((x)-o((x)y o(a, y)=o(y)=y-(Dyf)-(ao, yo)f(a, y), VrE B(ro), y E B(yo) 则 Dro(a, y)=-(Dy f)-(r0, yo) Df(, y) D=o(x,y)(y3y)≤Mvx∈Bx(xo),y∈B(o) 由此得 x+△r(5(x)-((x)=|o(x+△x,5(x)-0(x,(x)y
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 另可有估计 |ϕx(y1) − ϕx(y2)| 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx(y2 + θ(y1 − y2))|L (Y ;Y ) |y1 − y2|Y < (1 − α)|y1 − y2|Y , ∀ y1, y2 ∈ Bµe(y0), 即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ϕx(y) 在 Bµe(y0) 上具有压缩性. 综上, 存在 ϕx(y) : Bµe(y0) ∋ y 7→ ϕx(y) ∈ Y, 满足 ϕx(y) ∈ Bµe(y0), ϕx(y)为Bµe(y0)上的压缩映照. 由于 Bµe(y0) ⊂ Y 为完备的度量空间, 因此按完备度量空间中的压缩映照定理, 有 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0) 满足ϕx(yx) = yx, 亦即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0), 满足f(x, yx) = 0 ∈ Z, 由此可作 ξ(x) : Bλb(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ Y, 满足 ξ(x) ∈ Bµe(y0), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ Z. (2) 以下证明 ξ(x) ∈ C 1 (Bλb; Y ). 先证连续性, 考虑 ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 估计 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y = |ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx(ξ(x))|Y 6 |ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx+∆x(ξ(x))|Y + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx+∆x (ξ(x) + θ(ξ(x + ∆x) − ξ(x)))|L (Y ;Y ) |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y θ ∈ (0, 1) < (1 − α)|ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y , 即有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y < 1 α |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y . 作 ϕ(x, y) , ϕx(y) = y − (Dyf) −1 (x0, y0)f(x, y), ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0), 则 Dxϕ(x, y) = −(Dyf) −1 (x0, y0) · Dxf(x, y), |Dxϕ(x, y)|L (Y ;Y ) 6 M, ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0). 由此得 |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx(ξ(x))|Y = |ϕ(x + ∆x, ξ(x)) − ϕ(x, ξ(x))|Y . 4
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 引入 v(t)全(x+t△x,(x)∈Y,Ht∈0,1] 则Dv(t)=D2o(x+t△x,(x)x∈Y.故 (x+△x,5(x)-叭(x,5(x)y=|v(1)-v(0)y≤sup|Dv(6)y 6∈(0,1) sup|Dro(x+6△x,5(x)·△xly e∈(0.1) Do(x+6△x,(x)lx(xy)△rly △x|x 综上,有 (x+△)-5(x)y<Arlx,vx,x+△∈Bx(xo) 即得￡(x)在Bx(x)上的连续性 (3)以下考虑￡(x)在B(xo)上的可微性.已有 f(x+△x,y+△y)=f(x,y)+pDf(x,y),D2fxw/4) +0(|)∈Z △x 由 =0∈Z,此处 会△m+1△,可得 Ax→0∈X×Y|/△x Ay/Ix <V△+1△9≤c(4rx+14△y) 故有 f(x+△x,y+4y)-f(,y)-Df(x,y)△r-Dyf(,y)△z<=V4r+14△ <E(△r|x+|△yy) 对vx∈Bx(x0),取y=5(x)∈Ba()则△y=f(x+△x)-(x),在△rx和|△yy很小时 将有 f(x+△x,5(x+△x)-f(x,5(x)-Dxf(x,5(x)△x-Dyf(x,(x)((x+△x) ()<(△x+kK+△x)-(a))<=(1+2)△k 即有 D(c(a)△x+D(s()(a+△n)-()lz<(1+2)△nx
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 引入 ψ(t) , ϕ(x + t∆x, ξ(x)) ∈ Y, ∀ t ∈ [0, 1], 则 Dψ(t) = Dxϕ(x + t∆x, ξ(x))∆x ∈ Y . 故 |ϕ(x + ∆x, ξ(x)) − ϕ(x, ξ(x))|Y = |ψ(1) − ψ(0)|Y 6 sup θ∈(0,1) |Dψ(θ)|Y = sup θ∈(0,1) |Dxϕ(x + θ∆x, ξ(x)) · ∆x|Y 6 |Dxϕ(x + θ∆x, ξ(x))|L (X;Y ) |∆x|Y 6 M|∆x|X. 综上, 有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y < M α |∆x|X, ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 即得 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的连续性. (3) 以下考虑 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的可微性. 已有 f(x + ∆x, y + ∆y) = f(x, y) + [Dxf(x, y), Dyf(x, y)] ( ∆x ∆y ) + o( ( ∆x ∆y ) ) ∈ Z. 由 [ lim ∆x ∆y ] →0∈X×Y o( ( ∆x ∆y ) ) ( ∆x ∆y ) X×Y = 0 ∈ Z, 此处 ( ∆x ∆y ) X×Y , √ |∆x| 2 X + |∆y| 2 Y , 可得 o( ( ∆x ∆y ) ) Z < ε√ |∆x| 2 X + |∆y| 2 Y 6 ε(|∆x|X + |∆y|Y ), 故有 |f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) − Dxf(x, y)∆x − Dyf(x, y)∆y|Z < ε√ |∆x| 2 X + |∆y| 2 Y < ε(|∆x|X + |∆y|Y ). 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), 取 y = ξ(x) ∈ Bµe(y0), 则 ∆y = ξ(x + ∆x) − ξ(x), 在 |∆x|X 和 |∆y|Y 很小时, 将有 |f(x + ∆x, ξ(x + ∆x)) − f(x, ξ(x)) − Dxf(x, ξ(x))∆x − Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Z < ε (|∆x|X + |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Y ) < ε ( 1 + M α ) |∆x|X, 即有 |Dxf(x, ξ(x))∆x + Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Z < ε ( 1 + M α ) |∆x|X. 5
范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以有 Df(x,(x)·(Df-(x,(x)D-f(x,(x)△x+f(x+△n)-f(x)z <e1+ 注:由于Dyf(xo,)∈x(X;Y)可逆,则一开始便可取Bx(xo),B1(30),使得对vx∈Bx(xo),y∈ B4(3),Df(x,y)∈(X;Y)可逆.估计 D)-1(x,(x)Dnf(x,(x)△x+(x+4)-(x)}y =|(Df)-(x,(x)·{Df(x,(x)·[(Df)-(x,(x)Daf(x,5(x)△x +(x+△)-(x)}y ≤|Df(x,(x)·【Df)-(x,()Dnf(x,()△r+(x+△r)-f(]l (Dy 5)(z, 5(a))e(z: Y) ≤DD()(+)k 即有 △kK(x+△n)-(m)+(Dn)(a.(),Df(x.(),△rly <(Dn)(a,s(a)2((1+ 即有 (x+△x)=5(x)-(Df)-(x,5(x)·Drf(xr,(x)△x+o(△x|x)∈Y 亦即5(x)在Bx(xo)上可微,且 D(x)=-(Df)-(x,5(x)·Df(x,(x),x∈B(ro) 即有∈(Bx(x)Y 1.3由压缩映照定理获得逆映照定理 定理13(逆映照定理).有f(x)∈岩(D;X),彐xo∈D,满足Df(xo)∈x(X;X)可逆,则 局部存在61-微分同胚.亦即彐Bx(x0)cDx,满足 f(a)E8(B(co); f(BA(co))) 证明直接利用有界闭集上的压缩映照定理,首先作B0(xo)cDx,Bl0(3)cX以及辅助 v(x):Bx0(xo)3x→vy(x)=x+(Df)-1(xo)(y-f(x)∈X,Vy∈B(vo) 如果对Vy∈B(o),彐ry∈Bxo(xo),满足 vy(xy)=xy或者y=f(xy)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以有 Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)] Z < ε ( 1 + M α ) |∆x|X. 注: 由于 Dyf(x0, y0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 则一开始便可取 Bλ(x0), Bµ(y0), 使得对 ∀ x ∈ Bλ(x0), y ∈ Bµ(y0),Dyf(x, y) ∈ L (X; Y ) 可逆. 估计 (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆) − ξ(x) Y = (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · { Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]} Y 6 Dyf(x, ξ(x)) · [ (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x) ] Z · (Dyf) −1 (x, ξ(x)) L (Z;Y ) 6 (Dyf) −1 (x, ξ(x)) L (Z;Y ) ( 1 + M α ) ε|∆x|X, 即有 1 |∆x|X ξ(x + ∆x) − ξ(x) + (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)) · ∆x Y < (Dyf) −1 (x, ξ(x)) L (Z;Y ) ( 1 + M α ) ε, 即有 ξ(x + ∆x) = ξ(x) − (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x))∆x + o(|∆x|X) ∈ Y, 亦即 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上可微, 且 Dξ(x) = −(Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)), ∀ x ∈ Bλb(x0), 即有 ξ ∈ C 1 (Bλb(x0); Y ). 1.3 由压缩映照定理获得逆映照定理 定理 1.3 (逆映照定理). 有 f(x) ∈ C 1 (Dx; X), ∃ x0 ∈ Dx, 满足Df(x0) ∈ L (X; X) 可逆, 则 局部存在 C 1 -微分同胚. 亦即 ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, 满足 f(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); f(Bλ(x0))). 证明 直接利用有界闭集上的压缩映照定理, 首先作 Bλ0 (x0) ⊂ Dx , Bµ0 (y0) ⊂ X 以及辅助 映照 ψy(x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ X, ∀ y ∈ Bµ0 (y0). 如果对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0), ∃ xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 ψy(xy) = xy 或者 y = f(xy), 6
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 如果上述不动点唯一存在,则可作 n(y)∈x, 满足 7(y)∈Bx0(x0) y=f(n(y),Vy∈B(30), 藉此作 U{x∈Bx(ro)f(x)∈B0()} 现假设已证不动点唯一存在,则有 1.U为开集.考虑到∫(x)在BA(xo)上的连续性,故对:x∈U,VE>0,三6>0,成立: f(B2(x)CBe(f(x)CB0(9),即有B2(x)cU 2.f(x)在U上为单射.利用反证法,设 f(x1)=∫(x2)∈B(90) 记y=f(x1)=f(x2)则按上述求解的唯一性,彐!xy∈B0(xo),满足y=f(xy),而有 x1=x2=x,同假设矛盾 f(U)=Bu(30).显然f(U)cB(0).考虑vy∈B1(),则彐!ry∈B0(xo).满足 f(xy)=y∈B10(30).由此有Bn(o)cf(U) 综上,f(x)实现B10(x)U同f(U)=B10(3)之间的双射,故存在逆映照 又由对vy∈B1(90)有y=f(n(y),所以对vy∈B1(y0)有f-1(y)=f- o fon(y)=n(y) 因此有 f(y=n(u), Vy E Bu(yo) 故以下对vy∈B0(o),在BA0(xo)中寻找xy满足y=f(xy) 考虑 a'y(a): B\o(ao)9 Hvy(a)=a+(Df)-(ao)(y-f(rD)EX, 易见,存在上述xy∈B(ro),使得vy(xy)=xy即为不动点 第一步,估计 lvy(a)-colx=lvy(a)-vyoro)Ix=l(y, c)-v(yo, co)lx <l(y, r)-p(yo, r)lx +l/(yo, r)-(yo, ro)Ix ≤sup、|Dv(9o+2(y-9),x)(x)·ly-9olx Dx(30
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 如果上述不动点唯一存在, 则可作 η(y) : Bµ0 (y0) ∋ y 7→ η(y) ∈ X, 满足 η(y) ∈ Bλ0 (x0), y = f(η(y)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), 藉此作 U , {x ∈ Bλ0 (x0)|f(x) ∈ Bµ0 (y0)} . 现假设已证不动点唯一存在, 则有 1. U 为开集. 考虑到 f(x) 在 Bλ0 (x0) 上的连续性, 故对: x ∈ U, ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立: f(Bδε (x)) ⊂ Bε(f(x)) ⊂ Bµ0 (y0), 即有 Bδε (x) ⊂ U. 2. f(x) 在 U 上为单射. 利用反证法, 设 x1, x2 ∈ U , x1 ̸= x2, f(x1) = f(x2) ∈ Bµ(y0). 记 y = f(x1) = f(x2) 则按上述求解的唯一性, ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 y = f(xy), 而有 x1 = x2 = xy, 同假设矛盾. 3. f(U) = Bµ0 (y0). 显然 f(U) ⊂ Bµ0 (y0). 考虑 ∀ y ∈ Bµ(y0), 则 ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0). 满足 f(xy) = y ∈ Bµ0 (y0). 由此有 Bµ(y0) ⊂ f(U). 综上, f(x) 实现 Bµ0 (x0) ⊃ U 同 f(U) = Bµ0 (y0) 之间的双射, 故存在逆映照. 又由对 ∀ y ∈ Bµ(y0) 有 y = f(η(y)), 所以对 ∀ y ∈ Bµ(y0) 有 f −1 (y) = f −1 ◦ f ◦ η(y) = η(y). 因此有 f −1 (y) = η(y), ∀ y ∈ Bµ(y0). 故以下对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0), 在 Bλ0 (x0) 中寻找 xy 满足 y = f(xy). 考虑 ψy(x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ X, 易见, 存在上述 xy ∈ Bλ0 (x0), 使得 ψy(xy) = xy 即为不动点. 第一步, 估计 |ψy(x) − x0|X = |ψy(x) − ψy0 (x0)|X = |ψ(y, x) − ψ(y0, x0)|X 6 |ψ(y, x) − ψ(y0, x)|X + |ψ(y0, x) − ψ(y0, x0)|X 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y0 + θ2(y − y0), x)|L (X;X) · |y − y0|X + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y0, x0 + θ1(x − x0))|L (X;X) · |x − x0|X , 7
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 此处 w(y, a)=vy()=r+(Df)-(ro)(y-f()), Vy E BHo(yo), a E Bo(ro) Dy(y,x)=(Df)-1(x0), D2v(v,x)=Ix-(Df)-1(xo)Df(x)=(Df)-1(xo)·[Df(xo)-Df(x)] 故 ly(=)-colx <I(Df)(co)ls(xx) ly-yolx +I(Df)-()le(x: x).Df(ao)-Df(a)le(x: x) lz--olx 考虑到f(x)∈61(D;Rm),故可缩小A到A1,使得 I(Df)-(ole(: x). IDf(o)-Df()ls(x: x)<2 再缩小p0到p1,使得 (Dn(0)x1-列lx<2 综上,有 Ivy(a)-colx< A+5-xx<A,Wx∈Bx1(zo) 即有vy∈B(0),有vy(BA1(xo)CBx1(xo)cBx1(xo) 第二步,估计压缩性,即 Ivy(a1)-vy(a2)x=l/(9, 1)-v(y, 22)Ix ≤sup、|Dv(y,x1+1(x2-x)2(x:x)·|x1-xlx 61∈(0,1) 综上有:y(x)为BA1(xo)上的压缩映照,此处Ⅴy∈Bn1(0).故彐!xy∈Bhx(xo),满足 vy(xy)=xy∈B1(xo) 故可作 n(y): Bu(yo)3yH)n(y)=yEX, 满足 7(y)∈Ba1(3o) y=fon(y),Vy∈Bn1(o)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 此处 ψ(y, x) , ψy(x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), x ∈ Bλ0 (x0), Dyψ(y, x) = (Df) −1 (x0), Dxψ(y, x) = IX − (Df) −1 (x0)Df(x) = (Df) −1 (x0) · [Df(x0) − Df(x)], 故 |ψy(x) − x0|X 6 (Df) −1 (x0) L (X;X) |y − y0|X + (Df) −1 (x0) L (X;X) · |Df(x0) − Df(x)|L (X;X) · |x − x0|X . 考虑到 f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 故可缩小 λ0 到 λ1, 使得 (Df) −1 (x0) L (X;X) · |Df(x0) − Df(x)|L (X;X) < 1 2 . 再缩小 µ0 到 µ1, 使得 (Df) −1 (x0) L (X;X) · |y − y0|X < 1 2 λ1. 综上, 有 |ψy(x) − x0|X < 1 2 λ1 + 1 2 |x − x0|X < λ1, ∀ x ∈ Bλ1 (x0), y ∈ Bµ1 (y0), 即有 ∀ y ∈ Bµ(y0), 有 ψy(Bλ1 (x0)) ⊂ Bλ1 (x0) ⊂ Bλ1 (x0). 第二步, 估计压缩性, 即 |ψy(x1) − ψy(x2)|X = |ψ(y, x1) − ψ(y, x2)|X 6 sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, x1 + θ1(x2 − x1))|L (X;X) · |x1 − x2|X . < 1 2 |x1 − x2|X . 综上有: ψy(x) 为 Bλ1 (x0) 上的压缩映照, 此处 ∀ y ∈ Bµ1 (y0). 故 ∃ ! xy ∈ Bλ1 (x0), 满足 ψy(xy) = xy ∈ Bλ1 (x0). 故可作 η(y) : Bµ1 (y0) ∋ y 7→ η(y) = xy ∈ X, 满足 η(y) ∈ Bµ1 (y0), y = f ◦ η(y), ∀ y ∈ Bµ1 (y0). 8
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 以下证η(y)的连续性,即n(y)∈C(B2(o);x).估计 n(y+△y)-n(y)x=|vy+△y(m(y+△y)-vy((y)x (3+△y,m(y+△y)-v(3,n(y)lx ≤p(y+△y,m(y+△y))-v(y,n(y+△y)lx+|v(y,n(y+△y)-v(3,n(y)x ≤sup、|Dvy+02△y,m(y+△y)(x:x)△ylx sup Dx (y, n(y)+B1(n(y+ Ay)-n(y)))le(x: x)Im(y Ay)-n()lx 61∈(0,1) (D)-(ao)2(x△yx+2(y+△y)-m(y)kx 即有 my+△y)-m()kx<2(Df)-1(xo)lzxx)1△ylx 所以 以下证 n(y)∈(B1(0)X) 考虑 f(x)∈6(D2 故有 f(x+△x)-f(x)=Df(x)·△x+o(△xlx),Vx∈Dx 现取 T=n(y),Vy∈B0(3o), △x=m(y+△y)-(y) 则 x=fon(y+△y)-fom(y) △ △y=Df(x)·(n(y+△y)-m(y)+o(m(y+△y)-m(y)x) 此处要求 3(Df)-1(x)∈x(x;X),Vx∈Bx1(xo) 由于彐Df(xo)∈x(X;x)可逆,故在选定B0(x)时,就可使得对Ⅴx∈B0(xo),都有 彐(Df)-1(x)由于 my+△y)-m(y)x<2|(Df-1(xo)l(xx)|4列
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 以下证 η(y) 的连续性, 即 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0); X). 估计 |η(y + ∆y) − η(y)|X = |ψy+∆y(η(y + ∆y)) − ψy(η(y))|X = |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|X 6 |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y + ∆y))|X + |ψ(y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|X 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y + θ2∆y, η(y + ∆y))|L (X;X) |∆y|X + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, η(y) + θ1(η(y + ∆y) − η(y)))|L (X;X) |η(y + ∆y) − η(y)|X < (Df) −1 (x0) L (X;X) |∆y|X + 1 2 |η(y + ∆y) − η(y)|X , 即有 |η(y + ∆y) − η(y)|X < 2 (Df) −1 (x0) L (X;X) |∆y|X , 所以 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0); X). 以下证 η(y) ∈ C 1 (Bµ1 (y0); X), 考虑 f(x) ∈ C 1 (Dx; X), 故有 f(x + ∆x) − f(x) = Df(x) · ∆x + o(|∆x|X), ∀ x ∈ Dx. 现取 x = η(y), ∀ y ∈ Bµ0 (y0), ∆x = η(y + ∆y) − η(y), 则 ∆x = f ◦ η(y + ∆y) − f ◦ η(y) = y + ∆y − y = ∆y, ∆y = Df(x) · (η(y + ∆y) − η(y)) + o(|η(y + ∆y) − η(y)|X). 此处要求: ∃ (Df) −1 (x) ∈ L (X; X), ∀ x ∈ Bλ1 (x0). 由于 ∃ Df(x0) ∈ L (X; X) 可逆, 故在选定 Bµ0 (x0) 时, 就可使得对 ∀ x ∈ Bµ0 (x0), 都有 ∃ (Df) −1 (x). 由于 |η(y + ∆y) − η(y)|X < 2 (Df) −1 (x0) L (X;X) |∆y|X , 9
赋范线性空间上微分学——隐映照定理与逆映照定理谢锡麟 所以 lo(m(y+△y)-m(y)lx)x_lo((y+△y)-m(y)x)x,(y+△y)-m)x n(y+△y)-m(y)l xlmy+△y)-mxx.2(D1(o)(x)→0 (y+△y)-m(y) 由于n(y)为Bx1(30)上单射,故在△y≠0∈X时,n(y+△y)-m(y)∈X满足非接触性条件 综上,有 n(y+△y)-m(y)=(Df)-1(x)△y+o(△y),x=f-1(y). 1.4由隐映照定理获得逆映照定理 定理1.4(逆映照定理/微分同胚局部存在性定理).设有映照 f(x):XDx3x→f(x)∈Y 满足 1.f(x)∈8(Dx;Y), 2.3x0∈Dx使得Df(xo)∈x(X;Y)可逆, 则有 1.彐U(x0)cD,V(f(xo)c∫(Dn),使得f(x)在U(xo)和v(f(xo))上为双射,即彐f-1(y) 满足 f(y: V(f(o)2yHf(EDr 2.f-1(y)∈(v(f(x0);X) 上面的两个结论说明:f(x)在x0∈D附近实现幻微分同胚 证明利用隐映照定理,作 F(y,x):Y×D3{y,x}→F(y,x)2y-f(x)∈Y, 由f(x)∈61(D;Y),有F(y,x)∈6(×Dx;Y).由于Df(xo)∈x(X;Y)可逆,有 D2F(0,00)=-Df(xo)∈x(X;Y)可逆, 0:=f(xo)∈Y.按隐映照定理,彐B(o)cY,B(ro)cDx,满足 vy∈B(o),!ry∈Bx(xo)满足F(y,ry)=0∈Y 由此可作m(y):B(30)3y+m(y)∈X,满足 7(y)∈Bx(xo);F(y,n(y)=0∈Y, ()∈2(B();x) 作U{x∈BA(xo0)f(x)∈B()}cBx(xo)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 隐映照定理与逆映照定理 谢锡麟 所以 |o(|η(y + ∆y) − η(y)|X)|X |∆y|X = |o(|η(y + ∆y) − η(y)|X)|X |η(y + ∆y) − η(y)|X · |η(y + ∆y) − η(y)|X |∆y|X < |o(|η(y + ∆y) − η(y)|X)|X |η(y + ∆y) − η(y)|X · 2 (Df) −1 (x0) L (X;X) → 0 (∆y → 0). 由于 η(y) 为 Bλ1 (y0) 上单射, 故在 ∆y ̸= 0 ∈ X 时,η(y + ∆y) − η(y) ∈ X 满足非接触性条件. 综上, 有 η(y + ∆y) − η(y) = (Df) −1 (x)∆y + o(∆y), x = f −1 (y). 1.4 由隐映照定理获得逆映照定理 定理 1.4 (逆映照定理/微分同胚局部存在性定理). 设有映照 f(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ Y 满足: 1. f(x) ∈ C 1 (Dx; Y ), 2. ∃ x0 ∈ Dx 使得 Df(x0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 则有 1. ∃U(x0) ⊂ Dx, V (f(x0)) ⊂ f(Dx), 使得 f(x) 在 U(x0) 和 V (f(x0)) 上为双射, 即 ∃ f −1 (y) 满足: f −1 (y) : V (f(x0)) ∋ y 7→ f −1 (y) ∈ Dx; 2. f −1 (y) ∈ C 1 (V (f(x0)); X). 上面的两个结论说明:f(x) 在 x0 ∈ Dx 附近实现 C 1 微分同胚. 证明 利用隐映照定理, 作 F(y, x) : Y × Dx ∋ {y, x} 7→ F(y, x) , y − f(x) ∈ Y, 由 f(x) ∈ C 1 (Dx; Y ), 有 F(y, x) ∈ C 1 (Y × Dx; Y ). 由于 Df(x0) ∈ L (X; Y ) 可逆, 有 DxF(y0, x0) = −Df(x0) ∈ L (X; Y )可逆, 此处 y0 := f(x0) ∈ Y . 按隐映照定理, ∃ Bµ(y0) ⊂ Y, Bλ(x0) ⊂ Dx, 满足 ∀ y ∈ Bµ(y0), ∃ ! xy ∈ Bλ(x0) 满足F(y, xy) = 0 ∈ Y. 由此可作 η(y) : Bµ(y0) ∋ y 7→ η(y) ∈ X, 满足 η(y) ∈ Bλ(x0); F(y, η(y)) = 0 ∈ Y, η(y) ∈ C 1 (Bµ(y0); X). 作 U , {x ∈ Bλ(x0)|f(x) ∈ Bµ(y0)} ⊂ Bλ(x0). 10