复旦大学：《数学分析》教案讲稿_有限维Euclid空间中隐映照定理的应用

教案:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用--m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示 教案:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用 m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示 课程:《数学分析(Ⅱ)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用。有限维 Euclid空间中的隐映照定 理,可以“天然”地处理m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示(力学中k维曲面的隐式表 示即为约束),具体形式是将曲面局部地表示成 Monge型曲面。主要内容分为:①Rm中k维 曲面(1<k<m)的隐式表示,以此处理带有约束的最值问题。此时曲面是抽象形式的。②Rm中 1维曲面的隐式表示,即对应Rm中的曲线。③R"中m-1维曲面的隐式表示,即对应Rm中的 曲面。 2.知识要素(教学内容细致目录) ①R"中k维曲面(1<k<m)的隐式表示一-R中抽象曲面与带有约束最值问题 R"中带有约束的最值问题,数学提法如下 约束:∑={x∈R"|(x)= =0∈R 现求:x∈E,满足:(x)=sup(x)或者(x)=infO(x),此处θ(x)∈R为目标函数。 对此问题的分析基于有限维 Euclid空间中的隐映照定理,针对上述约束,有以下结论 如有:x=|。0∈,满足 D f(0,0(f, D(f,…f )(0,元)= (x,)∈R"非奇异, 则有: 彐B2()Rm,B(元)cR,满足 vR∈B2(x),丑!∈B(元),满足约束∫(x,)=0∈R 第1页共5页

教案：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用——m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示 第 1 页 共 5 页 教案：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用 —— m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示 课程：《数学分析（Ⅱ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用。有限维 Euclid 空间中的隐映照定 理，可以“天然”地处理 m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示（力学中 k 维曲面的隐式表 示即为约束），具体形式是将曲面局部地表示成 Monge 型曲面。主要内容分为：① m  中k 维 曲面  1  k m 的隐式表示，以此处理带有约束的最值问题。此时曲面是抽象形式的。② m  中 1 维曲面的隐式表示，即对应 m  中的曲线。③ m  中m 1维曲面的隐式表示，即对应 m  中的 曲面。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① m  中k 维曲面  1  k m 的隐式表示—— m  中抽象曲面与带有约束最值问题 m  中带有约束的最值问题，数学提法如下： 约束：   1 0 m r r f x fx x f                           现求： * x ，满足：   x*   sup x   或者   x*  inf  x   ，此处  x 为目标函数。 对此问题的分析基于有限维 Euclid 空间中的隐映照定理，针对上述约束，有以下结论： 如有： 0 0 0ˆ x x x          ，满足：               1 1 ˆ 00 00 00 1 1 , , ,, , ˆˆ ˆ ˆ ˆ , , r r r r x r mr m Df f Df f Df x x x x x x Dx x Dx x              非奇异， 则有：   0 0 , ˆ mr r Bx Bx         ，满足：    x  Bx xBx    0 0 , !ˆ ˆ   ，满足约束  , 0 ˆ r f xx   

教案:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用一—m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示 X B(元)×B2(元) x B2()×B(6)∩x B2(x0) 隐映照定理结论的几何刻画,如上图所示: x 局部柱体B(无)×B2(元)cR中,Σ为隐映照的图像: (/∈B:()=R 由此,定义在约束∑上的目标函数(x),在局部等价于 0()会0(元,(),v∈B2(元) 基于链式求导法则,其临界点方程为 0(元)=D0(元,q(元,)+D,0(,q(元,),Do( =D(,()+D0(元,9(3)[(Df),D1/](x,0()=0 一般处理带有约束的最值问题,常采用 Lagrange乘子法,其系统化做法如下所示 1.引入 Lagrange函数 L(元元,A)会0(,分)+·f(元,)∈R 2.确定 Lagrange函数的临界点 其临界点方程:DL(元,,)=0∈Rm,即为 DL(x.,,)D0(x,元)+2·D3f(x,.)=0∈Rm DL(,i, MD(, .)+A. Df(,, x)=OERT DL(x.,x,)会f(元,元.)=0∈R 上述第三组方程即为约束方程;结合第一、二组方程即得上述基于隐映照定理所得的临界点 方程 按我们现有认识, Lagrange乘子法仅是一种形式化的方法,主要反映为引入更高维的 第2页共5页

教案：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用——m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示 第 2 页 共 5 页 1 , , r m X X   o 1 X r X B x    0    0 0 Bx Bxˆ     x xˆ  0 x 0 xˆ   0 0 Bx Bxˆ           隐映照定理结论的几何刻画，如上图所示： 局部柱体   0 0ˆ m Bx Bx       中， 为隐映照的图像：     0 m x xBx x                          由此，定义在约束 上的目标函数   x ，在局部等价于：    x  x x xBx , ,       0        基于链式求导法则，其临界点方程为：                       * ** ** * ˆ 1 ** ** ** ˆ ˆ , , , , , 0 x x x x xx Dx D x x D x x Dx D x x D x x Df Df x x                              一般处理带有约束的最值问题，常采用 Lagrange 乘子法，其系统化做法如下所示： 1. 引入 Lagrange 函数：   ,, , , ˆˆ ˆ     T L xx xx f xx          2. 确定 Lagrange 函数的临界点： 其临界点方程：   1   *** ,, 0 ˆ mrrr DL x x       ，即为：              *** ** * ** ˆˆ ˆ *** ** * ** *** ** ,, , , 0 ˆˆ ˆ ,, , , 0 ˆˆ ˆ ,, , 0 ˆ ˆ T mr xx x T r xx x r DL x x D x x D f x x DL x x D x x D f x x DL x x f x x                                   上述第三组方程即为约束方程；结合第一、二组方程即得上述基于隐映照定理所得的临界点 方程。 按我们现有认识，Lagrange 乘子法仅是一种形式化的方法，主要反映为引入更高维的

教案:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用--m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示 Lagrange函数(反映在自变量上),其临界点方程一致于基于隐映照定理的分析结论 ②Rm中1维曲面的隐式表示一一Rm中曲线 现考虑R中的约束:E={x∈R/(x)=:(x)=0∈R}.基于隐映照定理,针 对上述约束,有以下结论 如有 ∈∑,满足 D D Df(0,) D(x1,…x (元,x) m(元,元)∈Rm非奇异 D 则有: 彐B2(x)cR,B(元)cRm,满足: R∈B2(x),丑∈B(元),满足约束f(x,)=0∈Rm X 0(元) x B2(x0)xB(元) B2(元)×B(元)]∩Σ B 隐映照定理结论的几何刻画,如上图所示 x 局部柱体B2(元)×B(元)∈R中,Σ为隐映照的图像 (G)|∈B(元)∈R”。现为R 中的曲线 (x):R彐B2(元) R 我们可确定T(x)的切向量: 第3页共5页

教案：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用——m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示 第 3 页 共 5 页 Lagrange 函数（反映在自变量上），其临界点方程一致于基于隐映照定理的分析结论。 ② m  中 1 维曲面的隐式表示—— m  中曲线 现考虑 m  中的约束：   1 1 1 0 m m m f x fx x f                             。基于隐映照定理，针 对上述约束，有以下结论： 如有： 0 0 0ˆ x x x          ，满足：                  11 11 1 1 ˆ 00 00 00 11 2 , , ,,, ˆˆˆ ˆ ˆ , , m m m m x m m Df f Df f Df x x x x x x Dx x Dx x               非奇异， 则有：     1 1 0 0 , ˆ m Bx Bx         ，满足：    x  Bx xBx    0 0 , !ˆ ˆ   ，满足约束   1 , 0 ˆ m f xx     2 1 , , m X X   o 1 X 2 X B x    0    0 0 Bx Bxˆ     x   x  x         0 x   0 0 Bx Bxˆ             0 0 x  x         隐映照定理结论的几何刻画，如上图所示： 局部柱体   0 0ˆ m Bx Bx       中， 为隐映照的图像：     0 m x xBx x                          。现为 m  中的曲线：       0 : m x x Bx x x x                     。 我们可确定  x 的切向量：

教案:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用--m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示 夺!()m(家+A)-(3) d Ax D(m()1(D0)2八1(元9()∈R ③Rm中m-1维曲面的隐式表示一一Rm中曲面 现考虑R”中的约束:={x∈R"j(x)=0∈时},基于隐映照定理,针对上述约束,有 以下结论: 如有:x=。∈Σ,满足 Df(x,)全0(,元)=m(元,元)≠0∈R, 则有: 彐B2(x0)cR,B(元)cRm,满足 Ⅴ∈B(x),彐文∈B(x),满足约束f(元,)=0∈Rm X B,(x)×B.(x [B2(x)×B2(元)∩x B O 隐映照定理结论的几何刻画,如上图所示: 局部柱体B1(元)×B(元)cR”中,Σ为隐映照的图像:∥F v∈B(元)R”。现为R 中的曲面: B2(元)3x>Σ(x) 籍此就确定了切空间 第4页共5页

教案：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用——m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示 第 4 页 共 5 页            1     0 ˆ 1 1 lim , m x x x d xx x x Dx x x dx x D x Df Df                                           ③ m  中m 1维曲面的隐式表示—— m  中曲面 现考虑 m  中的约束：    0  m     x fx   。基于隐映照定理，针对上述约束，有 以下结论： 如有： 0 0 0ˆ x x x          ，满足： ˆ   00 00 00 , , ,0 ˆˆ ˆ     ˆ x m f f Df x x x x x x x x            ， 则有：     1 1 0 0 , ˆ m Bx Bx         ，满足：    x  Bx xBx    0 0 , !ˆ ˆ   ，满足约束   1 , 0 ˆ m f xx     m X o 1 X m 1 X  B x    0    0 0 Bx Bxˆ     x xˆ  0 x 0 xˆ   0 0 Bx Bxˆ           隐映照定理结论的几何刻画，如上图所示： 局部柱体   0 0ˆ m Bx Bx       中， 为隐映照的图像：     0 m x xBx x                          。现为 m  中的曲面：       1 0 : m m x x Bx x x x                      。 我们可确定        1   1 1 1 : ,, m m m m I Dx g g x D x                    。籍此就确定了切空间

教案:有限维 Euclid空间中隐映照定理的应用--m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表示 T会spum{g,…,gm1}()cRm。相应地,也可确定法向量(x)∈R",满足 (D)(x)1(x)=[21(D0)(x)]()=0∈R 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第1课时:①Rm中k维曲面(1<k<m)的隐式表示,应用于R中带有约束的最值问题;相 关结论可通过引入 Lagrange函数,其临界点方程一致于原定义在约束上的目标 函数的临界值。 第2课时:②Rm中1维曲面的隐式表示,涉及切向量的计算。③Rm中m-1维曲面的隐式 表示,涉及切空间以及法向量的确定 4.讲述特点及追求效果 ◇基于有限维 Euclid空间中的隐映照定理,可澄清m维 Euclid空间中k维曲面的隐式表 示,具体形式是将曲面局部地表示成 Monge型曲面。籍此,按1<k<m,k=1以及k=m-1 的情形(对应k维抽象曲面,曲线以及一般曲面)进行细致分析,特别设计了相应的图 示。基于k维抽象曲面的局部 Monge型表示,我们处理了带有约束的最值问题,此过程 中将 Lagrange乘子法作为对应的形式运算。其它情形,则按一般曲线及曲面的几何特性 进行研究 ◇对于多元微分学,我们的叙述按有限维 Euclid空间上的微分学。这符合教学的一流化追 求。学生初学会稍感“抽象”,但可通过清晰叙述以及多次的“温故而知新”而变得逐渐 “熟悉”。有限维 Euclid空间上的微分学,无论对于后续数学知识体系的学习,还是对 于专业知识体系的学习都具有举足轻重的作用。按实际的经验,学生以多元函数为对象 学习多元微分学并非具有将相关知识体系“自然而然地或者较为轻松地”提升至面对向 量值映照的微分学,然而实际需要的自然是后者 ◇对于复旦的学生,研究与实践“从抽象至具体”的教学路径是具有深远意义的;应该尽 量鼓励和帮助我们的学生尽量掌握高层次的知识体系,由此将具有更为宽广的实践范围。 5.教学方式 全程脱稿板书。 第5页共5页

教案：有限维 Euclid 空间中隐映照定理的应用——m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表示 第 5 页 共 5 页  1 1 , ,   m T span g g x x m       。相应地，也可确定法向量   m n x    ，满足：       1 1, 0 T T m D x nx I D x nx m                  。 3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：① m  中k 维曲面  1  k m 的隐式表示，应用于 m  中带有约束的最值问题；相 关结论可通过引入 Lagrange 函数，其临界点方程一致于原定义在约束上的目标 函数的临界值。 第 2 课时: ② m  中 1 维曲面的隐式表示，涉及切向量的计算。③ m  中m 1维曲面的隐式 表示，涉及切空间以及法向量的确定。 4. 讲述特点及追求效果  基于有限维 Euclid 空间中的隐映照定理，可澄清 m 维 Euclid 空间中 k 维曲面的隐式表 示，具体形式是将曲面局部地表示成 Monge 型曲面。籍此，按1 k m ，k 1以及k m 1 的情形（对应 k 维抽象曲面，曲线以及一般曲面）进行细致分析，特别设计了相应的图 示。基于 k 维抽象曲面的局部 Monge 型表示，我们处理了带有约束的最值问题，此过程 中将 Lagrange 乘子法作为对应的形式运算。其它情形，则按一般曲线及曲面的几何特性 进行研究。  对于多元微分学，我们的叙述按有限维 Euclid 空间上的微分学。这符合教学的一流化追 求。学生初学会稍感“抽象”，但可通过清晰叙述以及多次的“温故而知新”而变得逐渐 “熟悉”。有限维 Euclid 空间上的微分学，无论对于后续数学知识体系的学习，还是对 于专业知识体系的学习都具有举足轻重的作用。按实际的经验，学生以多元函数为对象 学习多元微分学并非具有将相关知识体系“自然而然地或者较为轻松地”提升至面对向 量值映照的微分学，然而实际需要的自然是后者。  对于复旦的学生，研究与实践“从抽象至具体”的教学路径是具有深远意义的；应该尽 量鼓励和帮助我们的学生尽量掌握高层次的知识体系，由此将具有更为宽广的实践范围。 5. 教学方式 全程脱稿板书