复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）07 多项式（第五章）

多项式概念 设n∈N,K是一个数域,x是一个形式符号(或称未定元)。形式 表达式 anx+an-Ir+.+a1x+ao 其中,ao,a1,…,an∈K,称为数域K上的一个一元多项式。称其中 的ax为第i项,称为第i次项的系数。 当n≠0时,称此多项式为一个n次多项式,其次数n记 为n=deg(anx+an-1x-1+…+a1x+ao) 通常,用f(x),g(x),…或f,g,……来表示多项式。K上的多项式全 体记为K{x]。 零次多项式是一个非零常数多项式,每项系数均为零的多项式 (即0常数多项式)称为零多项式,其次数定义为-∞。 当多项式f(x)与g(x)的所有同次项均相等时, 称f(x)与g(x)相等,记为f(x)=g(x)

pê õ‘ª õ‘ªVg õ‘ªVg ½Â  n ∈ N§K ´‡ê§x ´‡/ªÎÒ£½¡™½¤"/ª Lˆª anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0§ Ù¥§a0, a1, · · · , an ∈ K§¡êK þ‡õ‘ª"¡Ù¥  aix i 1 ig‘§¡ ai 1 i g‘Xê"  an 6= 0 ž§¡dõ‘ª‡ n gõ‘ª§Ùgên P  n = deg ￾ anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0
" Ï~§^ f(x), g(x), · · · ½ f, g, · · · 5L«õ‘ª"K þõ‘ª NP K [x]" "gõ‘ª´‡š"~êõ‘ª§z‘Xêþ"õ‘ª £= 0 ~êõ‘ª¤¡"õ‘ª§Ùgê½Â −∞" õ‘ª f(x) † g(x) ¤kÓg‘þƒž§ ¡ f (x) † g (x)ƒ§P f(x) = g(x)"

多项式的运算:多项式的“和”:对应系数相加;“差”:对应的系 数相减;“积”:使用分配律并合并同类项。具体如下: 设f(x)=2ax,g8x)=2h f(x)±g(x)= 艺(士b,a(=(∑ 次数公式:deg(f(x)±g(x)≤ max(degf(r), deg g(r)), degf(r)g(r)=degf(x)+deg g(r)

pê õ‘ª õ‘ªVg õ‘ª$Žµõ‘ª“Ú”µéAXêƒ\¶“”µéAX êƒ~¶“È”µ¦^©Æ¿Ü¿Óa‘"äNXeµ  f(x) = n ∑ i=0 aix i§g(x) = m ∑ j=0 bjx j§ f(x) ± g(x) = max{n,m} ∑ i=0 (ai ± bi)x i¶f(x)g(x) = n+m ∑ k=0 ( ∑ i+j=k aibj)x k" gêúªµdeg(f(x) ± g(x)) ≤ max(deg f(x), deg g(x))§deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x)"

定理(带余除法) 设f(x),0≠g(x)∈Kx,则存在唯一的一对q(x),r(x)∈K冈,使得 f(r)=g(r)g(r)+r(x) 成立,其中degr(x)<degg(x)。 带余除法中的q(x)称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除f(x)的余式 当r(x)=0时,我们称g(x)整除f(x) 义(整除) 设f(x),0≠g(x)∈Kx],若存在q(x)∈K[x,使得 f(r)=8(x)q(r) 则称g(x)整除f(x),记为"g(x)|f(x)"。若上面的q(x)不存在,则称g(x)不 整除f(x),记为“g(x)f(x)"。当g(x)f(x)时,称g(x)为f(x)的因 式,f(x)为g(x)的倍式。 设f(x),0≠g(x)∈Kx],则g(x)|f(x)当且仅当g(x)除f(x)的余式为零

pê õ‘ª Ø ½n (‘{Ø{)  f(x), 0 6= g(x) ∈ K[x]§K3é q(x), r(x) ∈ K [x]§¦ f(x) = q(x)g(x) + r(x) ¤á§Ù¥ deg r(x) < deg g(x)" ‘{Ø{¥ q(x) ¡ g(x) Ø f(x) û§r(x) ¡ g(x) Ø f(x) {ª"  r(x) = 0 ž§·‚¡ g(x) Ø f(x)" ½Â (Ø)  f(x), 0 6= g(x) ∈ K[x]§e3 q(x) ∈ K [x]§¦ f(x) = g(x)q(x) K¡ g(x)Øf(x)§P“g(x) | f(x)”"eþ¡ q (x) Ø3§K¡ g(x) Ø Ø f(x)§P“g(x) ∤ f(x)”"  g(x) | f(x) ž§¡ g(x)  f(x) Ï ª§f(x)  g(x) ª" íØ  f(x), 0 6= g(x) ∈ K[x]§Kg(x) | f(x) …= g(x) Ø f(x) {ª""

整除有下列性质 ③非零多项式f(x)整除其自己 Q传递性:若f(x)|g(x),g(x)|h(x),则f(x)|h(x) 若f(x)lg(x),g(x)|f(x),则f(x)=cg(x),其中0≠c∈K; Q若f(x)lg(x),i=1,2,…,m,则 f(x)|lu1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+um(x)gm(x) 其中u1(x)∈K[x] ③若f(x)|g(x),则可f(x)|g(x),其中0≠c∈K Q若g(x)|(f1(x)+22(x)且g(x)|(2f1(x)+2(x), x &(x)lf(x), 8(r)If(x) 求a,b,使x2+x+a1x3+bx+1

pê õ‘ª Ø Øke5Ÿµ ·K (Ø5Ÿ) 1 š"õ‘ª f(x) ØÙgC¶ 2 D45µe f(x) | g(x)§g(x) | h(x)§K f(x) | h(x)¶ 3 e f(x) | g(x)§g(x) | f(x)§K f(x) = cg(x)§Ù¥ 0 6= c ∈ K¶ 4 e f(x) | gi(x)§i = 1, 2, · · · , m§K f(x) | [u1(x)g1(x) + u2(x)g2(x) + · · · + um(x)gm(x)] Ù¥ ui (x) ∈ K [x]¶ 5 e f(x) | g(x)§K cf(x) | g(x)§Ù¥ 0 6= c ∈ K" ~ 1 e g(x) | (f1(x) + 2f2(x)) … g(x) | (2f1(x) + f2(x))§ K g(x) | f1(x)§g(x) | f2(x)" 2 ¦ a§b§¦ x 2 + x + a | x 3 + bx + 1"

定义(公因式) 如果多项式d(x)既是f(x)的因式,也是g(x)的因式,则 称d(x)是f(x)和g(x)的一个公因式。设f(x)、g(x)∈K(x],不全为 零,若d(x)∈K{x],满足 d(x)是f(x)和g(x)的公因式 f(x),g(x)的公因式都是d(x)的因式,即 若d1(x)|f(x)^d1(x)|g(x),则d1(x)|d(x), 则称d(x)是f(x)和8(x)的最大公因式。当d(x)的首项系数 为1(称为首1),则记 d(x)=(f(x),8(x)。 (1)若0≠f(x)|g(x)∈K冈,则f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公 因式。(2)在带余除法f(x)=q(x)g(x)+r(x)中f(x)与8(x)公因式 集和g(x)与r(x)公因式集相同

pê õ‘ª ŒúϪ ½Â (úϪ) XJõ‘ª d(x) Q´ f(x) Ϫ§´ g(x) Ϫ§K ¡ d(x) ´ f(x) Ú g(x) ‡úϪ"  f(x)!g(x) ∈ K[x]§Ø "§e d (x) ∈ K [x]§÷v 1 d(x) ´ f(x) Ú g(x) úϪ¶ 2 f(x)§g(x) úϪѴ d(x) Ϫ§= e d1 (x) | f (x) ∧ d1 (x) | g (x)§K d1 (x) | d (x)§ K¡ d (x) ´ f (x) Ú g (x) ŒúϪ" d (x) đXê  1 £¡Ä 1 ¤§KP d (x) = (f (x), g (x)) " Ún (1) e 0 6= f(x) | g (x) ∈ K [x]§K f(x) ´ f(x) † g (x) ‡Œú Ϫ" (2) 3‘{Ø{ f(x) = q(x)g(x) + r(x) ¥ f(x) † g(x) úϪ 8Ú g(x) † r(x) úϪ8ƒÓ"

理 (1)若0≠f(x)g(x)∈Kx,则f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 (2)在带余除法f(x)=q(x)g(x)+r(x)中f(x)与g(x)公因式集 和g(x)与r(x)公因式集相同。 设f(x),g(x)∈K(x不全为零,则f(x)与g(x)的最大公因式d(x)存在,且 存在u(x),(x)∈K[x],使得 d(x)=f(r)u(r)+g(r)o(r) 证明:辗转相除法:利用前面引理,当f(x)和g(x)中有一个整除另一个 时,如g(x)|f(x)时,则g(x)为最大公因式 g(x)=f(x)×0+g(x)×1。 由引理(2) 要求f(x)与g(x)的最大公因式,只需求 g(x)与r(x)的最大公因式,且此时r(x)是f(x)与g(x)的组合;再辗转, 用g(x)与r(x)的带余除法得余式,如此往复,得到结论 最大公因式与数域无关

pê õ‘ª ŒúϪ Únµ (1) e 0 6= f(x) | g (x) ∈ K [x]§K f(x) ´ f(x) † g (x) ‡ŒúϪ" (2) 3‘{Ø{ f(x) = q(x)g(x) + r(x) ¥ f(x) † g(x) úϪ8 Ú g(x) † r(x) úϪ8ƒÓ" ½n  f(x), g(x) ∈ K [x] ؏"§K f (x) † g (x) ŒúϪ d(x) 3§… 3 u(x), v(x) ∈ K [x]§¦ d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x)" y²µ Î=ƒØ{µ|^c¡Ún§ f (x) Ú g (x) ¥k‡Ø,‡ ž§X g (x) | f (x) ž§K g (x) ŒúϪ§… g (x) = f (x) × 0 + g (x) × 1" dÚn£ 2 ¤§‡¦ f (x) † g (x) ŒúϪ§I¦ g (x) † r(x) ŒúϪ§…dž r(x) ´ f (x) † g (x) |ܶ2Î=§ ^ g (x) † r(x) ‘{Ø{{ª§Xd E§(Ø" 5 ŒúϪ†êÃ'"

定义(互素多项式) 设f(x),g(x)∈K(x,若(f(x),g(x)=1,则称f(x),g(x)互素。 K[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是存 在l(x),(x)∈Kx],使得 l(x)f(x)+o(x)g(x)=1。 上述定理是有关两个多项式互素的最重要的关系式。 如果(f(x),g(x)=1,且f(x)lg(x)h(x),则f(x)h(x) ⊙如果f1(x)g(x),2(x)g(x),且(f1(x)12(x)=1, 则f1(x)f2(x)g(x); 如果(61(x)g(x)=1,(E2(x),8(x)=1, 则(1(x)2(x)g(x)=1

pê õ‘ª ŒúϪ ½Â (pƒõ‘ª)  f(x)§g(x) ∈ K [x]§e (f(x), g(x)) = 1§K¡ f (x)§g (x) pƒ" ½n K[x] ¥ü‡õ‘ª f(x)§g(x) pƒ¿‡^‡´ 3 u(x), v(x) ∈ K [x]§¦ u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1" þã½n´k'ü‡õ‘ªpƒ­‡'Xª" ½n 1 XJ (f(x), g(x)) = 1§… f(x)|g(x)h(x)§K f(x)|h(x)¶ 2 XJ f1(x)|g(x), f2(x)|g(x)§… (f1(x), f2(x)) = 1§ K f1(x)f2(x)|g(x)¶ 3 XJ (f1(x), g(x)) = 1§(f2(x), g(x)) = 1§ K (f1(x)f2(x), g(x)) = 1"

设f(x)(x)…,f(x)∈Kx不全为零,d(x)∈K(x]满足 od(x)|f(x),Ⅵ1≤i≤n; 如果d1(x)|f(x),Ⅵ1≤i≤n,则d1(x)|d(x), 则称d(x)为f1(x)(x)…fn(x)的最大公因式,首一的最大公因式 记为(f1(x),2(x),……,fn(x)。 易知, f(x)2(x)…,f(x)=(…(1(x)f2(x),3(x),…),fn(x) 并用归纳法可证存在m1(x),u2(x)……,n(x)∈K[x],使得 (61(x),2(x),…,fn(x)=f1(x)a1(x)+2(x)u2(x)+…+fn(x)n(x)

pê õ‘ª ŒúϪ ½Â  f1(x), f2(x), . . . , fn(x) ∈ K [x] ؏"§d(x) ∈ K [x] ÷vµ 1 d(x) | fi(x)§∀1 ≤ i ≤ n¶ 2 XJ d1(x) | fi(x)§∀1 ≤ i ≤ n§K d1(x) | d(x)§ K¡ d (x)  f1(x), f2(x), . . . , fn(x) ŒúϪ§ÄŒúϪ P (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))" ´§ (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) = ((· · ·((f1(x), f2(x)), f3 (x)), . . .), fn(x)) ¿^8B{Œy3 u1(x), u2(x), . . . , un(x) ∈ K [x]§¦ (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) = f1 (x) u1 (x)+f2 (x) u2 (x)+ · · ·+fn (x) un (x) "

定理(中国剩余定理) 设f1(x)……,fn(x)∈K(x]两两互素,则对任意给定 的a1(x)…,an(x)∈K(x,必存在8(x),q1(x)……,m(x)∈K[x 使得 g(x)=f(x)9(x)+a1(x),(记为g(x)=a1(x)mod(x),i=1,……,n 证明:f(x)与f1(x)…f-1(x)f+1(x)…·fn(x)互素,所以存 在u1(x),v1(x)使得 f(x)u1(x)+f1(x)…f-1(x)f+1(x)…fn(x)v1(x)=1 于是对任意的1≤k≤n 小(x)v1(x)I6()=∑n(x)01(x)I(x)+0(x)61(x)…-1(x) ∑41(x)2(x)(x)+a(x)-(x)(x)。 取8(x)=∑=141(x)21(x)(x)即可。可知,每个这样的解与给

pê õ‘ª ŒúϪ ½n (¥I{½n)  f1 (x), . . . , fn (x) ∈ K [x] üüpƒ§Ké?¿‰½  a1 (x), . . . , an (x) ∈ K [x]§73 g (x), q1 (x), . . . , qn (x) ∈ K [x]§ ¦ g (x) = fi (x) qi (x)+ai (x), (Pg (x) ≡ ai (x) mod fi (x) §i = 1, . . . , n" y²µfi (x) † f1 (x)· · · fi−1 (x)fi+1 (x)· · · fn (x) pƒ§¤± 3 ui (x), vi (x) ¦ fi (x) ui (x) + f1 (x)· · · fi−1 (x)fi+1 (x)· · · fn (x) vi (x) = 1 u´é?¿ 1 ≤ k ≤ n n ∑ i=1 ai (x) vi (x)∏ j6=i fj (x) = n ∑ i6=k ai (x) vi (x)∏ j6=i fj (x) + ak (x)f1 (x)· · · fk−1 (x)fk+1 = n ∑ i6=k ai (x) vi (x)∏ j6=i fj (x) + ak (x) − fk (x) uk (x) "  g (x) = ∑ n i=1 ai (x) vi (x) ∏j6=i fj (x) =Œ"Œ§z‡ù)†‰ ½ g (x) ƒ ∏ n j=1 fj (x) ª"

中国剩余定理 公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之 余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何? 答为“233”。也就是求同余式组 X≡2mod3 x≡3mod5 x≡2mod7 明朝程大位用歌谣给出了该题的解法:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝 七子团圆月正半,除百零五便得知。” (3,5×7)=1,3×(-23)+(35×2)=1 (5,21)=1 (,15)=1,7x(=2)+(15×1 所以 的数是 2×(35×2)+3×(21×1)+2×(15×1)+<3×5×7)×k=233+105

pê õ‘ª ŒúϪ ¥I{½n úc￾5šfŽ²6¥k“ÔØꔯKµ“8kÔØÙê§nnêƒ { §ÊÊêƒ{n §ÔÔêƒ{§¯ÔAÛº” ‰“233”"Ò´¦Ó{ª|    x ≡ 2 mod 3 x ≡ 3 mod 5 x ≡ 2 mod 7 ¶ ²Š§Œ ^y‚‰Ñ TK){µ“n<Ó1ԛD§Êärsö{§ Ôf쌧Øz"ÊB"” (3, 5 × 7) = 1§3 × (−23) + 35 × 2 = 1¶ (5, 21) = 1§5 × (−4) + 21 × 1 = 1¶ (7, 15) = 1§7 × (−2) + 15 × 1 = 1¶ ¤±§‡¦ê´ 2× 35 × 2 +3× 21 × 1 +2× 15 × 1 + 3 × 5 × 7 ×k = 233+105k"