数域 我们使用过很多数集符号,如Z、Q、R、C、N等。其中有些数集 是关于“加、减、乘、除"封闭的,有些只关于“加、减、乘"封闭,也 有的只关于“加、乘”运算封闭。 就Q、R、C而言,它们关于“加、减、乘、除”运算都封闭,我们称 之为城,而Z是关于“加、减、乘”封闭,称为环。 复数集C的一个非空非零子集F若关于“加、减、乘、除"运算封闭 (在作除法时,除数要求不为零),则称之为一个数域 常见的数域有上面的Q、R、C。我们也可以构造一个不太常见的数 域,如Q={+b2其中b∈Q}。这也是一个数域。因 为e不是一个代数数,所以 0+a1e+……+anen Q(e bo+bre+ lanb;∈Q 0≤i≤n1≤j≤mbo,b,…,bn不全为零 也是一个数域
p ê EƵÁ 5m ê ê ·¦^Léõê8ÎÒ§X Z!Q!R!C!N "Ù¥k ê8 ´'u“\!~!¦!Ø”µ4§k 'u“\!~!¦”µ4§ k'u“\!¦”$µ4" Ò Q!R!C ó§§'u“\!~!¦!Ø”$ѵ4§·¡ § Z ´'u“\!~!¦”µ4§¡" ½Â Eê8 C "f8 F e'u“\!~!¦!Ø”$µ4 £3Ø{§Øê¦Ø"¤§K¡ê" ~êkþ¡ Q!R!C"·±EØ~ê §X Q h√ 2 i = n a + b √ 2 | Ù¥a, b ∈ Q o "ù´ê"Ï e Ø´êꧤ± Q (e) = a0 + a1e + · · · + ane n b0 + b1e + · · · + bmem | ai , bj ∈ Q, 0 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, b0, b1, . . . , bnØ " ´ê"
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n}
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n "
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:Va,β∈K,有a+B=B+a
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a Q加法结合律:Va,B∈K,有(a+B)+T=a+(B+m);
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} 加法交换律:Ⅶa,B∈K,有a+β=β+a Q加法结合律:a,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+); ●“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=a;
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; Q“负元”存在性:即Ⅵa∈K,存在β∈K,使得a+B=0
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:A,∈K,Wa∈K,有(A+p)=Ma+ua;
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:Vλ,H∈K,a∈K,有(λ+p)a=Aa+ua; 右分配律:VA∈K,Wa,B∈K,都有A(a+B)=Aa+AB
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Æµ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:VλH∈K,Wa∈K",有(λ+p)a=Aa+Ha; 右分配律:VA∈K,wa,B∈阳,都有A(a+β)=Aa+AB Q数乘结合律:VAH∈K,a∈和,都有(A)a=A(a)=p(Aa);
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Æµ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ 7 ê¦(ÜƵ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§Ñk (λµ)α = λ(µα) = µ(λα)¶
性空闻 定义(m维行(列)向量) 设K是数域,a1,…,an是K中的n个数,则称有序数组(a1…,an)为数 域K上的n维行向量,称有序数组 为数域K上的n维列向量。 在前面一章,我们介绍过列向量的加法,数乘。当我们把列向量与有向线段 (矢量)等同起来后,我们也知道,列向量的加法就是矢量的平行四边形求 和,列向量的数乘就是矢量的放缩。关于行(列)向量的加法和数乘,我们验 证过有下列八条性质成立 an)|a∈K,1≤i≤n} Q加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a e加法结合律:Va,B,T∈K,有(a+B)+?=a+(B+7); ◎“零元”存在性:即存在0∈K,使得Ⅶa∈K,有0+a=; ●“负元”存在性:即ⅶa∈K,存在β∈和,使得a+β=0 左分配律:VλH∈K,Wa∈K",有(λ+p)a=Aa+Ha; 右分配律:VA∈K,wa,B∈阳,都有A(a+β)=Aa+AB 数乘结合律:VA,H∈K,Va∈K,都有(A)=A(a)=H(Aax); 幺等律:Va∈K,1a=a
p ê EƵÁ 5m 1þmþm ½Â (n 1£¤þ) K ´ê§a1 , . . . , an ´ K ¥ n ê§K¡kSê| (a1 , . . . , an) ê K þ n 1þ§¡kSê| a1 . . . an ê K þ n þ" 3c¡Ù§·0 Lþ\{§ê¦"·rþkã £¥þ¤ Óå5§·§þ\{Ò´¥þ²1o>/¦ Ú§þê¦Ò´¥þ "'u1£¤þ\{Úꦧ· yLkel^5¤á" P K n = a1 · · · an | ai ∈ K§1 ≤ i ≤ n " 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Æµ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ 7 ê¦(ÜƵ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§Ñk (λµ)α = λ(µα) = µ(λα)¶ 8 N Ƶ∀α ∈ K n§1α = α"