复旦大学：《数学分析》教案讲稿_向量值映照的有限增量公式

教案:向量值映照的有限增量公式 教案:向量值映照的有限増量公式 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:多维函数与向量值映照的有限增量估计 2.知识要素(教学内容细致目录) ①基于单参数曲线化的多维函数的有限增量估计 定理:设y∈R为∫(x)∈R之定义域D2中连接A和B二点的光滑曲线,f(x)在y上可微,则有估计 (B)-/(4)≤ suplY(x),例代表曲线的弧长。 分析:考虑连接曲线 y()[a]y()=x()∈R",y(a)=A,y(b)=B 对[ab]引入分割Pa=6<…<t1<1<…<ty=b。 引入:q()[=14]3→()°()∈R,对其应用 Lagrange中值定理,有 fy()-fy(x)=[D((x)(x),A∈(t-,) 可有估计 r()-fy(x-)=1p(():(m)△MsD(r(x)(x)AM uplDf(x). (u,)I 由此可有:1(B)-(4)=[/=()-1(-)≤spD(x).∑()M 取极限P→0,则有:(B)-f(4)≤supo(x)jp(O)l-dt。 ②基于单参数曲线化的向量值映照的有限增量估计 定理:设ycR"为∫(x)∈R之定义域D,中连接A和B二点的光滑曲线,f(x)在y上可微,则有估 计J(B)-f(4)sspD(x)-,代表曲线的弧长。 分析:考虑上述一致的连接曲线及分割。考虑如下的函数 q()[=4]319(0)∑ry()[rmy()-=oy() 第1页共2页

教案：向量值映照的有限增量公式 第 1 页 共 2 页 教案：向量值映照的有限增量公式 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：多维函数与向量值映照的有限增量估计。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① 基于单参数曲线化的多维函数的有限增量估计 定理：设 m   为 f x  之定义域 D x 中连接 A 和 B 二点的光滑曲线， f x  在  上可微，则有估计     sup   m f B f A Df x     ，  代表曲线的弧长。 分析：考虑连接曲线：  : ,       m   t a b t t x t    ， a A   ， b B   对 a b,  引入分割 0 1 : P a t t t t b        i i N  。 引入：    t t t t t f t : ,  i i 1        ，对其应用 Lagrange 中值定理，有： f t f t Df t        i i i i i       1           ， i i i t t 1 ,  可有估计：                   1 sup m m m m i i i i i i i i i i f t f t Df t Df t Df x t                         ，i N 1, , 由此可有：        1      1 1 sup m m N N i i i i i i f B f A f t f t Df x t                     取极限 P  0 ，则有：     sup   m m   b a f B f A Df x t dt       。 ② 基于单参数曲线化的向量值映照的有限增量估计 定理：设 m   为   m f x  之定义域 D x 中连接 A 和 B 二点的光滑曲线， f x  在  上可微，则有估 计 f B f A Df x     n n m sup        ，  代表曲线的弧长。 分析：考虑上述一致的连接曲线及分割。考虑如下的函数    1 1          1 : , n i i i i t t t t t f t f t f t                   

教案:向量值映照的有限增量公式 对其利用 Lagrange中值定理有 9()-g()2∑[ry()-ry(-)=1y()-f7() ∑S(()()[()-r()M =[()-/y(,D(()(x)△ sy()-fy(t-)=p(()=1(x)△ 亦即有估计:|fy()-f=y(-)sD((x)=()…△≤spf(x)=|()4 由此可有 f(B)-(4)l=∑[y()-f07() sS()-fy()sD(()=∑()△ 取极限P→0,则有:|(B)-f(4)≤sp(x)l-j()l-at 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第2课时: 4.讲述特点及追求效果 区别于一般基于单参数直线化的处理,我们成功实现基于单参数曲线化的处理,获得了一般多维函数 与一般向量值映照的有限增量估计,当连接曲线为直线时则为一般教程中的结果形式。分析上,首先 将连接曲线分成若千段,每段上获得有限增量估计,然后基于 Riemann积分有关理论获得最终结果。 ◇基于相关分析,让学生感悟基于已有的分析方法获得新结果的一种过程。引导学生真正理解和掌握数 学分析中基本的思想及方法(可称为“微积分或数学分析原理”,相比于具体结论更为本质和更有意 义),综合应用这些具有基础意义的思想及方法可能获得新的结论。 5.教学方式 全程脱稿板书。 第2页共2页

教案：向量值映照的有限增量公式 第 2 页 共 2 页 对其利用 Lagrange 中值定理有：                                         2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n m n m n i i i i i i n m i i i i i T i i i i i i i i i i t t f t f t f t f t f x f t f t t x f t f t Df t f t f t Df t                                                                                     亦即有估计：    1  n m n m m      sup     i i i i i i i n m f t f t Df t Df x t                    由此可有：                  1 1 1 1 1 n n n m n m N i i i N N i i i i i i i f B f A f t f t f t f t Df t                              取极限 P  0 ，则有：     n n m m sup     b a f B f A Df x t dt        。 3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时： 第 2 课时: 4. 讲述特点及追求效果  区别于一般基于单参数直线化的处理，我们成功实现基于单参数曲线化的处理，获得了一般多维函数 与一般向量值映照的有限增量估计，当连接曲线为直线时则为一般教程中的结果形式。分析上，首先 将连接曲线分成若干段，每段上获得有限增量估计，然后基于 Riemann 积分有关理论获得最终结果。  基于相关分析，让学生感悟基于已有的分析方法获得新结果的一种过程。引导学生真正理解和掌握数 学分析中基本的思想及方法（可称为“微积分或数学分析原理”，相比于具体结论更为本质和更有意 义），综合应用这些具有基础意义的思想及方法可能获得新的结论。 5. 教学方式 全程脱稿板书