微分流形上微分学——流形上的张量场 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 1.1切向量 定义1.1(切向量的映照观点定义).设有映照X为 x:63∫→X(f)∈ 式中6表示在p点某个邻域内有定义的无限光滑函数,X()满足 1.线性性:X(af+6g)=aX(f)+BX(g),Va,B∈R,Vf,g∈ 2. Leibniz t: X(g)=X()g(p)+f(p)X(9, Vf,gE6po 则称映照X为切向量. 记p∈M的切向量全体为TM,在其上引入线性结构,即x,Y∈TnM,Va,B∈R,定 义 (ax+Br(sax)+BY(), 由此TM成为线性空间 以下研究X∈TpM的表示形式对于vf∈台,引入一个坐标卡o(a),则可有 fo(x)=∫oo(arp)+/J。o(xp+t(x-p)dt ro60)+/o Ori -(p +t(r-tp)(r-Ip)idt O(foφ) =fo叭(xp)+ dr(ap+t(z- p)d (z-Tp f oo(p)+hi(a(a- p) 此处h(x):= r(p+(x-2)d,满足h)=o(。(x 考虑到,对于Vc=常数,有 x(c)=X(1·c)=X(1)c+1x(c)=2x(c)
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的张量场 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 切向量 定义 1.1 (切向量的映照观点定义). 设有映照 X 为 X : C ∞ p ∋ f 7→ X(f) ∈ R, 式中 C ∞ p 表示在 p 点某个邻域内有定义的无限光滑函数, X(f) 满足: 1. 线性性: X(αf + βg) = αX(f) + βX(g), ∀ α, β ∈ R, ∀ f, g ∈ C ∞ p ; 2. Leibniz 性: X(fg) = X(f)g(p) + f(p)X(g), ∀ f, g ∈ C ∞ p , 则称映照 X 为切向量. 记 p ∈ M 的切向量全体为 TpM, 在其上引入线性结构, 即 ∀ X,Y ∈ TpM, ∀ α, β ∈ R, 定 义 (αX + βY )(f) , αX(f) + βY (f), 由此 TpM 成为线性空间. 以下研究 X ∈ TpM 的表示形式. 对于 ∀ f ∈ C ∞ p , 引入一个坐标卡 ϕ(x), 则可有 f ◦ ϕ(x) = f ◦ ϕ(xp) + ∫ 1 0 ˙ f ◦ ϕ(xp + t(x − xp))dt = f ◦ ϕ(xp) + ∫ 1 0 ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp + t(x − xp))(x − xp) idt = f ◦ ϕ(xp) + [∫ 1 0 ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp + t(x − xp))dt ] (x − xp) i =: f ◦ ϕ(xp) + hi(x)(x − xp) i . 此处 hi(x) := ∫ 1 0 ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp + t(x − xp))dt, 满足 hi(xp) = ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp). 考虑到, 对于 ∀ c = 常数, 有 X(c) = X(1 · c) = X(1)c + 1X(c) = 2X(c), 1
微分流形上微分学—一流形上的张量场 谢锡麟 所以X(c)=0.故有 X(=X(op(a))=X(foo(rp)+X(hi(ar(a-p)) X(hi(e)(p-fp)+hi(ap)x((ar-tp)) X(-)-m(a)∈R 引入映照 anr(p):3f→ar()()aa(on)∈R 满足性质 1.线性性:对f,g∈6,有 ax(p)+9)=a(+9)°x)=ar(xn)+ar1(°(xp) 0 0 ax2(p)()+a(P)(9 2. Leibniz性:对vf,g∈,有 9(p(f9)=af9)°dp) dai (foo)(p)9op(rp)+foo(p)lari (goo)(tp) ax(p)0)·9(p)+f(p)a2(p)() 因此,∈TM.故有 a(f X()=x-()=X(p()=Xm(p)(0 可有VX∈TM的表达式 X=XPETpM, X: X((r-Tp) 12余切向量 定义1.2(余切向量).按泛函分析的观点,余切向量定义为切向量的对偶,余切向量空间 TM定义为切向量空间TnM的对偶空间,即6∈TM,有 e(X):TpM3X+(X)∈R 满足线性性Va,B∈R,VX,Y∈TM,有 e(ax+Br=oe(X)+Be(Y), 则∈TM称为余切向量.在余切向量空间TM上,引入如下线性结构 (a+B0)(X)=a6(X)+B6(X)∈R,VX∈ThnM,va,B∈R,v6,6∈T"M, 由此余切空间TM成为线性空间
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 所以 X(c) = 0. 故有 X(f) = X(f ◦ ϕ(x)) = X(f ◦ ϕ(xp)) + X(hi(x)(x − xp) i ) = X(hi(x))(xp − xp) i + hi(xp)X((x − xp) i ) = X((x − xp) i ) ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp) ∈ R. 引入映照 ∂ ∂xi (p) : C ∞ p ∋ f 7→ ∂ ∂xi (p)(f) , ∂ ∂xi (f ◦ ϕ)(xp) ∈ R, 满足性质: 1. 线性性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ∂ ∂xi (p)(f + g) = ∂ ∂xi (f + g) ◦ ϕ(xp) = ∂ ∂xi (f ◦ ϕ)(xp) + ∂ ∂xi (g ◦ ϕ)(xp) = ∂ ∂xi (p)(f) + ∂ ∂xi (p)(g); 2. Leibniz 性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ∂ ∂xi (p)(fg) = ∂ ∂xi (fg) ◦ ϕ(xp) = [ ∂ ∂xi (f ◦ ϕ)(xp) ] g ◦ ϕ(xp) + f ◦ ϕ(xp) [ ∂ ∂xi (g ◦ ϕ)(xp) ] = ∂ ∂xi (p)(f) · g(p) + f(p) · ∂ ∂xi (p)(g). 因此, ∂ ∂xi ∈ TpM. 故有 X(f) = Xi ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp) = Xi ∂ ∂xi (p)(f) = [ Xi ∂ ∂xi (p) ] (f). 可有 ∀ X ∈ TpM 的表达式 X = Xi ∂ ∂xi (p) ∈ TpM, Xi := X((x − xp) i ). 1.2 余切向量 定义 1.2 (余切向量). 按泛函分析的观点, 余切向量定义为切向量的对偶, 余切向量空间 T ∗ p M 定义为切向量空间 TpM 的对偶空间, 即 ∀ θ ∈ T ∗ p M, 有 θ(X) : TpM ∋ X 7→ θ(X) ∈ R, 满足线性性 ∀ α, β ∈ R, ∀ X,Y ∈ TpM, 有 θ(αX + βY ) = αθ(X) + βθ(Y ), 则 θ ∈ T ∗ p M 称为余切向量. 在余切向量空间 T ∗ p M 上, 引入如下线性结构: (αθ˜ + βθˆ)(X) = αθ˜(X) + βθˆ(X) ∈ R , ∀ X ∈ TpM, ∀ α, β ∈ R, ∀ θ˜, θˆ ∈ T ∗ p M, 由此余切空间 T ∗ p M 成为线性空间. 2
微分流形上微分学—流形上的张量 谢锡麟 下面研究余切向量e∈TM的表示.首先引入如下泛函dr dx3(p)(X):TM3X+dx(p)(X)全X1∈R 对a,B∈R,X,Y∈TM,可有 dr(p)(ax+Br)=ax+By= adr(p)(x)+ Bd r(p)(Y), 亦即有dn(p)∈TpM 然后考虑 x)()x)=x 其中019/O n).故有余切向量的一般表示 6dx2∈T 对于Rm+中的m维曲面,在切空间T∑=span{9)}m1上可定义内积运算 (…)m+1: Tp2xTp231,}→(5,m)m+1=(g,m91)m+1=:95m∈R, 此处 R 对Ve∈TM,按泛函分析中的 F Riesz定理,有彐!X∈TnM满足 TpM=(ra 0 由此,可以引入TM上的内积 (,)TM: TpM X TpM>(X,Y)H(X,Y),M=(Xa(p) TpM 会g;XY∈R 另有 e(X)=6(Xm(p))=2X, 故有 X=01,X=g19. 由此有 6=6dr(p)~xe=Xban(p)~Xi9:=9“69=6k9 即有=bd(p)~bg2,有 6(X)=(X91,6193)Rm+1=X61∈R 综上所述,对于Rm+1中的m维曲面∑ ax251M可对应为g(x)∈TE,mm()理解为 在p点∫沿x2曲线的变化率.dx(p)可对应为g(xp)∈TM,dr(p)(X)=(X9,9)厘m+
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 下面研究余切向量 θ ∈ T ∗ p M 的表示. 首先引入如下泛函 dx j : dx j (p)(X) : TpM ∋ X 7→ dx j (p)(X) , Xj ∈ R. 对 ∀ α, β ∈ R, ∀ X,Y ∈ TpM, 可有 dx j (p)(αX + βY ) = αXj + βY j = αdx j (p)(X) + βdx j (p)(Y ), 亦即有 dx j (p) ∈ T ∗ p M. 然后考虑 θ(X) = θ ( Xi ∂ ∂xi (p) ) = θ ( ∂ ∂xi (p) ) dx i (X) =: θidx i (X), 其中 θi , θ ( ∂ ∂xi (p) ) . 故有余切向量的一般表示 θ = θidx i ∈ T ∗ p M , θi = θ ( ∂ ∂xi ) . 对于 R m+1 中的 m 维曲面, 在切空间 TpΣ = span{gi (x)} m i=1 上可定义内积运算 (·, ·)Rm+1 : TpΣ × TpΣ ∋ {ξ, η} 7→ (ξ, η)Rm+1 = (ξ i gi , ηj gj )Rm+1 =: gijξ i η j ∈ R, 此处 gij , ( gi , gj ) Rm+1 ∈ R. 对 ∀ θ ∈ T ∗ p M, 按泛函分析中的 F.Riesz 定理, 有 ∃ ! Xθ ∈ TpM 满足: θ(X) = ⟨X, Xθ⟩TpM = ⟨ Xi ∂ ∂xi (p), Xj θ ∂ ∂xj (p) ⟩ TpM = gijXiX j θ ∈ R. 由此, 可以引入 TpM 上的内积 ⟨·, ·⟩TpM : TpM × TpM ∋ {X,Y } 7→ ⟨X,Y ⟩TpM = ⟨ Xi ∂ ∂xi (p), Y j ∂ ∂xj (p) ⟩ TpM , gijXiY j ∈ R. 另有 θ(X) = θ ( Xi ∂ ∂xi (p) ) = θiXi , 故有 gijX j θ = θi , Xj θ = g jiθi . 由此有 θ = θidx i (p) ∼ Xθ = Xi θ ∂ ∂xi (p) ∼ Xi θgi = g ikθkgi = θkg k , 即有 θ = θidx i (p) ∼ θig i , 有 θ(X) = (Xi gi , θjg j )Rm+1 = Xi θi ∈ R. 综上所述, 对于 R m+1 中的 m 维曲面 Σ, ∂ ∂xi ∈ TpM 可对应为 gi (xp) ∈ TpΣ, ∂ ∂xi (p)(f) 理解为 在 p 点 f 沿 x i 曲线的变化率. dx i (p) 可对应为 g i (xp) ∈ TpM, dx i (p)(X) = (Xjgj , g i )Rm+1 . 3
微分流形上微分学—一流形上的张量场 谢锡麟 13张量 定义1.3(张量).如果映照 M×…×TM×TnMx…XTM{61,…,6 更(61,…,r;X Xs)∈R 具有对各个变元的线性性,即 (61,…,2,…,θr +(61,…,θ1,…,θ-;X1,……,Xs),1 更 6;X Xi+Bx X a更(61 X +P(61 Xj,…,X),1≤j≤ 则称更为张量,记为φ∈⑧,TM 下面研究更的表示,由 更(61,…,6r;X1 dn(p),…,dn'(m);(n)..0(p)(h…4)(x2…x)∈R, 0x) 1=dm(p)(X1),…,X3=dm3(Xs) 对于余切空间TM,可进一步考虑其对偶空间T*M,可引入 Ozi (p): pMs0- dri (p)(e)=d(p)(, dz(p))=BER 易见an:(p)∈TpM,满足a(p)(dn(p)=2.由此可有 11 (p)(61) p)(0) 引入简单张量a1(p)8…8rp)dnn…8dm TMx…× TpMXTPM X…×TM3{61,…,6n;X1,…,Xs} (p)8…8n-(p)adry18…drl'(61,…,6, X ari(p)(e1) r()(-)["(x1 ∈R
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 1.3 张量 定义 1.3 (张量). 如果映照 Φ : T ∗ p M × · · · × T ∗ p M | {z } r重 × TpM × · · · × TpM | {z } s重 ∋{θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs} 7→ Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) ∈ R 具有对各个变元的线性性, 即 Φ(θ1, · · · , αθ˜ i + βθˆ i , · · · , θr; X1, · · · , Xs) = αΦ(θ1, · · · , θ˜ i , · · · , θr; X1, · · · , Xs) + βΦ(θ1, · · · , θˆ i , · · · , θr; X1, · · · , Xs), 1 6 i 6 r; Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , αX˜ j + βXˆ j , · · · , Xs) = αΦ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , X˜ j , · · · , Xs) + βΦ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xˆ j , · · · , Xs), 1 6 j 6 s, 则称 Φ 为张量, 记为 Φ ∈ ⊗r,sTM. 下面研究 Φ 的表示, 由 Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) = Φ ( θ1,i1 dx i1 (p), · · · , θr,ir dx ir (p); X j1 1 ∂ ∂xj1 (p), · · · , Xjs s ∂ ∂xjs (p) ) = Φ ( dx i1 (p), · · · , dx ir (p); ∂ ∂xj1 (p), · · · , ∂ ∂xjs (p) ) (θ1,i1 · · · θr,ir )(X j1 1 · · · Xjs s ) ∈ R, 已有 X j1 1 = dx j1 (p)(X1), · · · , Xjs s = dx js (Xs), 对于余切空间 T ∗ p M, 可进一步考虑其对偶空间 T ∗∗ p M, 可引入 ∂ ∗ ∂xi (p) : T ∗ p M ∋ θ 7→ ∂ ∗ ∂xi (p)(θ) = ∂ ∗ ∂xi (p)(θjdx j (p)) = θi ∈ R. 易见 ∂ ∗ ∂xi (p) ∈ T ∗∗ p M, 满足 ∂ ∗ ∂xi (p)(dx j (p)) = δ j i . 由此可有 θ1,i1 = ∂ ∗ ∂xi1 (p)(θ1), · · · , θr,ir = ∂ ∗ ∂xir (p)(θr). 引入简单张量 ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js : T ∗ p M × · · · × T ∗ p M | {z } r重 × TpM × · · · × TpM | {z } s重 ∋ {θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs} 7→ ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js (θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) , [ ∂ ∗ ∂xi1 (p)(θ1)· · · ∂ ∗ ∂xir (p)(θr) ] [ dx j1 (X1)· · · dx js (Xs) ] = θ1,i1 · · · θr,irX j1 1 · · · Xjs s ∈ R, 4
微分流形上微分学—流形上的张量 谢锡麟 可引入⑧sTM上的线性结构,亦即 (a+y)(O1,…,Or;X1,…,Xs)全a∮(6 Xs +βy(61,……,0-;X1,…,Xs)∈R. 对v61,…,6-∈TM,X1,…,Xs∈TpM,可有 4(;…,0;x1,…,x。)=吗,)8… 8°(p)dm(p)8…8dr'(p) 中购(0,,)为张量分量故有张最的一般 表示 8TM3垂=如nDn(p)8D(p)dn(p)8…dr(p) 对于Rm+中的m维曲面,已澄清a()~91(xp),dr(p)~g(xp) 定义T*M上的内积 (,)x:M×GM3(0)→(,0)=(d(m,(p)全∈ 对v中∈TM=(T2M)”,按 F Riesz定理,有3!6o∈TM满足 ()=(,6M=(dx2(p,Ody(p)=90o 另有 (6)=(2dx(p)=b(dx2(P)=61, 故有g30=,以及0=9k4,由此 TM=)~dy()=91a/()~9gg()=的9( 可有 p)gk(p 2应用事例 2.1流形上的曲线 流形上曲线可以定义为 7(t):[a,b3t(t)∈M, 引入坐标卡o(x),则有 6- or(t):a, b>+0-on(t)=
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 可引入 ⊗r,sTM 上的线性结构, 亦即 (αΦ + βΨ)(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) , αΦ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) + βΨ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) ∈ R. 对 ∀ θ1, · · · , θr ∈ T ∗ p M, ∀ X1, · · · , Xs ∈ TpM, 可有 Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) = Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 (p) ⊗ · · · ⊗ dx js (p) (θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs), 其中 Φ i1···ir j1···js , Φ ( dx i1 (p), · · · , dx ir (p); ∂ ∂xj1 (p), · · · , ∂ ∂xjs (p) ) 称为张量分量. 故有张量的一般 表示 ⊗ r,sTM ∋ Φ = Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 (p) ⊗ · · · ⊗ dx js (p). 对于 R m+1 中的 m 维曲面, 已澄清 ∂ ∂xi (p) ∼ gi (xp), dx i (p) ∼ g i (xp). 定义 T ∗ p M 上的内积 ⟨·, ·⟩T ∗ p M : T ∗ p M × T ∗ p M ∋ {θ˜, θˆ} 7→ ⟨ θ˜, θˆ ⟩ T ∗ p M = ⟨ ˜θidx i (p), ˆθjdx j (p) ⟩ , g ij ˜θi ˆθj ∈ R. 对 ∀ ϕ ∈ T ∗∗ p M = (T ∗ p M) ∗ , 按 F.Riesz 定理, 有 ∃ ! θϕ ∈ T ∗ p M 满足 ϕ(θ) = ⟨θ, θϕ⟩ T ∗ p M = ⟨ θidx i (p), θϕ,jdx j (p) ⟩ = g ijθiθϕ,j ; 另有 ϕ(θ) = ϕ(θidx i (p)) = θiϕ(dx i (p)) = θiϕ i , 故有 g ijθϕ,j = ϕ i , 以及 θϕ,j = gjkϕ k . 由此 T ∗∗ p M ∋ ϕ = ϕ k ∂ ∗ ∂xk (p) ∼ θϕ,jdx j (p) = gjkϕ kdx j (p) ∼ gjkϕ k g j (xp) = ϕ k gk (xp), 可有 ∂ ∗ ∂xk (p) ∼ gk (p). 2 应用事例 2.1 流形上的曲线 流形上曲线可以定义为 γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ γ(t) ∈ M, 引入坐标卡 ϕ(x), 则有 ϕ −1 ◦ γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ ϕ −1 ◦ γ(t) = γ 1 (t) . . . γ m(t) , 5
微分流形上微分学—流形上的张量 谢锡麟 此处d-1。(t)∈Rm可理解为“拉回至”参数域中的曲线进一步可以定义 d(oon (t) ∈R", i"(t) 为此曲线的切向量.由此可以引入切向量的另一种定义 定义21(切向量的变化率定义)设(t)∈M为M上曲线,其在点p的切向量为 d-1o(0)=E∈Rm,则可定义切向量 ():3f→()at(°)()∈R, 它满足: 1.线性性:对Vf,g∈,有 (f+9)=4(+9)1()=a(。)(0)+a(。)(0 =￡(f)+E(9)∈R; 2. Leibniz性:对vf,g∈,有 s(/()≈d d (fg)o(0) dt (f。)(0)9(p)+f(P)|x(g)(0) E(9(p)+f(p)E(g) 按计算可有 ∈(f)()()=(f。7)≈9(。g d dri(p)i(0) sazi (p)(), 故有 6=m(P)∈TpM (0) 考虑到按映照观点的切向量定义,有 (P),X=X(c-xp)2) 对确定的X∈R(1≤i≤m),可作 Rn om+Xmt
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 此处 ϕ −1 ◦ γ(t) ∈ R m 可理解为 “拉回至” 参数域中的曲线. 进一步可以定义 d(ϕ −1 ◦ γ) dt (t) = γ˙ 1 (t) . . . γ˙ m(t) ∈ R m, 为此曲线的切向量. 由此可以引入切向量的另一种定义. 定义 2.1 (切向量的变化率定义). 设 γ(t) ∈ M 为 M 上曲线, 其在点 p 的切向量为 ˙ ϕ−1 ◦ γ(0) = ξ ∈ R m, 则可定义切向量 ξ(f) : C ∞ p ∋ f 7→ ξ(f) , d dt (f ◦ γ)(0) ∈ R, 它满足: 1. 线性性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ξ(f + g) = d dt (f + g) ◦ γ(0) = d dt (f ◦ γ)(0) + d dt (g ◦ γ)(0) = ξ(f) + ξ(g) ∈ R; 2. Leibniz 性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ξ(fg) = d dt (fg) ◦ γ(0) = [ d dt (f ◦ γ)(0)] g(p) + f(p) [ d dt (g ◦ γ)(0)] = ξ(f)g(p) + f(p)ξ(g). 按计算可有 ξ(f) = d dt (f ◦ γ)(0) = d dt (f ◦ ϕ ◦ ϕ −1 ◦ γ)(0) = ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp) ˙γ i (0) = ξ i ∂ ∂xi (p)(f), 故有 ξ = ξ i ∂ ∂xi (p) ∈ TpM, ξi := ˙γ i (0). 考虑到按映照观点的切向量定义, 有 X = Xi ∂ ∂xi (p), Xi = X((x − xp) i ). 对确定的 Xi ∈ R(1 6 i 6 m), 可作 γ 1 (t) . . . γ m(t) = x 1 p + X1 t . . . x m p + Xmt ∈ R m, 6
微分流形上微分学—流形上的张量 谢锡麟 其中,X=(0).故X()=xax(p)()亦可理解为流形上分布了沿着曲线?(t)=o(rp+ t)∈M在p∈M点的变化率 可见,按映照观点定义的切向量空间等同于按沿曲线变化率定义的切向量空间,且线性同构 于Rm空间.对于Rm+1中的m维曲面,有沿x2曲线的切向量 g1(xp)2(xp)会1im ∑(mp+Ai)-∑(xp) A→0 且有点p∈M的切空间Tn∑=span{9;(xp)}m1.对于v=g1∈T∑,可理解 s()=()()=a(f)(0),()=0(x2+:|t) 为沿着曲线(t)∈∑在点p的切向量,现情况?(t)∈∑在物理空间中具有切向量0) sgl(xp)∈T∑.对抽象流形,仅有流形上曲线的切向量在参数域中的表 3建立路径
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 其中, Xi = ˙γ i (0). 故 X(f) = Xi ∂ ∂xi (p)(f) 亦可理解为流形上分布 f 沿着曲线 γ(t) = ϕ(xp + X1 . . . Xm t) ∈ M 在 p ∈ M 点的变化率. 可见, 按映照观点定义的切向量空间等同于按沿曲线变化率定义的切向量空间, 且线性同构 于 R m 空间. 对于 R m+1 中的 m 维曲面, 有沿 x i 曲线的切向量 gi (xp) , ∂Σ ∂xi (xp) , lim λ→0 Σ(xp + λii) − Σ(xp) λ , i = 1, · · · , m, 且有点 p ∈ M 的切空间 TpΣ = span{gi (xp)} m i=1. 对于 ∀ ξ = ξ igi ∈ TpΣ, 可理解 ξ(f) = ξ i ∂ ∂xi (p)(f) = d dt (f ◦ γ)(0), γ(t) = ϕ(xp + ξ 1 . . . ξ m t) 为沿着曲线 γ(t) ∈ Σ 在点 p 的切向量, 现情况 γ(t) ∈ Σ 在物理空间中具有切向量 γ˙(0) = ξ igi (xp) ∈ TpΣ. 对抽象流形, 仅有流形上曲线的切向量在参数域中的表示. 3 建立路径 7
