线性方程组
线性方程组 倪卫明 第五讲 线性方程组
行列式 ◎线性方程组解的一般理论 0非齐次线性方程组的解 0齐次线性方程组的解 ⊙向量组的线性关系 0线性组合 e向量组的等价 o线性相关与线性无关 o极大线性无关组 o向量组的秩 线性方程组的解结构 0非齐次线性方程组的解结构. 齐次线性方程组的解结构
行列式 1 线性方程组解的一般理论. 1 非齐次线性方程组的解. 2 齐次线性方程组的解. 2 向量组的线性关系. 1 线性组合. 2 向量组的等价. 3 线性相关与线性无关. 4 极大线性无关组. 5 向量组的秩. 3 线性方程组的解结构 1 非齐次线性方程组的解结构. 2 齐次线性方程组的解结构. 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组 线性方程组 aijk=bi, (i= 1, 2, 写成矩阵形式 Ax=b 其中 a112……·a1n x1 bi c2122 b
线性方程组 线性方程组: Xn j=1 aijxj = bi , (i = 1, 2,...,m) (1) 写成矩阵形式: Ax = b (2) 其中 A = a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n . . . . . . . . . am1 am2 ··· amn , x = x1 x2 . . . xn , b = b1 b2 . . . bm 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组解与增广矩阵关系 线性方程组解的情况完全取决于系数矩阵A和向量b,即增广矩 阵A=[A|b].且线性方程组与它的增广矩阵一一对应 解线性方程组的消元法等价于对增广矩阵实施行初等变换 线性方程组Ax=b中,若b≠0则称Ax=b为非齐次线性方程 若非齐次线性方程组有解,则称方程组相容,否则称为不相容.当 方程组相容时,它可能有唯一解,也可能有无穷多解 若b=0,称Ax=0为齐次线性方程组;齐次线性方程组总有解 因零向量就是方程组的一个解,常称这个解为齐次方程组的平凡 解.因此,一般更关注齐次线性方程组是否存在非零解,以及它的 解结构
线性方程组解与增广矩阵关系 线性方程组解的情况完全取决于系数矩阵 A 和向量 b, 即增广矩 阵 A = £ A b ¤ , 且线性方程组与它的增广矩阵一一对应. 解线性方程组的消元法等价于对增广矩阵实施行初等变换. 线性方程组 Ax = b 中, 若 b 6= 0 则称 Ax = b 为非齐次线性方程; 若非齐次线性方程组有解, 则称方程组相容, 否则称为不相容. 当 方程组相容时, 它可能有唯一解, 也可能有无穷多解. 若 b = 0, 称 Ax = 0 为齐次线性方程组; 齐次线性方程组总有解, 因零向量就是方程组的一个解, 常称这个解为齐次方程组的平凡 解. 因此, 一般更关注齐次线性方程组是否存在非零解, 以及它的 解结构. 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组的解理论 非齐次线性方程 Ax= b 其中,A∈RmX",bERm,x∈R (相容)定理 非齐次线性方程组(3)相容的充要条件 TA=rank(A)=rank((a)=TA
线性方程组的解理论 非齐次线性方程 Ax = b, (3) 其中, A ∈ R m×n ,b ∈ R m,x ∈ R n . (相容)定理 非齐次线性方程组(3)相容的充要条件: rA = rank(A) = rank¡£ A b ¤¢ = rA 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组的解理论 当rank(A)≠rank(A|b]).方程组(3)不相容,无解 当r=rank(A=rank([A|b]).方程组(3)相容 0若r=n,则方程组(3)有唯一解 e若r<n,则方程组(3)有无穷多解 对于齐次线性方程组 (4) 定理 齐次方程组(4)只有零解的充要条件 rank(a)=n;齐次相称组(4) 存在非零解的充要条件rank(A)<n
线性方程组的解理论 1 当 rank(A) 6= rank¡£ A b ¤¢, 方程组(3)不相容, 无解. 2 当 r = rank(A) = rank¡£ A b ¤¢, 方程组(3)相容. 1 若 r = n, 则方程组(3)有唯一解. 2 若 r < n, 则方程组(3)有无穷多解. 对于齐次线性方程组: Ax = 0, A ∈ R m×n (4) 定理 齐次方程组(4)只有零解的充要条件 rank(A) = n; 齐次相称组(4) 存在非零解的充要条件 rank(A) < n. 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组 为了研究线性方程组解的结构,先讨论n元向量直接的关系 设a1,,as,b∈Rn为s+1个向量,可以将这些向量视作nx1或 1×n矩阵,先给出一些定义 线性组合:若存在一组数k1,k2,,k,使得 则称向量b是向量组a1,a,.a3的线性组合,或称b可由向量 组a1,a2,,as线性表示 由定义知,判断一个向量b是否可由向量组a1,a2,a线性表 示?等价于判断方程组 Ax=b 是否相容?其中A=[a1a2…a
线性方程组 为了研究线性方程组解的结构, 先讨论 n 元向量直接的关系. 设 a1,...,as ,b ∈ R n 为 s+1 个向量, 可以将这些向量视作 n×1 或 1×n 矩阵, 先给出一些定义: 线性组合: 若存在一组数 k1,k2,...,ks , 使得 b = Xs i=1 kiai (5) 则称向量 b 是向量组 a1,a2,...,as 的线性组合, 或称 b 可由向量 组 a1,a2,...,as 线性表示. 由定义知, 判断一个向量 b 是否可由向量组 a1,a2,...,as 线性表 示? 等价于判断方程组 Ax = b 是否相容? 其中 A = £ a1 a2 ··· as ¤ . 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组 向量组等价:设a1,a,,a3和b1,b2,bt为两组向量,若任意 个向量af(i=1,2,…)均可由向量组b,b…bt线性表示,则 称,向量组a1,a2ax可由向量组b1,b2,,b线性表示.反之, 若两个向量组可相互线性表示,则称这两个向量组等价 线性相关线性无关:对于向量组a,a2,a3(s≥1),存在不全为 零的一组数k1,k2,,k,使得ka1+k2a2+…+kas=0成立,则称 向量组a1,a2,,a线性相关.若当且仅当k1=k2 ks=0时, 上述等式才成立,则称向量组a1,a2,a3线性无关或线性独立
线性方程组 向量组等价: 设 a1,a2,...,as 和 b1,b2,...,bt 为 两组向量, 若任意 一个向量 ai(i = 1, 2,...,s) 均可由向量组 b1,b2,...,bt 线性表示, 则 称, 向量组 a1,a2,...,as 可由向量组 b1,b2,...,bt 线性表示. 反之, 若两个向量组可相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 线性相关,线性无关: 对于向量组 a1,a2,...,as (s ≥ 1), 存在不全为 零的一组数 k1,k2,...,ks , 使得 k1a1 +k2a2 +···+ksas = 0 成立, 则称 向量组 a1,a2,...,as 线性相关. 若当且仅当 k1 = k2 = ··· = ks = 0 时, 上述等式才成立, 则称向量组 a1,a2,...,as 线性无关或线性独立. 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组 向量组线性相关、线性无关性质:设a1,a,,a(S≥2)为-n元 向量组 Q若向量组a1,a,a中包含零向量,则a1,a,a3必线性 相关. Q若a1,a2,ax线性无关,则它的任意部分向量必线性无关 若向量组a1,a2,a线性相关,则任意包含了这组向量的向 量组必线性相关 向量组a1,a2,,as线性相关a1,a2,,as中至少存在一个 向量能表示成其它向量的线性组合 向量组a1,a2,,as线性无关,但s+1个向量a1,a2,,a,a 线性相关,则a必可由a1,a2,a线性表示,而且这种表示 唯一 设向量组a1,a2,,as中任一向量可经向量组b,b2,,bt线 性表示,若s>t,则向量组a1,a2,a3必线性相关
线性方程组 向量组线性相关、线性无关性质: 设 a1,a2,...,as(s ≥ 2) 为一 n 元 向量组, 1 若向量组 a1,a2,...,as 中包含零向量, 则 a1,a2,...,as 必线性 相关. 2 若 a1,a2,...,as 线性无关, 则它的任意部分向量必线性无关. 3 若向量组 a1,a2,...,as 线性相关, 则任意包含了这组向量的向 量组必线性相关. 4 向量组 a1,a2,...,as 线性相关 ⇔ a1,a2,...,as 中至少存在一个 向量能表示成其它向量的线性组合. 5 向量组 a1,a2,...,as 线性无关, 但 s+1 个向量 a1,a2,...,as ,a 线性相关, 则 a 必可由 a1,a2,...,as 线性表示, 而且这种表示 唯一. 6 设向量组 a1,a2,...,as 中任一向量可经向量组 b1,b2,...,bt 线 性表示, 若 s > t, 则向量组 a1,a2,...,as 必线性相关. 倪卫明 第五讲 线性方程组
线性方程组 极大线性无关组与向量组的秩 定义 设向量组a1,a2…,a中的一部分向量组an,a2…a;,若它满足 条件 (1)线性无关 (2)再加入原向量组中任意其他一个向量(若有的话)所形成的新 的部分向量组都线性相关 则称向量组an,a2…,a,为向量组a1,a2,a3的极大线性无关 组.称极大线性无关组中向量个数为原向量组的秩 性质 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价,且所含向量 的个数相等 9矩阵的秩等于矩阵的列向量构成的向量组的秩,也等于矩阵 的行向量构成的向量组的秩
线性方程组 极大线性无关组与向量组的秩 定义 设向量组 a1,a2,...,as 中的一部分向量组 ai1 ,ai2 ,...,air , 若它满足 条件: (1) 线性无关. (2) 再加入原向量组中任意其他一个向量(若有的话)所形成的新 的部分向量组都线性相关. 则称向量组 ai1 ,ai2 ,...,air 为向量组 a1,a2,...,as 的极大线性无关 组. 称极大线性无关组中向量个数为原向量组的秩. 性质: 1 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价, 且所含向量 的个数相等. 2 矩阵的秩等于矩阵的列向量构成的向量组的秩, 也等于矩阵 的行向量构成的向量组的秩. 倪卫明 第五讲 线性方程组