行列式
行列式 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 行列式的几何意义 行列式与线性方程组解之间的关系 行列式的定义 行列式的性质 用行列式定义矩阵的秩 矩阵的行列式用于判别矩阵的可逆性 Q行列式的计算
行列式 1 行列式的几何意义. 2 行列式与线性方程组解之间的关系. 3 行列式的定义. 4 行列式的性质. 5 用行列式定义矩阵的秩. 6 矩阵的行列式用于判别矩阵的可逆性. 7 行列式的计算. 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 矩阵行列式 S(a1, a2)=xa ya-xaya Vai yu
行列式 矩阵行列式: a1 a2 xa2 ya1 S(a1,a2) = xa1 ya2 −xa2 ya1 xa1 xa2 ya1 ya2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 三维空间R3 t1112t13 2c23 031(giZa 更一般地,可推广至n维空间Rn
行列式 三维空间 R 3 , a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 更一般地, 可推广至 n 维空间 R n 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 另一方面,从线性方程组解的角度考虑,首先考虑二元一次方程 组的解, a1x+a12x2=b1 应用消元法 12 b1 1(azi)+R1, (au)+R2[ a21@11 a21 a12 a21 b1 22b2 al by c21a11 a21a12 a21 by a22-a21a12 au b-a21by ≠0时 22b1-a12b al11a22-a21a12 a112 -a21012
行列式 另一方面, 从线性方程组解的角度考虑, 首先考虑二元一次方程 组的解, a11x1 +a12x2 = b1 a21x2 +a22x2 = b2 应用消元法: · a11 a12 b1 a21 a22 b2 ¸ (a21)∗R1,(a11)∗R2 −−−−−−−−−−−−→ · a21a11 a21a12 a21b1 a11a21 a11a22 a11b2 ¸ R2−R1 −−−−→ · a21a11 a21a12 a21b1 0 a11a22 −a21a12 a11b2 −a21b1 ¸ 当 a11a22 −a21a12 6= 0 时, x1 = a22b1 −a12b2 a11a22 −a21a12 , x2 = a11b2 −a21b1 a11a22 −a21a12 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 引入记号“|l A=a1a12 =a11a22-a21412 a21 a A1/= b a12 =c22b1-a12b2 A2|= b1 a1b2-a21b1 b 所以 dI
行列式 引入记号 “|•|”, |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 a21 a22 ¯ ¯ ¯ ¯ = a11a22 −a21a12 |A1| = ¯ ¯ ¯ ¯ b1 a12 b2 a22 ¯ ¯ ¯ ¯ = a22b1 −a12b2 |A2| = ¯ ¯ ¯ ¯ a11 b1 a21 b2 ¯ ¯ ¯ ¯ = a11b2 −a21b1 所以, x1 = |A1| |A| , x2 = |A2| |A| 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 考虑三元一次方程 a11x1+a12x2+a13x3=bl a21x1+c22x2+a23X3=b2 a31x1+a32+a3=b3 应用消元法,同理可得 a2a13 A|=a1a22c23 A31= a21 a22 bn b3 x1=|A1/A,x=|A2|/A,x=|A3|/A
行列式 考虑三元一次方程, a11x1 +a12x2 +a13x3 = b1 a21x1 +a22x2 +a23x3 = b2 a31x1 +a32x2 +a33x3 = b3 应用消元法, 同理可得: |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , |A1| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |A2| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , |A3| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x1 = |A1|/|A|, x2 = |A2|/|A|, x3 = |A3|/|A| 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 推广到爬n一般情况 n阶方阵A的行列式记为det(A)或A,定义如下 n会∑(-1 ji”jnE anI an2 其中=i…il12…n的排列}是由n个数1,2…,n组成的 个有序数组,称作n级排列,且集合中,所有排列的数量总计 n个;τi…)为排列i…n的逆序数 可将方阵的行列式理解为映射:det(叫或|l:Rnxn→R
行列式 推广到 R n 一般情况, 定义 n 阶方阵 A 的行列式记为 det(A) 或 |A|, 定义如下: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n ··· ··· ··· ··· an1 an2 ··· ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 = X j1j2···jn∈P (−1) τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 ···anjn 其中P = © j1j2 ···jn ¯ ¯12···n的排列 ª 是由 n 个数 1, 2,...,n 组成的一 个有序数组, 称作 n 级排列, 且集合 P 中, 所有排列的数量总计 n! 个; τ ¡ j1j2 ···jn ¢ 为排列 j1j2 ···jn的逆序数. 可将方阵的行列式理解为映射: det(•)或|•| : R n×n 7→ R. 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 在一个n级排列中,对任何两个数i和,若i>,而i在排列中 位于j之前,则称i构成一个逆序,排列中所有逆序的总数称为 该排列的逆序数.若逆序数是偶数称排列为偶排列;若逆序数是 奇数,称该排列为奇排列 设n级排列…/in它的逆序数τ(ij2…in)为 τi…in)=方之后比h小的元素个数 +之后比应小的元素个数 +jin-1之后比jn-1小的元素个数 若τ(1…i)为偶数,则它是偶排列,否则它是奇排列 例如:6级排列“36524l”它的逆序数 T(365241)=2+4+3+1+1=11 是奇排列
行列式 在一个 n 级排列中, 对任何两个数 i 和 j, 若 i > j, 而 i 在排列中 位于 j 之前, 则称 i,j 构成一个逆序, 排列中所有逆序的总数称为 该排列的逆序数. 若逆序数是偶数称排列为偶排列; 若逆序数是 奇数, 称该排列为奇排列. 设 n 级排列 j1j2 ···jn, 它的逆序数 τ ¡ j1j2 ···jn ¢ 为: τ ¡ j1j2 ···jn ¢ = j1之后比 j1 小的元素个数 + j2之后比 j2 小的元素个数 . . . + jn−1之后比 jn−1 小的元素个数 若 τ ¡ j1j2 ···jn ¢ 为偶数, 则它是偶排列, 否则它是奇排列. 例如: 6 级排列 “365241” 它的逆序数 τ(365241) = 2+4+3+1+1 = 11 “365241” 是奇排列. 倪卫明 第四讲 行列式
行列式 设j2…j是任-n级排列,将其中的两个数位置互换,而其他 数的位置不变,得到另一个排列,称这种变换为对(置)换 定理 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性 证:考察任意n级排列j…j,设它是偶排列,任意对换其中的两个数j, 种情况 排列中jjk相邻(k=i+1),若对换后逆序数减小一,新的排列奇偶发生变化 设ij之间间隔s(≥1)个数(k=i+s+1),为了对换jj,可让方依 次与相邻的i+1,+2…永对换,一直将方对换到jk之后为止,奇偶 变化s+1次;再将j依次与jk-1,jk-2…对换,直至j换到原j位 置,同样每对换一次逆序数变换1,奇偶变换s次,总计进行了2s+1 次奇偶变化
行列式 设 j1j2 ···jn 是任一 n 级排列, 将其中的两个数位置互换, 而其他 数的位置不变, 得到另一个排列, 称这种变换为对(置)换. 定理 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性. 证: 考察任意 n 级排列 j1j2 ···jn, 设它是偶排列, 任意对换其中的两个数 ji ,jk , 分两种情况: 排列中 ji ,jk 相邻(k = i +1), 若 ji jk 对换后逆序数减小一, 新的排列奇偶发生变化. 设 ji ,jk 之间间隔 s(≥ 1) 个数(k = i +s+1), 为了对换 ji ,jk , 可让 ji 依 次与相邻的 ji+1,ji+2,...,jk 对换, 一直将 ji 对换到 jk 之后为止, 奇偶 变化 s+1 次; 再将 jk 依次与 jk−1 ,jk−2 ,... 对换, 直至 jk 换到原 ji 位 置, 同样每对换一次逆序数变换 1, 奇偶变换 s 次, 总计进行了 2s+1 次奇偶变化. 倪卫明 第四讲 行列式
