微分流形上微分学——流形上的微分运算-Lie导数 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 知识要素 .1同态扩张 定义1.1(同态扩张),.设在流形上存在两个区域V以及V,两者之间存在微分同胚;具体可 理解为V的局部坐标{∈4}=1同V的局部坐标{x}m1之间有微分同胚由此可以定义以下 两种运算,推前和拉回 F 3X+FX∈TxM, 此处(FX)(g)X(goF)∈R,g∈6(V); F*:TxM36→F"e∈TM, 此处(F"0)(X)0(FX)∈R,VX∈TM 进一步,可定义 F:"TM3更F更∈"TrM, 此处,对v61,…,O∈TxM;X1,…,Xs∈TM,有 F更(61 X)全更(F 以及 F*:⑧"TxM3更口F"重∈TcEM, 此处,对v01,…,0,∈TM;x,…,x,∈TM,有 F更(61,…,日 s)全更(F F Xs 同态扩张可理解为流形上初始构型及参数构型之间有微分同胚,由此可基于初始构型的坐标 信息确定当前构型中新的基以及基于当前构型中的坐标信息确定初始构型中的新的基①,以此实 现张量的同态扩张(推前或者拉回),如图??所示 ①这种类型的基在连续介质有限变形理论中称为“随体基
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的微分运算 —Lie 导数 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 同态扩张 定义 1.1 (同态扩张). 设在流形上存在两个区域 ◦ V 以及 t V , 两者之间存在微分同胚; 具体可 理解为 ◦ V 的局部坐标 {ξ A} m A=1 同 t V 的局部坐标 {x i} m i=1 之间有微分同胚. 由此可以定义以下 两种运算, 推前和拉回: F∗ : TξM ∋ ◦ X 7→ F∗ ◦ X ∈ TxM, 此处 (F∗ ◦ X)(g) , ◦ X(g ◦ F) ∈ R, ∀ g ∈ C ∞( t V ); F ∗ : T ∗ xM ∋ θ 7→ F ∗θ ∈ T ∗ ξ M, 此处 (F ∗θ)( ◦ X) , θ(F∗ ◦ X) ∈ R, ∀ ◦ X ∈ TξM. 进一步, 可定义 F∗ : ⊗ r,sTξM ∋ ◦ Φ 7→ F∗ ◦ Φ ∈ ⊗r,sTxM, 此处, 对 ∀ θ1, · · · , θr ∈ T ∗ xM; X1, · · · , Xs ∈ TxM, 有 F∗ ◦ Φ(θ1, · · · , θr, X1, · · · , Xs) , ◦ Φ(F ∗θ1, · · · , F∗θr, F −1 ∗ X1, · · · , F −1 ∗ Xs), 以及 F ∗ : ⊗ r,sTxM ∋ Φ 7→ F ∗Φ ∈ ⊗r,sTξM, 此处, 对 ∀ ◦ θ1, · · · , ◦ θr ∈ T ∗ ξ M; ◦ X1, · · · , ◦ Xs ∈ TξM, 有 F∗ ◦ Φ( ◦ θ1, · · · , ◦ θr, ◦ X1, · · · , ◦ Xs) , ◦ Φ(F −∗ ◦ θ1, · · · , F −∗ ◦ θr, F∗ ◦ X1, · · · , F∗ ◦ Xs). 同态扩张可理解为流形上初始构型及参数构型之间有微分同胚, 由此可基于初始构型的坐标 信息确定当前构型中新的基以及基于当前构型中的坐标信息确定初始构型中的新的基➀, 以此实 现张量的同态扩张 (推前或者拉回), 如图??所示. ➀ 这种类型的基在连续介质有限变形理论中称为 “随体基”. 1
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 F业=y =的8∈=的()mam8d∈M d∈TEM LrEF*M V ∈TM 微分流形 TM 图1:流形上同态扩张示意 现研究同态扩张的各种表示.由 (F*X(9=x(go F) x()()=是4ta)Ob dxi a(s) x20 ()a(g) 04a 即有 FX= FK 05 F0()0x=0(()=0(次(B) =84O ()0=6an(sds∈7g 即有 FO=F(dx2)=bm∈TM 不失一般性,设 dB∈81lT 由 F更 F④ 会(ran,F10 /=s/o (E)ds, aED
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 微分流形 V0 ∂ ∂ξA ∈ TξM dξ A ∈ T ∗ ξ M ◦ Φ = Φ A · B ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ∈ ⊗1,1TξM F∗Ψ = Ψ i · j ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ) ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ∈ ⊗1,1TξM Vt ∂ ∂xj ∈ TxM dx j ∈ T ∗ xM F∗ ◦ Φ = Φ A · B ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ∂ ∂xi ⊗ dx j ∈ ⊗1,1TxM Ψ = Ψ i · j ∂ ∂xi ⊗ dx j ∈ ⊗1,1TxM O ξ 1 ξm ξ O x 1 xm x 图 1: 流形上同态扩张示意 现研究同态扩张的各种表示. 由 (F∗ ◦ X)(g) , ◦ X(g ◦ F) = ◦ XA ∂ ∂ξA (g ◦ F)(ξ) = ◦ XA ∂g ∂xi (x) ∂xi ∂ξA (ξ) = ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ ∂xi (g), 即有 F∗ ◦ X = F∗ ( ◦ XA ∂ ∂ξA ) = ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ ∂xi ∈ TxM; 由 (F ∗θ)( ◦ X) , θ(F∗ ◦ X) = θ ( F∗ ( ◦ XA ∂ ∂ξA )) = θ ( ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ ∂xi ) = ◦ XA ∂xi ∂ξA (ξ)θi = θi ∂xi ∂ξA (ξ)dξ A ∈ T ∗ ξ M, 即有 F ∗θ = F ∗ (θidx i ) = θi ∂xi ∂ξA (ξ)dξ A ∈ T ∗ ξ M. 不失一般性, 设 ◦ Φ = ◦ Φ A · B ∂ ∗ ∂ξA ⊗ dξ B ∈ ⊗1,1TξM, 由 (F∗ ◦ Φ) i ·j = (F∗ ◦ Φ) ( dx i , ∂ ∂xj ) , ◦ Φ ( F ∗dx i , F −1 ∗ ∂ ∂xj ) = ◦ Φ ( ∂xi ∂ξC (ξ)dξ C, ∂ξD ∂xj (x) ∂ ∂ξD ) = ∂xi ∂ξC (ξ) ∂ξD ∂xj (x) ◦ Φ C · D, 2
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 即有 a2、O5 F de (￡) 类似地,考虑 A (F更)B=(F"更)(d (a)d B(S). 即有 8dy)= 性质1.1(同态扩张的基本性质).同态扩张具有如下基本性质 对更,∈⑧°(TEM),Va,B∈R,有 F(a+)=aF更+BF业; 2对V中∈8(2MO,y∈P(A,有 F(⑧业)=(F更⑧(F业) F(dx41∧ 1≤A1<…<Ar≤m ()(4A… 1a( a(A,…,x()d4A…∧d4 4.对重∈A(TxM),有 d更)=d(F更 亦即有Fod=doF*; 5.对重∈A(TM),业∈A°(TxM),有 证明通过直接计算,可证明相关性质 按同态扩张的表达式,线性性是显然的
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 即有 F∗ ◦ Φ = F∗ (◦ Φ A · B ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ) = ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ◦ Φ A · B ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j . 类似地, 考虑 Φ = Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j ∈ ⊗1,1 (TxM). 由 (F ∗Φ) A · B = (F ∗Φ) ( dξ A, ∂ ∂ξB ) , Φ ( F −∗dξ A, F∗ ∂ ∂ξB ) = Φ ( ∂ξA ∂xi (x)dx i , ∂xj ∂ξB (ξ) ∂ ∂xj ) = ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ)Φ i ·j , 即有 F ∗Φ = F ∗ ( Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j ) = Φ i ·j ∂ξA ∂xi (x) ∂xj ∂ξB (ξ) ∂ ∂ξA . 性质 1.1 (同态扩张的基本性质). 同态扩张具有如下基本性质: 1. 对 ∀ ◦ Φ, ◦ Ψ ∈ ⊗r,s(TξM), ∀ α, β ∈ R, 有 F∗(α ◦ Φ + β ◦ Ψ) = αF∗ ◦ Φ + βF∗ ◦ Ψ; 2. 对 ∀ ◦ Φ ∈ ⊗r,s(TξM), ◦ Ψ ∈ ⊗p,q(TξM), 有 F∗( ◦ Φ ⊗ ◦ Ψ) = (F∗ ◦ Φ) ⊗ (F∗ ◦ Ψ); 3. F ∗ (dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar ; 4. 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TxM), 有 F ∗ (dΦ) = d(F ∗Φ), 亦即有 F∗ ◦ d = d ◦ F∗; 5. 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TxM), Ψ ∈ Λ s (TxM), 有 F ∗ (Φ ∧ Ψ) = (F ∗Φ) ∧ (F ∗Ψ). 证明 通过直接计算, 可证明相关性质. 1. 按同态扩张的表达式, 线性性是显然的. 3
微分流形上微分学一一流形上的微分运算一Le导数 谢锡麟 2.不失一般性,设 o deb, y 则有 F④8=F(时p,sd、80842 a(60()(60(m)D0 Dazi e dz1⑧ aEA(S)a-(2)aBa dx o acc(5)ar(az)ca dat B F(重)⑧F(业) 3.直接计算 F(dx1A…∧dr2)=F'(r!af(dr28…@d2) F(∑mar…ed (i1) =∑a()…次()dh8…8d4 (W次) 8…⑧d(4-) 1≤A1<…<Ar≤mB∈P 4(dB(A)8…8dEB(4) O(x21,…,x2r) 1≤41<-<4,m(∈4,.4()∑8gn(dB(A)…8d(4) cA2…x1(edeA…Ad 1≤A1<…<Ar≤m a( a(sa(A1) 4(<)dso(A)A…Ad(4),va∈P ( o141-<A,5m((A1,…,(4deDA…Ad(4 sg2(,x)(6) O(5 a∈Pr1≤A1<…<Ar≤m a r!a41,…,54) ()d de 计算 104;1 F(d更)=F((a)d3AdnA…Adx 1∞1-+(m)(x2,z,…,x !(r+1)!ar O(∈B,,…,∈( de a ds 1 A…∧dk
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 2. 不失一般性, 设 ◦ Φ = ◦ Φ A · B ∂ ∂ξA ⊗ dξ B, ◦ Ψ = ◦ Φ C · D ∂ ∂ξC ⊗ dξ D, 则有 F∗( ◦ Φ ⊗ ◦ Ψ) = F∗ (◦ Φ A · B ◦ Φ C · D ∂ ∂ξA ⊗ dξ B ⊗ ∂ ∂ξC ⊗ dξ D ) = ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ∂xs ∂ξC (ξ) ∂ξD ∂xt (x) ◦ Φ A · B ◦ Φ C · D ∂ ∂xi ⊗ dx j ⊗ ∂ ∂xs ⊗ dx t = [ ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x) ◦ Φ A · B ∂ ∂xi ⊗ dx j ] ⊗ [ ∂xs ∂ξC (ξ) ∂ξD ∂xt (x) ◦ Φ C · D ∂ ∂xs ⊗ dx t ] = F∗( ◦ Φ) ⊗ F∗( ◦ Ψ). 3. 直接计算 F ∗ (dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) = F ∗ ( r!A (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ) = F ∗ (∑ σ∈Pr sgnσdx σ(i1) ⊗ · · · ⊗ dx σ(ir) ) = ∑ σ∈Pr sgnσ ∂xσ(i1) ∂ξA1 (ξ)· · · ∂xσ(ir) ∂ξAr (ξ)dξ A1 ⊗ · · · ⊗ dξ Ar = ∑ 16A1<···<Ar6m ∑ β∈Pr [∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xσ(i1) ∂ξβ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξβ(Ar) ) (ξ) ] dξ β(A1) ⊗ · · · ⊗ dξ β(Ar) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∑ β∈Pr sgnβ ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ β(A1) ⊗ · · · ⊗ dξ β(Ar) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ) ∑ β∈Pr sgnβ(dξ β(A1) ⊗ · · · ⊗ dξ β(Ar) ) = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξ σ(A1) , · · · , ξσ(Ar)) (ξ)dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) , ∀ σ ∈ Pr = 1 r! ∑ σ∈Pr ∑ 16A1<···<Ar6m ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξ σ(A1) , · · · , ξσ(Ar)) (ξ)dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) = 1 r! ∑ σ∈Pr ∑ 16A1<···<Ar6m sgn2σ ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 4. 计算 F ∗ (dΦ) = F ∗ ( 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) = 1 r!(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar 4
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 r(r+Dloe. n0 Drs=(a//os art amin )(e) dEB Os(B)a(41)a(4+) de 1 ax r!(r+1)! (E) 06(41) ()d"∧ds ∧……∧ds (+1∑=((”次)uAn(a /ax 1 azir r(,B()(B)( deA IM…Ad 次()(次 (E)dB∧d11∧…∧dAr 产6()个人 Va∈P 1 airi(E) a r A-(5)ds ads 另有 d( F*更)=d ()d∈41∧…∧d ( d(a asB(S/a(cAl . cAr) ()dBAd4∧…∧d4r 综上,有F*(d)=d(F更),更∈AT(TM) 对此性质的证明,另可考虑 (1)2B)a(∈41,…,( de IA…Ad 1>-(m)cB(E) (r!)2 ars A,…,+)()d"Ad"A…Ad4 ro(in) axa(ir) )>sino 0(B)a(4 04)(()d(A) d51(4+),∈P+1
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂xs (x) ( ∂xs ∂ξσˆ(B) ∂xi1 ∂ξσˆ(A1) · · · ∂xir ∂ξσˆ(Ar) ) (ξ) dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂ξσˆ(B) (ξ) ( ∂xi1 ∂ξσˆ(A1) · · · ∂xir ∂ξσˆ(Ar) ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 sgnσˆ ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ σˆ−1 (B) ∧ dξ σˆ−1 (A1) ∧ · · · ∧ dξ σˆ−1 (Ar) = 1 r!(r + 1)! ∑ σˆ∈Pr+1 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξA1 · · · ∂xir ∂ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r! ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ( ∂xi1 ∂ξσ(A1) · · · ∂xir ∂ξσ(Ar) ) (ξ)dξ B ∧ dξ σ(A1) ∧ · · · ∧ dξ σ(Ar) , ∀ σ ∈ Pr = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) (∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xi1 ∂ξσ(A1) · · · ∂xir ∂ξσ(Ar) ) (ξ) ) dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar , 另有 d(F ∗Φ) = d ( 1 (r!)2 Φi1···ir ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar ) = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 综上, 有 F ∗ (dΦ) = d(F ∗Φ), ∀ Φ ∈ Λ r (TM). 对此性质的证明, 另可考虑 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂xs ∂ξB (ξ) ∂(x i1 , · · · , xir ) ∂(ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) [∑ σ∈Pr sgnσ ∂xs ∂ξB (ξ) ∂xσ(i1) ∂ξA1 · · · ∂xσ(ir) ∂ξAr (ξ) ] dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2 ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ( ∂xs ∂ξγˆ(B) ∂xσ(i1) ∂ξγˆ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξγˆ(Ar) ) (ξ)dξ γˆ(B) ∧ dξ γˆ(A1) ∧ · · · ∧ dξ γˆ(Ar) , ∀ γˆ ∈ Pr+1 5
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 (+1a-()>-∑sn,(n).,a) f∈Pr+1 0(B)4054()deB d )(+1)an,(x)∑eB,1…,s1)()dAA…Ad 1 a(x° 1 (r!)2(r+1)!aa (E)dB∧d∧……∧d d(s (E)dB∧d de 5.计算 ∑m,rr…au)Fdp8 ∈P rIs F"(dr dro drs 1∑mh(F到8(F=(F)A(F rIs 12Lie导数 121Lie导数的定义 定义1.2(Lie导数).Lie导数定义为 (x)(g;⑧91)(x)-((1⑧91)(E,t) 更:j()(G1②G)(x,t)一:()(G③G)(E
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ∑ γˆ∈Pr+1 sgnγˆ ( ∂xs ∂ξγˆ(B) ∂xσ(i1) ∂ξγˆ(A1) · · · ∂xσ(ir) ∂ξγˆ(Ar) ) (ξ) dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgnσ ∂(x s , xσ(i1) , · · · , xσ(ir) ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 (r!)2(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∑ σ∈Pr sgn2σ ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar = 1 r!(r + 1)! ∂Φi1···ir ∂xs (x) ∂(x s , xi1 , · · · , xir ) ∂(ξB, ξA1 , · · · , ξAr ) (ξ)dξ B ∧ dξ A1 ∧ · · · ∧ dξ Ar . 5. 计算 F ∗ (Φ ∧ Ψ) = F ∗ ( (r + s)! r!s! A (Φ ⊗ Ψ) ) = F ∗ ( 1 r!s! ∑ σ∈Pr+s sgnσΦσ(i1)···σ(ir)Ψσ(j1)···σ(js)dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦσ(i1)···σ(ir)Ψσ(j1)···σ(js)F ∗ (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ⊗ F ∗ (dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) ] = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦi1···irΨj1···jsF ∗ (dx σ−1 (i1) ⊗ · · · ⊗ dx σ−1 (ir) ) ⊗ F ∗ (dx σ−1 (j1) ⊗ · · · ⊗ dx σ−1 (js) ) ] = 1 r!s! [ ∑ σ∈Pr+s sgnσΦi1···irΨj1···js Iσ ( F ∗ (dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) ⊗ F ∗ (dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ) )] = 1 r!s! ∑ σ∈Pr+s sgnσIσ [(F ∗Φ) ⊗ (F ∗Ψ)] = (F ∗Φ) ∧ (F ∗Ψ). 1.2 Lie 导数 1.2.1 Lie 导数的定义 定义 1.2 (Lie 导数). Lie 导数定义为 LV Φ , lim t→0 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(ξ, t) t , lim t→0 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) t . 6
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 此处x=+Vt+o(t)∈Rm,亦即x2=+Vt+o(t)∈R,而且 axk 01):=m(,1)=(61)(x)=B(∈,9()∈TE g(,1=ak(,g(a)∈T azd(a, t)sock 0∑ Gi(a,t) axk (a, t)ack(S) (c,t)Gk()∈Tx∑, G(,t) (E,t)G(x)∈T∑ F-ly=vii()2(&&1,TEM F中=的Bm()(x)918g∈81TM 更=重GA8GB∈1TM 业=vjg1g∈81TM G=ds∈T*M G1=Gk∈T dr∈TM 6=c+∈r2, 0 ∈TM 微分流形 =(x)g∈T;M 9=m()gk∈TM 图2:Lie导数示意 Lie导数可理解为:流形上某一点的张量(整体形式)通过同态扩张至另一点,以此实现流形 上不同点处张量的变化率,且现同态扩张由流形上的流动确定,如图2所示.值得指出,一些重要 的著作将Le导数认识为物质导数.按力学观点,张量物质导数为介质质点所携带的张量(整体 形式)随时间的变化率,而Lie导数按其数学定义并不等同于物质导数的定义 性质1.2.对于定常场,有 IV更=Lv(的G1⑧C)(E) avl ()2(G8C)(E 此处,x(E,t) a(,)=V(x,t) O Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1985. Dubrovin B A, Fomenko A T, Novikov S P. Modern Geometry-Methods and Applications Vol 1, 2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 此处 x = ξ + V t + o(t) ∈ R m, 亦即 x i = ξ i + V i t + o i (t) ∈ R, 而且 > gi (ξ, t) := ∂Σ ∂ξi (ξ, t) = ∂xk ∂ξi (ξ, t) ∂Σ ∂xk (x) = ∂xk ∂ξi (ξ, t)gk (x) ∈ TxΣ, > g j (ξ, t) := ∂ξj ∂xk (ξ, t)g k (x) ∈ TxΣ; gi = ∂xk ∂ξi (ξ)gk ∈ TxM > g j = ∂ξj ∂xk (x)g k ∈ T ∗ xM F∗ ◦ Φ = Φ A · B ∂xi ∂ξA (ξ) ∂ξB ∂xj (x)gi ⊗ g j ∈ ⊗1,1TxM Ψ = Ψ i · jgi ⊗ g j ∈ ⊗1,1TxM O ξ 1 ξm ξ O x 1 xm x 图 2: Lie 导数示意 Lie 导数可理解为: 流形上某一点的张量 (整体形式) 通过同态扩张至另一点, 以此实现流形 上不同点处张量的变化率, 且现同态扩张由流形上的流动确定, 如图2所示. 值得指出, 一些重要 的著作将 Lie 导数认识为物质导数➀. 按力学观点, 张量物质导数为介质质点所携带的张量 (整体 形式) 随时间的变化率, 而 Lie 导数按其数学定义并不等同于物质导数的定义. 性质 1.2. 对于定常场, 有 LV Φ = LV (Φ i ·jGi ⊗ Gj )(ξ) = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj (ξ)Φ i ·l ] (Gi ⊗ Gj )(ξ), 此处, x˙ i (ξ, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) = V i (x, t). ➀ Arnold V I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 1985. Dubrovin B A, Fomenko A T, Novikov S P. Modern Geometry-Methods and Applications Vol.1,2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 7
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 证明首先考虑到 0x2 x(,1)=t(,1)=(x,), 有 4=()0 (E,t) 故有 s,0)≈o 0/ar2 (0)=6 9() 按无限小增量公式,有 0/a (E,t) o0)+a(a)(0)+0( 0+ax(∈)t+( 另一方面,可有 axi dfi(5)t +o(t), 此处利用了关系式 (I+U)-=I-U+O(U\9(m)), UE9(Rm), 另有 (x)=E+vt+o(1)=()+2(vt+o3 现考虑 小(m)(g18g3)(x)-型(E)(18g)(x) 分析 )-()m1e0 ()+c2(6)y4+2( ()+(+一(+叫 =()+(E)vt+o(t ()+()-()-() avp av3 ( (E)p: c q o(t)
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 证明 首先考虑到 x˙ i (ξ, t) = ∂xi ∂t (ξ, t) = V i (x, t), 有 ∂x˙ i ∂ξj (ξ, t) = ∂ ∂t ( ∂xi ∂ξj ) (ξ, t) = ∂V i ∂xs (x, t) ∂xs ∂ξj (ξ, t), 故有 ∂ ∂t ( ∂xi ∂ξj ) (ξ, 0) = ∂V i ∂xs (x, 0)∂xs ∂ξj (ξ, 0) = δ s j ∂V i ∂ξs (ξ) = ∂V i ∂ξj (ξ). 按无限小增量公式, 有 ∂xi ∂ξj (ξ, t) = ∂xi ∂ξj (ξ, 0) + ∂ ∂t ( ∂xi ∂ξj ) (ξ, 0)t + o(t) = δ i j + ∂V i ∂ξj (ξ)t + o i j (t). 另一方面, 可有 ∂ξk ∂xi (x, t) = δ k i − ∂V k ∂ξi (ξ)t + o k i (t), 此处利用了关系式 (I + U) −1 = I − U + o(|U|T r(Rm) ), ∀ U ∈ T r (R m), 另有 Φ i ·j (x) = Φ i ·j (ξ + V t + o(t)) = Φ i ·j (ξ) + ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l t + o i ·j (t). 现考虑 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(x) = [ Φ p · q(x) − Φ i ·j (ξ) ∂xp ∂ξi (ξ, t) ∂ξj ∂xq (x, t) ] (gp ⊗ g q )(x), 分析 Φ p · q(x) − Φ i ·j (ξ) ∂xp ∂ξi (ξ, t) ∂ξj ∂xq (x, t) = [ Φ p · q(ξ) + ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l t + o p · q(t) ] − Φ i ·j (ξ) [ δ p i + ∂V p ∂ξi (ξ)t + o p i (t) ] [δ j q − ∂V j ∂ξq (ξ)t + o(t) j q ] = [ Φ p · q(ξ) + ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l t + o(t) p · q ] − [ Φ i ·j (ξ)δ p i δ j q + Φ i ·j (ξ) ∂V p ∂ξi (ξ)δ j q t − Φ i ·j (ξ)δ p i ∂V j ∂ξq (ξ)t + o p · q(t) ] = [ ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l − ∂V p ∂ξi (ξ)Φ i ·q + ∂V j ∂ξq Φ p · j ] t + o(t), 8
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 故有 im2(x)(91③9)(x)-()9:8g), t→0 需+2②D 同理考虑 p.j(x)(G1⑧G)(x,t)-重E)(G1⑧G)(E) (2)b(20(6:)一)|(Gp8G)( 分6人(-() (∈) ∈t+o(t)31 aVp ()+(++(- g(E)Vasi (ξ ()少t+o(t), 故有 lim 中.(x)(G⑧G)x,t)一重:(E)(G1⑧G)(E) (6)V8V+m5(6)型(G8C)(E 以下说明,Lie导数的定义依赖于张量场的具体表示形式(张量分量可为协变分量、逆变分 量或者混合分量形式),.由此,一般而言,Lie导数不具有整体形式 考虑向量场的Le导数 (bg obi av b9:=vl(V16-1i56)ove axl =v(vb3-Fy、va,bgy Tiibs-Iis gijb ab, av j9 B2+m)9 可有 Ly(bgi)-Ly(big) V(ribs+lisgijo ava.b TiV bs as+riv)gi 9 [(V,VS)bs+(V,V)9i 6]9'=-(V, Vs+Vs)bg 2(Dsi 6)9'=-2Dbsgi
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 故有 lim t→0 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(ξ, t) t = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj Φ i ·l ] (gi ⊗ g j )(x). 同理考虑 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) = [ Φ i ·j (x) ∂ξp ∂xi (x, t) ∂xj ∂ξq (ξ, t) − Φ p · q(ξ) ] (Gp ⊗ Gq )(ξ), 分析 Φ i ·j (x) ∂ξp ∂xi (x, t) ∂xj ∂ξq (ξ, t) − Φ p · q(ξ) = [ Φ i ·j (ξ) + ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l t + o(t) i ·j ] [δ p i − ∂V p ∂ξi (ξ)t + o p i (t) ] [δ j q + ∂V j ∂ξq (ξ)t + o j q (t) ] − Φ p · q = [ ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l − ∂V p ∂ξi (ξ)Φ i ·q + ∂V j ∂ξq (ξ)Φ p · j ] t + o(t), 故有 lim t→0 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) t = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj (ξ)Φ i ·l ] (Gi ⊗ Gj )(ξ). 以下说明, Lie 导数的定义依赖于张量场的具体表示形式 (张量分量可为协变分量、逆变分 量或者混合分量形式). 由此, 一般而言, Lie 导数不具有整体形式. 考虑向量场的 Lie 导数 LV (b i gi ) = ( V l ∂bi ∂xl − ∂V i ∂xl b l ) gi = [ V l (∇lb i − Γ i lsb s ) − ∂V i ∂xl b l ] gijg j = [ V l (∇lbj − Γ i lsgij b s ) − ∂V i ∂xl gij b l ] g j = [ V l ( ∂bj ∂xl − Γ s lj bs − Γ i lsgij b s ) − ∂V i ∂xl gij b l ] g j , LV (bjg j ) = ( V l ∂bj ∂xl + ∂V l ∂xj bl ) g j , 可有 LV (b i gi ) − LV (bjg j ) = [ −V l (Γ s lj bs + Γ i lsgij b s ) − ∂V i ∂xl gij b l − ∂V l ∂xj bl ] g j = − [(∂V s ∂xj + Γ s jlV l ) bs + ( ∂V i ∂xs + Γ i slV l ) gij b s ] g j = − [ (∇jV s )bs + (∇sV i )gij b s ] g j = − (∇jVs + ∇sVj ) b s g j = −2(Dsj b s )g j = −2Disbsgi . 9
微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 考虑仿射量的Le导数 Lv(,9:8)=(vddb! aL +重1)9;8g V(V;-:;+) ④Dw49pyg289q V(V①一9+gpy) 9q aso 9p ad5.q Lv(vg"⑧gn)=(v axl arp g"⑧g 可有 Lv(,91g3)-Lv匝g2g) V(-;9+(”一29m+rgyp) agip p+ a9、O avi Oar'p9P69g 具体处理上式右端,可有 第一部分 arl =-(VV)9=-(VV)吗, 第二部分 v'rsg4pst axj +Till (VV)9p, (vVs)pps 第三部分 1o:9_O D7+F2V)=-(Vv), 第四部分 VIp. avq avq Dx2+rV)=()
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 考虑仿射量的 Lie 导数 LV (Φ i ·jgi ⊗ g j ) = ( V l ∂Φi ·j ∂xl − ∂V i ∂xl Φ l ·j + ∂V l ∂xj Φ i ·l ) gi ⊗ g j = [ V l ( ∇lΦ i ·j − Γ i lsΦ s · j + Γ s ljΦ i ·s ) − ∂V i ∂xl Φ l ·j + ∂V l ∂xj Φ i ·l ] gipg jqg p ⊗ gq = [ V l ( ∇lΦ · p q − Γ i lsgipΦ sq + Γ s ljg jqΦps) − ∂V i ∂xl gipΦ lq + ∂V l ∂xj g jqΦpl] g p ⊗ gq = [ V l ( ∂Φ· p q ∂xl − Γ s lpΦ · s q + Γ q lsΦ · p s ) − Γ i lsgipΦ sq + Γ s ljg jqΦps − ∂V i ∂xl gipΦ lq + ∂V l ∂xj g jqΦpl] g p ⊗ gq , LV (Φ · p q g p ⊗ gq ) = ( V l ∂Φ· p q ∂xl + ∂V l ∂xp Φ · l q − ∂V q ∂xl Φ · p l ) g p ⊗ gp , 可有 LV (Φ i ·jgi ⊗ g j ) − LV (Φ · p q g p ⊗ gq ) = [ V l ( −Γ s lpΦ · s q + Γ q lsΦ · p s − Γ i lsgipΦ sq + Γ s ljg jqΦps) − ∂V i ∂xl gipΦ lq + ∂V l ∂xj g jqΦpl − ∂V l ∂xp Φ · l q + ∂V q ∂xl Φ · p l ] g p ⊗ gq . 具体处理上式右端, 可有 第一部分 −V lΓ i lsgipΦ sq − ∂V i ∂xl gipΦ lq = − ( ∂V i ∂xs + Γ i slV l ) gipΦ sq = − ( ∇sV i ) gipΦ sq = −(∇sVp)Φ sq , 第二部分 ∇lΓ s ljg jqΦps + ∂V l ∂xj g jqΦpl = ( ∂V s ∂xj + Γ s jlV l ) g jqΦps = (∇jV s )g jqΦps = (∇qV s )Φps, 第三部分 −V lΓ s lpΦ · s q − ∂V l ∂xp Φ · l q = − ( ∂V s ∂xp + Γ s plV l ) Φ · s q = −(∇pV s )Φ · s q , 第四部分 V lΓ q lsΦ · p s + ∂V q ∂xl Φ · p l = ( ∂V q ∂xs + Γ q slV l ) Φ · p s = (∇sV q )Φ · p s . 10