复旦大学：《数学分析》教案讲稿_关于微分同胚的应用

教案:关于微分同胚的应用 教案:关于微分同胚的应用 课程:《数学分析(Ⅱ)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:基于微分同胚,将几何形态不规则的物理区域上的控制方程转化至几何形态 规则的参数域上的控制方程 2.知识要素(教学内容细致目录) ①微分同胚的充分必要性条件。实际应用中常用充分性 fx∈C"D,(CRm),Rm s.t.1)f(x)在D,上为单射,则有f(x)∈C"D;f(D) 2)D(x)∈Rm非奇异 注:此时,f(D)cR为开集;f(x)实现D,同f(D)之间的双射:f(y)∈Cf(D,)Rm ②由∫f(x)=x,Ⅵx∈D,由于∫(y)以及∫(x)均可微,按复合映照的可微性定理,有: D∫1f(x)D(x)=Ln,故有:D1f(x)=D(x), D 亦即 f(x) 3.应用事例 事例1:非规则平面管流 第1页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 1 页 共 13 页 教案：关于微分同胚的应用 课程：《数学分析（Ⅱ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：基于微分同胚，将几何形态不规则的物理区域上的控制方程转化至几何形态 规则的参数域上的控制方程。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① 微分同胚的充分必要性条件。实际应用中常用充分性。 ( ); p m m C x f x s.t. 1) f x( ) 在 x 上为单射，则有 ( ) ; ( ) p x x f x C f 2) ( ) m m Df x 非奇异 注：此时， ( ) m x f 为开集； f x( ) 实现 x 同 ( ) x f 之间的双射； 1 1 ( ) ( ); m x f f y C ② 由 1 ( ) , x f f x x x ，由于 1 f ( ) y 以及 f x( ) 均可微，按复合映照的可微性定理，有： 1 ( ) ( ) Df f x Df x Im，故有： 1 1 Df f x Df x ( ) ( ) ， 亦即： 1 1 1 1 1 , , , , ( ) , , , , m m m m D x x D y f x D y D x y x y 3. 应用事例 事例 1：非规则平面管流

教案:关于微分同胚的应用 L Stepl:建立C微分同胚,将几何“不规则”的物理区域变换为几何“规则”的参数域, 作 5, g(5)+n((5)-g(5) (5,n)eC"(①y:D) 当/()g()∈C0D),则有(5n)∈C(2R2 ①易见,n在Dn上为单射(结合几何特点) g(5)+m((5)-8(5)(-g( 有etD,5,n=f()-g()≠0如∈,故有:5,n∈CDD-° Step2:获得参数域上的控制方程 设有(x,y)定义于Dn,st.c(xy)+。"(xy)=0 ①由于n 间为及,则有-(团)=(2((,由匙 我们对应有参数域D上的函数v(,n) 第2页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 2 页 共 13 页 y o x f ( ) x g( ) x   0 1 L xy Step1：建立 p C 微分同胚，将几何“不规则”的物理区域变换为几何“规则”的参数域。 作 ：       , , , ( ) ( ) ( : ) x y g g f x y ∋                                         ，需验证  ,   ;  p xy x y C           。 当 ( ), ( ) (0, ) p f g C L ，则有     2 , ; p x C y          ① 易见 , x y 在 上为单射（结合几何特点） ②       0 , , ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) x x y y g f g f g x D y                                                      有 det ( ) ( ) 0, , x D f g y ，故有： , ; p xy x x C y y 。 Step2：获得参数域上的控制方程 设有 ( , ) x y 定义于 xy ，s.t.     2 x y x y , , 0 x y x y             ① 由于 x y                之间为双射，则有 ( ) ( ) : ˆ( ) ( ) ˆ x x x y y y                                                             。由此 我们对应有参数域  上的函数    ˆ( , )

教案:关于微分同胚的应用 ②获得v(5,m,y3∈Dn的控制方程一一利用链式求导法则 利用关系式v(x,y)=(5(x,y)m(x,y),则有 (,n)(x,y)+-(5,)-(x,y) ay (x,y)=-(5,m)-(x,y)+(5,m)-(x,y) 由 0 anan (5,n) g(5)+n((5)-8(5)f(5)-g(5) 1|f-g-g-n( f-g 0 (g-/)-g 故有 (x,y)=(5,m)+(5 n(8-)(5)-8() (f-g)(5) (f-g)(5)o 进一步计算 5,) axa (5,n) ax( ay (f-g)(5)on”(-g)(5 (5,n) ay 05n (x,y)+2(5,m)x(x,y) (f-g)(5) 5,n) an(f-g)(s(ds dg (m)+=n(g-八)<-s(5) ∫-g)(5) 第3页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 3 页 共 13 页 ② 获得 ˆ( , ),               的控制方程——利用链式求导法则 利用关系式     ( , ) ( , ), ( , ) x y x y x y  ˆ   ，则有 ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x x x x y x y x y y y y                                                     由             1 1 0 , ( 1 , 0 1 0 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x x x y y y g f g f g x y g f g f g f g g f g g f g f g f x y f g f g g                                                                                                                      故有：         ( ) ( ) ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ˆ ˆ 1 1 ˆ ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) g f g x y x f g x y y f g f g                                                             进一步计算         2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ˆ ˆ 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ˆ 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ˆ ˆ ( , ) ( , x x x y x y x y x y f g f g x y x y x x f g dg x y d d x df f g                                                                                                                  2 ( ) ( ) 1 ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( , ) ( ) g f g f g f g f g f g                          

教案:关于微分同胚的应用 将上述表达式代入(x,y在n的P、0c(x0 o(x)=0,即可得(5,n)在Dn的 PDE。 DncR2几何形态规则,则便于数值求解v(5,n),当获得v(5m),则有v(xy)=1(xy) 注:一般我们认为(x,y)∈C(Dn,R),故可有(xy) aa(xy),∈Dn,故可对 0(9(x,)可选择形式简单的一个,而计(xy或(xy) 事例2:轴对称非规则圆管内的流动 Step1.建立CP- diffeomorphism aR(ncoS y(ep:Dmn30→ybR(n)sine∈R3 此处Dmn为开方块 A77 H (开方块) 第4页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 4 页 共 13 页 将上述表达式代入 ( , ) x y 在 xy 的 PDE：     2 x y x y , , 0 x y x y             ，即可得    ˆ( , ) 在  的 PDE。 2   几何形态规则，则便于数值求解    ˆ( , ) ，当获得    ˆ( , ) ，则有 ( , )= x y ˆ ( , ) x y                 。 注：一般我们认为 2 ( , ) ; ( ) p xy  x y C ，故可有     2 2 , = , , xy x x y x y x y y x y                 ，故可对  x y,  x   或  x y,  y   可选择形式简单的一个，而计算   2 x y, y x     或   2 x y, x y     。 事例 2：轴对称非规则圆管内的流动 Step1. 建立 p C -diffemorphism 3 ( ) ( ) cos : ( ) ( )sin x y z x R y R z                                                                              ∋ 此处  为开方块。 z o x y  o   H 2 1 ( )  开方块 H R z( ) 

教案:关于微分同胚的应用 x2 ①显见y0b为 Den CR3的单射。 axax ax aR(n)cos -R()sin 2R()cos 8 Dyap=/ov ay ay 8=R(n)sing 2R(n)cos 0 aR(n)sin 0 0 a a8 an 有 edDy e)=det R(ncos 8 -r(nsing R() sine r(n)o/=R2(m)≠0,ye\∈Dm yIn 故有y(0D∈CDmn:Dn3y(D2),此处需具体澄清D。的区域,未包含整个管道内 yIn y 部 Step2.获得参数域上的PDE ①由f(y)=/(yb=(Ny y nly ②由关系式f(y)=f(y按复合映照可微性定理,有D(yb=D(0pDy) 7[n 考虑到D6ypDy,则有D(yp)=D(0Dye nJ y[7 y yIn R(n)cos0 -R()sing aR(n)cos 8 a ab on(, 0,Rn in0 AR(n)cos0 R()sine R( 8 -R(nsin B R(ncos 8 AR(COSB -R(nsin 8 0 可有R(m) )sin /R(m)cosR(m)sinO ARn Rn 8 AR 2 2R LR(COS B R(nsin 8 RR AR- -R(nsin 8 R(n)cos 8 0 第5页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 5 页 共 13 页 ① 显见 ( ) x y z                        为 3   的单射。 ② ( )cos ( )sin ( )cos ( ) ( ) ( )sin ( )cos ( )sin 0 0 1 x y z x x x R R R y y y D R R R z z z                                                                                                               有 2 ( )cos ( )sin 0 , ( )sin det ( ) de co ( ) s t ( ) R R R R R x D y y                                                              故有 ( ) ; ( ) p xyz x x y y y y C                                               ，此处需具体澄清 xyz 的区域，未包含整个管道内 部。 Step2. 获得参数域上的 PDE ① 由 ( ) ( ( )) ( ( ˆ )) x x x f y f y y y f y y                                                           ② 由关系式 ˆ ( ) ( ( )) x x f y y y f y                                   按复合映照可微性定理，有 ˆ ( ) ( )? ( ) x x Df y D D y y y f                                                考虑到 ( )= ( ) x x D y D y y y                                                          ，则有 ˆ ( ( ) ( )? ) x x Df y D D y y f y                                                           亦即 ( )cos ( )sin ( )cos ˆ ˆ ˆ ( )s ( , , ) ) , , ? in ( )cos ( )sin 0 1 ( 0 R R R f f f f f f R R y x R z z x y                                                            可有 2 2 2 ( )cos ( )sin ( )cos ( )cos ( )sin 0 1 ( )sin ( )cos ( )sin ? ( )sin ( )cos 0 0 0 1 0 T R R R R R R R R R R R RR R                                                       2 2 2 ( )cos ( )sin 1 · ( )sin ( )cos 0 0 0 R R RR R R R R                         

教案:关于微分同胚的应用 ax ay a aR(ncos 0 R(n)sin -A RR 即有 060006 -Rn 8 Rn 8 ax ay az ZR ay az 以及 cos sin -R(n R()R(7)R(m) y(xg:)=19.9(.m)-sns00 AR( aR(n7 (x,y,=) af (2,6,n) cose af sin 0 R(n a0 R(n 即{(x,y,)=5,(.O,n) e af cos 8 R( a0 R( (x,y,)=(,D~R(m),可 R(m)6 可再计算 a?faa a/08 a f an bcos f sing 00 sing/mai aa2 ax 000n ax anaa axR aL R Ox R a?y an, a2fa0 a2 f an sing af[ sing an cose a0 sine p/ an and0 ax a02 Ox ande ox ar 80L 'R ax R &() a r doz*d 2R-ax0e R-0022R AR 801-2 2R2 e如 sIn y,2) a3fcos3θ, af sin2θa2fsin20, af sin2,ar: an2 r2 a02 2R2 0002 R2 a R20022R2 同样计算 第6页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 6 页 共 13 页 即有 2 2 2 ( )cos ( )sin 1 ( )sin ( )cos 0 ( ) ? 0 0 x y z x R R RR y R R x y z R z R x y z                                                                      ， 以及 cos sin ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ sin cos , , 0 ( ) ( ) 0 0 1 ( , , ) ( ) R R R R f f f f f f x y z x y z R R                                                                  即 ˆ ˆ cos sin ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ˆ ˆ sin cos ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( , , ) ( , , ) ( ) f f f x y z x R R f f f x y z y R R f f R f x y z z R                                                                可再计算 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin sin ( , , ) ? · ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ sin sin cos sin · · ( ) f f f f f x y z R x x x x R R x R x f f f f R x x x R R x R x R x                                                                                                                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin cos sin cos sin sin sin cos · · · 2 f f f f f f R R R R R R R R                                                                    即有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin sin 2 sin sin 2 ( , , ) f f f f f f x y z x R R R R R                                  同样计算

教案:关于微分同胚的应用 "La2oy02yn」 R aalr a Pr(n) a, a 00 a f an sine, af [ cos0 00 sine/ a a10y.0oy0 aR oe a r Oy aR ay ap2空 ax,a/a0, a f an cos0, af[ sine an sin 0 a8 sing ai sine. a f cose sine_ af cos e_ a j sine sin ecos 6 ax2 R a00 RR a AR2 a1a0 R 22R a-f sin a-f cos 0 a-f sin 20 af cos 0 af sin 20 a2R20022R2 aR2 a R2 80 22R 03aa3aa3an|Rn)可 (x,y 2 az a802 az anan az」R(m)a 2a+00+f anan az alan az an- ay 0AR,011A守+2R R21「_AR02 a2Ran」RaLR2 R- af aR 8/ af 2RR-22R2 R2 a22 an2 r anan anR 综上有:对4(x,y,2)=/03 (x,y,二)=0 af 8f. af (x,y, =) R2(n)af (2,6,m) R2()O (,6.m)+xR(m)e2 0-280(n)(RRJ 1 2R--aRR af (2,6,n)=0 x「1「元R(7)cosb 再考虑y(b=Rm)inO∈R3,当R(n)=1,A∈(O.R)R= const则 2」n[n (x,y2021(,,m)+107 ZD(mk1=0,即对应一般柱坐标系 事例3:方程变换 注:此种问题基本上一致,不过现已知微分同胚(或相应变换) 引自《数学分析习题集》林,方等 第7页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 7 页 共 13 页 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin ( , , ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin sin sin · · ( ) f f f f f x y z R y y y y R R y R y f f f f R y y y R R y R y R y                                                                                                                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin sin cos cos sin cos · · · 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin 2 si cos cos n 2 f f f f f f R R R R R R R R f f f f f R R R R                                                                                                2 2 R   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( , , ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R f f f f R f R RR R x y z z z z z R z R z f f f z z y f R f R f R R R R R                                                                                                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 R R f R f R R f f R R R R f f RR R R                                                 综上有：对 222 2 2 2 ( , , ) ( , , ) 0 fff f x y z x y z x y z                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 ( ) 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ 2 ( ) 1 2 ( , , ) ( , , )=0 ( ) ( ) R R f f f R f f x y z x y z f R f R RR f R R R                                                                      注：再考虑 3 ( )cos ( ) ( )sin x R y z R                                           ，当 R(  ) 1,   (0,R R cons ), t 则 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 f f f f x y z                      ，即对应一般柱坐标系。 事例 3：方程变换* 注：此种问题基本上一致，不过现已知微分同胚（或相应变换） * 引自《数学分析习题集》林，方等

教案:关于微分同胚的应用 设有{y 有f(x,y)=F(u2",w),证:xx"+y"+'=tF'+vF'+wF Stepl验证微分同胚 0卖 xil 2a2√ → deadly(vb=-≠0,故认为存在微分同胚 Step2变换方程 有关系式f(yb=川y(b=y =Rdrp=[/, /](3, y, =[.,j. ]u, ,w) D(., e)(3, y )y ,](xr,m)(-4 √ F5而 √m 4 亦即有 √m√m √ hm 第8页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 8 页 共 13 页 设有 vw y w x uv z u         ，有 f x y z F u v w ( , , ) ( , , )  ，证： ' ' ' ' ' ' x y z u v w xf yf zf uF vF wF      Step1 验证微分同胚 0 2 2 ( ) 0 2 2 0 ) 2 ( 2 v vw w v w x u u y v v z w w x u v uv D y v u z w w u u u w                                                                           1 et ( ) 0 4 d x u D y v z w                         ，故认为存在微分同胚 Step2 变换方程 有关系式 ˆ ( ) : ( ) ( ) x x u x f y f y v z z u v f y w w z                                                                         T ( , , ) ˆ ˆ ˆ ( ) , , ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 4 4 4 ˆ , , , ˆ ˆ ( , , ) ( 4) 4 4 4 4 , 4 4 x y z u u v w v w D u v w Df f f f x y z f f f u v w x y z D x y z u v vw w v f f f u x y z w v u w v u u v w w v w uv uw u                                                        亦即有 T ˆ ˆ ˆ , , ( , , ) ( , , , , ) x y z u v w u w v u w v vw w v f f f x y z f f f u v w uv u w w u v u u v w                                

教案:关于微分同胚的应用 u+fv+ {y,=元u+1-2.w→x,+y+=0++ =元:-元y+元v 事例4:引入x=e,y=变换方程:ax2+2 bxyaxoy a2)(xy)=0 ①验证微分同胚: 5,n) yLn D(5,) 0 有det D(x, y) (5,m)=etn≠0 D(5,n) -)= A Du(x, y)=Di(s, n) D(5,n(x, y)=Di(5,m/p25(s,) D(x,y) D(5,m) 亦即有[n2,n]=[a2,4] 0 , 即 汪: 0 as e5+l2e-(-1) le aytummae-n+ue(1 on ay 综上有 第9页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 9 页 共 13 页 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v w y v w y z x u u v w z x u u v w xf f u f f yf f u f f xf yf f f f f zf f v w v w z u v w u f v f w                                 事例 4：引入 x e y e ,     变换方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 0 u u u ax bxy cy x y x x y y                 ① 验证微分同胚： ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( ) 0 e D e D x y e x e y                                      有 ( , ) ( , ) 0 ( , de ) t D x y e D          ② u u ( ) ( ) : ( ˆ ) x x x u y y y                                                 有 1 ( , ) ( , ) ( ˆ( , ) ( , ) (ˆ , ) ( , ) ( , , , ) ( ) ) D D x y u x y Du D x Du x y D D y                    亦即有 ˆ 0 , ˆ , 0 x y u u u e u e                      ， 0 , ˆ , ˆ 0 x y e u u u u e                       ，即 ˆ ˆ y x u e u u e u                。 注： 0 ( , ) 0 x y e y x e x y                                    2 2 2 2 ( ) ˆ ˆ ˆ ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 1) ˆ yy xy xx e e e u u u e u x x x u u u u u e u y y y u u u u u e u y y y u e e e e e                                                                                                      综上有：

教案:关于微分同胚的应用 axu,+ 2bxyu+cyu (u-i )e-25+2bes*it a(iz-ig)+2buen +c(im -i,) +2bi n)=0 注:现有方程区别于原方程已经变换为线性方程 进一步考虑二阶PDE: (x)=0,此处 Ji-Const 引入y°=x,0m=cg,则有am(x)=m(y)9(x)=m(y)Pm a-n aaa(y)(x)=60、a2i (y) ay ay 故有aO"0 →()+cm()=0,亦即1(p)时)+(m、对 a-i 考虑到A[a]eSm,故30∈omh=A=dg4…4m]4∈R 亦即有a1m=26g au 由此,∑λ c+c6 ()=0为分量化形式。 考虑化简方程,3x2 a-u +3x-+ ax2 按后叙一般理论(处理方法) ①引入 yIIn Cu=l3 4 a2ia2i a2i Ean an2 )=C()=0 2 有 wOrth, st ga,]=dag[,句, 4±√20 (4-3)(-1) 注:设计上数据选取过于复杂 第10页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 10 页 共 13 页               2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 0 xx xy yy ax u bxyu cy u u e u u u e u u u u u u ae be e ce a b c au u u u b c au c                                               注：现有方程区别于原方程已经变换为线性方程。 进一步考虑二阶 PDE： 2 ( ) ( ) 0 ij i i j i u u x c x a x x x        ,此处 ij ji a a const   引入 y x const ,         ,则有 ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ˆ i i i u x y u y u y y x y x x                2 2 2 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) i i j i j j u y u x y x y x x y y x y y u                          故有 2 ˆ ˆ ( ) ( ) 0 i j i ij i a u y y y u y c y                 ,亦即     2 ˆ ˆ ( ) ( ) 0 i i T j ij i a u u y c y y y y                 考虑到 A=   aij Sym   · , ,故 , . ?  1 , , T Q o m i    rth s t Q AQ    diag     , 亦即有 i Tj ij a          由此，   2 2 1 ˆ ˆ ( ) 0 m i i u u c y y y                为分量化形式。 考虑化简方程， 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 0 u u u u u x xy y x y x x y y x y                 按后叙一般理论（处理方法） ① 引入 ( ) x e y e                        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ˆ ˆ ˆ (3 ) (ˆ 3 4 3 4 ) 0 u u u u u x xy y x y x x y y u x y u u y u x u                                         ② 由 3 2 2 1 ij a              ，有 , . · ·  1 , 2  T Q orth s t Q aij     Q  diag     ，    2 1,2 3 2 4 2 1 0 0 det 3 1 4 4 2 5 2 1 2                              ， 注：设计上数据选取过于复杂