复旦大学：《数学分析》教案讲稿_无限小增量公式的基本理论与应用理论.pdf_大学文库

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论第 1 页共 7 页教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述）本知识点：无限小增量公式基本理论与应用理论。主要内容分为：①基本理论，基于 Cauchy 中值定理获得无限小增量公式，先获得朴素形式，再通过引入辅助函数以获得一般形式。② 基于无限小增量公式本身（多项式逼近的唯一性），获得“逐项求导”、“逐项求积”两个技术性引理，结合复合函数极限定理以及 Landau 分析，由此形成应用理论。 2. 知识要素（教学内容细致目录）本知识点，包括如下知识要素： ① 无限小增量公式的朴素形式 —— 基于 Cauchy 中值定理获得* 朴素形式： f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数；且有         1 0 0 0 p fx f x     ，则有：      0 0   p fx fx o x x   分析：分析策略：基于 Cauchy 中值定理，推导朴素形式。逐次利用 Cauchy 中值定理† 可得： 0 x  p1  2  1 x 0 x  p1  2  1 x                                                  1 0 0 1 0 0 2 0 2 0 1 (1) 2 01 2 1 2 1 0 10 20 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 1 1 : : 1 1 11 : 1 12 ! x x x p xp p p p x x p p x p p p p p p p x f x f x fx fx f f xx p x x p pp xx xx f x f f pp pp p x x x x                                                 * 一般基于 L‘ Hospital 法则的推导较多。本处特地设计了基于 Cauchy 中值定理的推导，因为带 Lagrange 余项的有限增量公式基于 Cauchy 中值定理推导，故我们希望基于相同的中值定理“统一”获得无限小增量公式和有限增量公式，希望有助于“正本清源”。 † 对于 Cauchy 中值定理，要求：分子及分母处的函数在闭区间上连续，在内部可导，且分母处的导函数在非零

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论第 2 页共 7 页当 x 在 0 x 点右侧或左侧时，  1 10 ,, ,  p   x x或  110 ,, ,  p   x x 的分布特征，如上图所示。按 Heine 叙述，考虑极限：            0 0 0 0 0 lim lim n p p xx n n f x fx fx fx xx x x          ，此处 0 0 n x  x x  结合上述基于 Cauchy 中值定理获得的结构，有：                       1 11 1 10 0 0 10 10 1 1 ! ! p pp np np n p n np np fx fx f x fx fx x x p p xx xx                  此处， n p   1 x   为 x0 , xn 或者 xn , x0 之间利用 p 1次 Cauchy 中值定理所确定的值，满足   1 0   , np n x  x x   或   1 0   , np n x  x x   。易见，按点列极限夹逼性，有： x0 10 x x n p       。已知     0 0 p   f x ，故按函数极限的 Heine 叙述，我们有：                    1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 ! ! p p n p n p p n n p fx fx fx fx f x x x p p x x              至此，获得朴素形式。 ② 无限小增量公式的一般形式有朴素形式获得一般形式，可以通过引入如下辅助函数：           0 0 0 1 : ! k p k k f x x fx fx x x k              ，满足   0  x  0，         1 0 0 0 p   x x    。对其利用朴素形式，即得一般形式无限小增量公式： f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数，则有：            0 0 00 1 ! k p k p k f x fx fx x x o x x  k             无限小增量公式的几何意义为局部可以 p 阶多项式逼近，误差为 p 阶无穷小量。值得指出，无限小增量公式并未给出误差的实际估计方法，其本身也是在极限意义下成立的。这点本质区别于有限增量公式。 ③ 多项式逼近的唯一性多项式逼近唯一性的数学刻画：

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论第 3 页共 7 页如有             0 00 1 0 00 1 p k p k k p k p k k A A xx oxx f x B B xx oxx                    ，则有： A B 0 0  ，   1, , Ak k   Bk p  。分析：将两个表达式相减，即得：       00 0 0   1 p k p k k k A B A B xx oxx         两边取极限即得： A B 0 0  。故有：                 1 1 0 0 11 0 0 1 2 p p kp k p k k k k k k A B xx oxx A B A B xx oxx                  两边取极限即得： A B 1 1  。依次进行，即得结论。 ④ 技术性引理：“逐项求导”——源于多项式逼近的唯一性已知 f   x 的多项式逼近：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ，则有   df x dx 的多项式逼近：           0 00 1 1 1 00 2 1 p k p k p k k p k k dd d A A xx o xx dx dx dx df x dx A Ak x x o x x                            分析：已有：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ，则有如下事实： 1． f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数，由此   df x dx 在 0 x 点具有直至 p 1阶导数。 2. 按多项式逼近的唯一性，有： A0 0  f x ，    0 1 1, , ! k k k d f A xk p k dx    考虑   df x dx 的无限小增量公式            1 1 1 0 00 0 1 1 1 ! p k k p k k df df d f x x x xx oxx dx dx k dx             对此系数，即得结论。 ⑤ 技术性引理：“逐项求积”——源于多项式逼近的唯一性

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论第 4 页共 7 页已知 f   x 的多项式逼近：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ，则有 f   x dx  的多项式逼近：                           00 0 1 1 0 00 0 0 1 0 1 1 p k p p k k k p k k f x dx x x f x dx x A x x f x dx x A A dx A x x dx o x x dx oxx k                            此处 f   x dx  指关于 x 的函数，满足      d f x dx x f x dx   分析：已有：      0 00   1 p k p k k fx A A x x o x x        ，则有如下事实： 1． f   x 在 0 x 点具有直至 p 阶导数，由此 f  x dx   在 0 x 点具有直至 p 1阶导数。 2. 按多项式逼近的唯一性，有： A0 0  f x ，    0 1 1, , ! k k k d f A xk p k dx    考虑 f   x dx  的无限小增量公式                                  0 1 1 00 0 1 1 1 1 0 00 0 1 1 1 ! 1 ! p k k p k k p k k p k k f x dx x f x dx x d f x dx x x x o x x k dx d f f x dx x x x x o x x k dx                           对此系数，即得结论。 ⑥ 获得复杂函数多项式逼近的技术要素  基本初等函数的多项式逼近。一般直接基于无限小增量公式。  复合映照极限定理。—— 从简单走向复杂的一般理论  “逐项求导”、“逐项求积”两个技术性引理。  Landau 符号分析。—— “抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的切实实践。具体形式，诸如:       pp p o x ox ox    ；           pp pp p 1 ox ox ox ox ox    ；     p q pq ox ox ox    均指 x  0 时

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论第 5 页共 7 页证明：       pp p o x ox ox    ‡ 分析：首先明确     p p o x ox    的意思：关于 x 的一个函数，在 B   0  中有定义，满足：       0 lim 0 p p p p x x o x ox x ox         。然后，易得：             0 0 pp pp p p p p p p o x ox o x ox x ox as x x x x ox              。即得证。应用事例 1： 2 2 22 2 2 33 3 3 2 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 ( ) 2 xx x x x ox ox ox o ox x o x                                    对第一次展开：利用基本初等函数展开：     2 2 ln 1 2 y    y y oy ，按极限表示，亦即：   2 2 0 ln 1 2 lim 0 y y y y  y         。另有： 2 3 0 lim ( ) 0 x 2 x o x           ，且 2 3 ( ) 2 x   o x 满足非接触性条件。故按复合函数极限定理，有： 2 22 2 33 3 2 0 3 1 ln 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 lim 0 ( ) 2 y xx x ox ox ox x o x                           ，即得第一次展开。第二次展开，则基于 Landau 分析，涉及：   2 2 4 3 54 ( ) 2 4 x x o ox o o x o x                    等。应用事例 2：获得以下四个函数的多项式逼近，至精度   5 o x ：       3 5 6 sin tan tan sin 6 40 x x x x o x x             3 5 6 sin arctan 13 arctan sin 6 120 arc x x x x o x arc x       ‡ 在实际问题中，此结构十分常见

教案：无限小增量公式的基本理论与应用理论第 6 页共 7 页以研究arc x sin arctan   为例：考虑到：   1 2 2 arcsin 1 d x x dx    由      1 2 22 22 1 1 1 1 13 2 2 11 1 2 2! 2 8 y y y oy y y oy                         ；基于复合函数极限定理，有：    1 2 2 2 44 1 3 1 1 2 8 x x x ox        ；基于“逐项求积”，有：   1 3 3 55 arcsin 6 40 x     x x x ox 。考虑到：   1 2 arctan 1 d x x dx    由        1 22 22 1 11 11 1 2! y y y oy y y oy            ；基于复合函数极限定理，有：    1 2 24 4 1 1 x x x ox      ；基于“逐项求积”，有：   1 1 3 55 arctan 3 5 x    x x x ox 。综上，已有：   1 3 3 55 arcsin 6 40 x     x x x ox ；   1 1 3 55 arctan 3 5 x    x x x ox 基于复合函数极限定理，有：             3 5 35 35 35 55 5 5 3 5 5 3 55 3 1 3 arcsin arctan 3 5 6 3 5 40 3 5 3 5 1 1 1 1 3 1 13 3 6 5 6 40 6 120 xx xx xx x x ox x ox x ox x x o x ox x x x ox x x x                                                                          5 5  o x 应用事例 3：计算极限： 33 2 lim 3 2 x x xx x        对于此类问题，基于复合函数极限定理，可按如下一般处理方法：   0 0 1 lim 0 1 lim lim 1 lim x x t t x fx f t f t                              