赋范线性空间上微分学——距离与范数 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11范数 定义1.1(范数.在向量空间y上,对Ⅴx∈y其范数定义为 |y:y3x→|ly∈R, 满足 1.非负性:|xy≥0,Vx∈y;非退化性:当x≠0∈y时,|xly>0; 2.正齐次性:ary= gallary,x∈y,Va∈R 3.三角不等式:|x+yy≤|ry+lyly,x,y∈y 定义1.2(赋范线性空间)·定义了范数的线性空间,称为赋范线性空间.基于范数可自然定 义赋范线性空间上的距离:d(x,y)会|-yx 1.2映照极限 定义1.3(映照极限).设有映照∫(x)定义为 f(x):XDx3x→f(x)∈Y, 此处X和Y均为赋范线性空间,DCX为f(x)的定义域.当x0为D的聚点,即入>0, 有Bx(x0)∩Dx≠g.设有局部行为,记为 彐Iim,f(x)=y0∈Y x→x0∈X 具体叙述如下 1. cauchy叙述 ve>0,36>0,成立f(x)∈B2(y0),r∈B(xr0)∩D2 2. Heine叙述: V{xn} nEN C D2\{xo},xn→xo∈X,有f(xn)→v∈Y
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——距离与范数 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 范数 定义 1.1 (范数). 在向量空间 V 上, 对 ∀ x ∈ V 其范数定义为 | · |V : V ∋ x 7→ |x|V ∈ R, 满足: 1. 非负性: |x|V > 0, ∀ x ∈ V ; 非退化性: 当 x ̸= 0 ∈ V 时, |x|V > 0; 2. 正齐次性: |αx|V = |α||x|V , ∀ x ∈ V , ∀ α ∈ R; 3. 三角不等式: |x + y|V 6 |x|V + |y|V , ∀ x, y ∈ V . 定义 1.2 (赋范线性空间). 定义了范数的线性空间, 称为赋范线性空间. 基于范数可自然定 义赋范线性空间上的距离: d(x, y) , |x − y|X. 1.2 映照极限 定义 1.3 (映照极限). 设有映照 f(x) 定义为 f(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ Y, 此处 X 和 Y 均为赋范线性空间, Dx ⊂ X 为 f(x) 的定义域. 当 x0 为 Dx 的聚点, 即 ∀ λ > 0, 有 ◦ Bλ(x0) ∩ Dx ̸= ∅. 设有局部行为, 记为 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y. 具体叙述如下. 1. Cauchy 叙述: ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立f(x) ∈ Bε(y0), ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx; 2. Heine 叙述: ∀ {xn}n∈N ⊂ Dx\{x0}, xn → x0 ∈ X, 有f(xn) → y0 ∈ Y. 1
赋范线性空间上微分学——一距离与范数 谢锡麟 定理1.1.映照极限的 Cauchy叙述与 Heine叙述是等价的. 证明首先,由 Cauchy叙述得出 Heine叙述 考虑H{xn}cX,mn→xo∈X需证f(xn)→∈Y,则按 Cauchy叙述,有 6>0,成立f(x)∈B2(0),Vx∈Bs(xo)∩D ∈X,即 N∈N,成立n∈Bb(xo)nDx,Vn>N 故有∫(xn)∈B2(o),Vn>Nb2,亦即f(xn)→y∈Y 然后,由 Heine叙述得出 Cauchy叙述.利用反证法,假设 Cauchy叙述不成立,即有 彐e*>0,V6>0.,彐x∈B(xo)nDx满足f(x5)gBe.(0), 取6n=,则彐xn∈B6n(xo)∩D满足f(xn)B2、().由于有D2{xo3xn→x0∈X,且 {f(xn)}neN以v0为极限( Heine叙述),矛盾. 定义1.4(映照的连续性).当∫(x)∈Y在点xo∈X有定义,且有 lim,f(x)=f(xo)∈Y, 则称f(x)∈Y在点x0∈X连续 显然,连续性可作为一种特殊的映照极限,且对应有如下的理解: 连续性的 Cauchy叙述 ve>0,彐6>0,成立f(x)∈B2(f(xo),r∈Bn(xo)∩D; 2.连续性的 Heine叙述 V{xn} neN CD2,xn→x0∈X,有f(xn)→f(xo)∈Y. 定理1.2(复合映照极限定理).如有 ∈ 且满足“非接触性条件0:彐入>0,有 A(B(ro)n De)C De\yol 则有
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 定理 1.1. 映照极限的 Cauchy 叙述与 Heine 叙述是等价的. 证明 首先, 由 Cauchy 叙述得出 Heine 叙述. 考虑 ∀ {xn} ⊂ X, xn → x0 ∈ X 需证 f(xn) → y0 ∈ Y , 则按 Cauchy 叙述, 有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立f(x) ∈ Bε(y0), ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx. 由 xn → x0 ∈ X, 即 ∃ Nδε ∈ N, 成立xn ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx, ∀ n > Nδε , 故有 f(xn) ∈ Bε(y0), ∀ n > Nδε , 亦即 f(xn) → y0 ∈ Y . 然后, 由 Heine 叙述得出 Cauchy 叙述. 利用反证法, 假设 Cauchy 叙述不成立, 即有 ∃ ε∗ > 0, ∀ δ > 0, ∃ xδ ∈ ◦ Bδ(x0) ∩ Dx 满足f(xδ) /∈ Bε∗ (y0), 取 δn = 1 n , 则 ∃ xn ∈ ◦ Bδn (x0) ∩ Dx 满足f(xn) /∈ Bε∗ (y0). 由于有 Dx\{x0} ∋ xn → x0 ∈ X, 且 {f(xn)}n∈N 以 y0 为极限 (Heine 叙述), 矛盾. 定义 1.4 (映照的连续性). 当 f(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ X 有定义, 且有 ∃ lim x→x0∈X f(x) = f(x0) ∈ Y, 则称 f(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ X 连续. 显然, 连续性可作为一种特殊的映照极限, 且对应有如下的理解: 1. 连续性的 Cauchy 叙述: ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立f(x) ∈ Bε(f(x0)), ∀ x ∈ Bδε (x0) ∩ Dx; 2. 连续性的 Heine 叙述: ∀ {xn}n∈N ⊂ Dx, xn → x0 ∈ X, 有f(xn) → f(x0) ∈ Y. 定理 1.2 (复合映照极限定理). 如有 ∃ lim x→x0∈X θ(x) = y0 ∈ Y, ∃ lim y→y0∈Y Θ(y) = z0 ∈ Z, 且满足 “非接触性条件” ➀: ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 则有 ➀ “非接触性” 指, 当 x ̸= x0 ∈ X, 有 θ(x) ̸= y0 ∈ Y . 2
赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 1.存在局部复合,即有 o(x)≡O((x); (x) lim,6(y)∈Z. 证明(1)按非接触性条件θ(Bx(xo)∩De)cDe\{},显然成立 (2)利用 Heine叙述,考虑Ⅴ{xn}cBx(xo)∩D,rn→xo∈X 由彐lim,O(x)=∈Y的 Heine叙述,以及非接触性条件,有 D 又由彐 6(y)=30∈Z的 Heine叙述,有 y→y0∈Y 6((xn))=6(x 综上,有彐lim,Oo6(x)=x0∈Z 需指出,按连续性的 Heine叙述,如有 彐lim,6(y)=(y0)∈Z, 则上述定理中“非接触性条件”可改为“可接触性条件 >0,有(Bx(x0)∩De) 2应用事例 命题2.1(矩阵的平方和范数).一般矩阵范数可定义如下 mxn3A→|4|gmxn√AaAa∈ 且此矩阵函数范数满足矩阵范数额外要求的“相容性条件 ABErE≤| ARrxsBrs 证明由定义 △ 易见其满足非负性、非退化性、正齐次性.对于三角不等式,考虑 A+BRmxn =(Aia+ Bia)(Aio+ Bia)=Akmxn +Bi ≤41m+1B1m+2∑∑、∑∑B 1 mxn+ B12mxn +2 Alrmxn Blgmxn=(lAlgmxm +IBlgmxn
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 1. 存在局部复合, 即有 Θ ◦ θ(x) : ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)); 2. ∃ lim x→x0∈X Θ ◦ θ(x) = z0 = lim y→y0∈Y Θ(y) ∈ Z. 证明 (1) 按非接触性条件 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 显然成立. (2) 利用 Heine 叙述, 考虑 ∀ {xn} ⊂ ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ, xn → x0 ∈ X. 由 ∃ lim x→x0∈X θ(x) = y0 ∈ Y 的 Heine 叙述, 以及非接触性条件, 有 DΘ\{y0} ∋ θ(xn) → y0 ∈ Y. 又由 ∃ lim y→y0∈Y Θ(y) = z0 ∈ Z 的 Heine 叙述, 有 Θ(θ(xn)) = Θ ◦ θ(xn) → z0 ∈ Z. 综上, 有 ∃ lim x→x0∈X Θ ◦ θ(x) = z0 ∈ Z. 需指出, 按连续性的 Heine 叙述, 如有 ∃ lim y→y0∈Y Θ(y) = Θ(y0) ∈ Z, 则上述定理中 “非接触性条件” 可改为 “可接触性条件” ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ. 2 应用事例 命题 2.1 (矩阵的平方和范数). 一般矩阵范数可定义如下: | · |Rm×n : R m×n ∋ A 7→ |A|Rm×n , √ AiαAiα ∈ R, 且此矩阵函数范数满足矩阵范数额外要求的 “相容性条件”: |AB|Rr×t 6 |A|Rr×s |B|Rs×t , ∀ A ∈ R r×s , B ∈ R s×t . 证明 由定义 |A|Rm×n , √ AiαAiα, 易见其满足非负性、非退化性、正齐次性. 对于三角不等式, 考虑 |A + B| 2 Rm×n = (Aiα + Biα) (Aiα + Biα) = |A| 2 Rm×n + |B| 2 Rm×n + 2AiαBiα 6 |A| 2 Rm×n + |B| 2 Rm×n + 2 vuut∑m i=1 ∑n α=1 A2 iα vuut∑m i=1 ∑n α=1 B2 iα = |A| 2 Rm×n + |B| 2 Rm×n + 2|A|Rm×n |B|Rm×n = (|A|Rm×n + |B|Rm×n ) 2 , 3
赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 即有|A+ bRan≤| ARmon+| BeRmAn 就相容性条件,可有 kx:=∑∑(AB)=∑ i=1a=1 i=1a=1 (a) i=1 k=1 命题22(矩阵的谱范数).一般矩阵范数可定义如下: 1.Ispec:RmXm e A+Alspec max vAil det(ATA-A;Im)=OER 且此矩阵函数范数满足“相容性条件 Aspec≤| spec VA∈Rs,B∈R 证明对A∈Rxm,则AA必然为对称阵(如果A非零),故其特征值均为非负的实数 有估计式 1An=x(A1A)x≤max{ldet(A1A-MD)=0}x最m,x∈Rm 以下验证作为范数的条件: 非负性及非退化性.由上式,显然|A|spe≥0,VA∈Rn×m 当| As=0,亦即A=0(=1,…,m),按线性代数中对称矩阵的正交相似对角化 有彐Q∈Orth,满足 Q(AA)Q 0∈R 则有AA=0∈Rmxm.故 i(A1A)i1=|Ail最n=0 亦即A∈Rnxm的第i列为零向量,也就是A=0∈Rn×m 反之,如果A=0∈Rn×m,显然有| Als=0. 2.正齐次性.这是显然的 3.三角不等式.由上述估计式,可见有 Aspec= sup AlRn m≠0mlgm 因为|(A+B)xlgn≤|Acln+| BaIRn,所以 /(A+ B)aans, sup*o laRm l-Igmt0 lazlrm' Va E R 故有|A+ bspec≤|Alsp+| Aspec.综述所述,|Alpe为范数
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 即有 |A + B|Rm×n 6 |A|Rm×n + |B|Rm×n . 就相容性条件, 可有 |AB| 2 Rr×t = ∑r i=1 ∑ t α=1 (AB) 2 iα = ∑r i=1 ∑ t α=1 (∑s k=1 AikBkα)2 6 ∑r i=1 ∑ t α=1 (∑s k=1 A 2 ik) (∑s k=1 B 2 kα) = |A| 2 Rr×s |B| 2 Rs×t . 命题 2.2 (矩阵的谱范数). 一般矩阵范数可定义如下: | · |spec : R n×m ∋ A 7→ |A|spec , max 16i6m { √ λi | det(ATA − λiIm) = 0} ∈ R, 且此矩阵函数范数满足 “相容性条件”: |AB|spec 6 |A|spec|B|spec, ∀ A ∈ R r×s , B ∈ R s×t . 证明 对 ∀ A ∈ R n×m, 则 ATA 必然为对称阵 (如果 A 非零), 故其特征值均为非负的实数, 有估计式 |Ax| 2 Rn = x T(ATA)x 6 max 16i6m {λi | det(ATA − λI) = 0}|x| 2 Rm, ∀ x ∈ R m. 以下验证作为范数的条件: 1. 非负性及非退化性. 由上式, 显然 |A|spec > 0, ∀ A ∈ R n×m. 当 |A|spec = 0, 亦即 λi = 0 (i = 1, · · · , m), 按线性代数中对称矩阵的正交相似对角化, 可 有 ∃ Q ∈ Orth, 满足 QT(ATA)Q = λ1 . . . λm = 0 ∈ R m×m, 则有 ATA = 0 ∈ R m×m. 故 i T i (ATA)ii = |Aii | 2 Rn = 0, i = 1, · · · , m, 亦即 A ∈ R n×m 的第 i 列为零向量, 也就是 A = 0 ∈ R n×m. 反之, 如果 A = 0 ∈ R n×m, 显然有 |A|spec = 0. 2. 正齐次性. 这是显然的. 3. 三角不等式. 由上述估计式, 可见有 |A|spec = sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm . 因为 |(A + B)x|Rn 6 |Ax|Rn + |Bx|Rn , 所以 |(A + B)x|Rn |x|Rm 6 sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm + sup |x|Rm̸=0 |Bx|Rn |x|Rm , ∀ x ∈ R m, 故有 |A + B|spec 6 |A|spec + |B|spec. 综述所述, |A|spec 为范数. 4
赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 关于相容性,由于| Aspec=sup 1Ag>2Ag,因此 arm I(AB)aIRr=lA(B c)lR- Specl Bales< lAlspec BlspeclacIRe 故有 Ablspec Alspecl Blspec 命题2.3(线性映照的范数).如果线性映照x(X;Y)的两个底空间X和Y的范数都已经 定义,那么线性映照(X;Y)的范数可以定义如下 ·x(x:):x(x;Y)3a→lax(x:y)sp l&(a)ly x0|2/x∈R 且此范数满足相容性条件: lalx(x;z)≤|-x(y;z)(x:),Va∈x(Y;2),第∈(X:;Y 证明检验成为范数的条件 非负性及非退化性.显然有 alx(x:)≥0,Vx∈(X;Y) 如有|a(|x(x:)=0,则对x∈X,有|a(x)y=0,即a=0∈2(X;Y).反之,如有 =0∈x(X;Y),则显然有 0. 2.正齐次性 JAdls(x: r)=sul (d )(a)lY=(A sup Ix x|x≠0 d(z)=(All de(x Y), AER 3.三角不等式 (x+)(x)l}=|f(x)+()y≤|a(x) <lals(x r)lalx + le(x r)lalx 由此可有|a+x(x:)≤同1lx(x:)+1(x:y 综述所述,有|1(x)为范数 至于相容性条件,考虑到 x)(x)z≤|1(y;z)|6(x)y≤. als(y;z)l(x:)rlx 即有 x团(x:;2)≤|a1x(y;z)|lx(x:Y 矩阵也可以看做是Rη空间到Rn空间的线性映照,因此矩阵A∈Rnxm的范数也可以定 义为 Az 1·1z(m:):Rm3A+4x(m:),8mR 并且有下述定理. 定理2.4.|4|(RmRn)=| Aspec
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 关于相容性, 由于 |A|spec = sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm > |Ax|Rn |x|Rm , 因此 |(AB)x|Rr = |A(Bx)|Rr 6 |A|spec|Bx|Rs 6 |A|spec|B|spec|x|Rt , 故有 |AB|spec 6 |A|spec|B|spec. 命题 2.3 (线性映照的范数). 如果线性映照 L (X; Y ) 的两个底空间 X 和 Y 的范数都已经 定义, 那么线性映照 L (X; Y ) 的范数可以定义如下: | · |L (X;Y ) : L (X; Y ) ∋ A 7→ |A |L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |A (x)|Y |x|X ∈ R, 且此范数满足相容性条件: |A B|L (X;Z) 6 |A |L (Y ;Z) |B|L (X;Y ) , ∀ A ∈ L (Y ;Z), B ∈ L (X; Y ). 证明 检验成为范数的条件. 1. 非负性及非退化性. 显然有 |A |L (X;Y ) > 0, ∀ A ∈ L (X; Y ). 如有 |A |L (X;Y ) = 0, 则对 ∀ x ∈ X, 有 |A (x)|Y = 0, 即 A = 0 ∈ L (X; Y ). 反之, 如有 A = 0 ∈ L (X; Y ), 则显然有 |A |L (X;Y ) = 0. 2. 正齐次性. |λA |L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |(λA )(x)|Y |x|X = |λ| sup |x|X̸=0 |A (x)|Y |x|X = |λ||A |L (X;Y ) , ∀ λ ∈ R. 3. 三角不等式. |(A + B)(x)|Y = |A (x) + B(x)|Y 6 |A (x)|Y + |B(x)|Y 6 |A |L (X;Y ) |x|X + |B|L (X;Y ) |x|X. 由此可有 |A + B|L (X;Y ) 6 |A |L (X;Y ) + |B|L (X;Y ) . 综述所述, 有 |A |L (X;Y ) 为范数. 至于相容性条件, 考虑到 |(A B)(x)|Z 6 |A |L (Y ;Z) |B(x)|Y 6 |A |L (Y ;Z) |B|L (X;Y ) |x|X, 即有 |A B|L (X;Z) 6 |A |L (Y ;Z) |B|L (X;Y ) . 矩阵也可以看做是 R m 空间到 R n 空间的线性映照, 因此矩阵 A ∈ R n×m 的范数也可以定 义为 | · |L (Rm;Rn) : R n×m ∋ A 7→ |A|L (Rm;Rn) , sup |x|Rm̸=0 |Ax|Rn |x|Rm ∈ R, 并且有下述定理. 定理 2.4. |A|L (Rm;Rn) = |A|spec. 5
赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 21张量空间的范数 定义2.1(张量空间的范数定义) 11(a):9(R)3更闽m√更西=V四∈R 现在需要验证上面的定义确实确定了张量空间(Rm)的一种范数.首先需要证明此范数 与坐标系的选取无关.即对于基{91}~{9},有 ⊙φ=重4"r 对于另一组基{9a}~{g0},有 更⊙φ=φ 需证明 更⊙更=“西1=中)()pa1)(n) 设有基转换关系 9(=:C( 9 根据对偶关系,可得 (k) 以及/9=C0 由此可得 E( )=的 上面的过程说明更⊙φ的计算不依赖于基的选取,因此取单位正交基,此时协变分量和逆变分量 相同,可有 ⊙西=(1…1)(1…)=囤罗m 显然,如此定义的囤(m)满足非负性、非退化性和正齐次性.对于三角不等式,对v更更∈ (Rm),考虑 (十)⊙匝重+)=m)+1”(m+2重⊙业 }(m)+(m)+25(1…b》(1…分 ≤型3,(m)+1B,(m)+2 (i1……ir)i (19(Rm)+|(gm)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 2.1 张量空间的范数 定义 2.1 (张量空间的范数定义). | · |T r(Rm) : T r (R m) ∋ Φ 7→ |Φ|T r(Rm) , √ Φ ⊙ Φ = √ Φi1···irΦi1···ir ∈ R. 现在需要验证上面的定义确实确定了张量空间 T r (R m) 的一种范数. 首先需要证明此范数 与坐标系的选取无关. 即对于基 {gi} ∼ {g i}, 有 Φ ⊙ Φ = Φ i1···irΦi1···ir . 对于另一组基 {g(i)} ∼ {g (i)}, 有 Φ ⊙ Φ = Φ (i1)···(ir)Φ(i1)···(ir) . 需证明 Φ ⊙ Φ = Φ i1···irΦi1···ir = Φ (i1)···(ir)Φ(i1)···(ir) . 设有基转换关系 g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j , 根据对偶关系, 可得 C k (i)C (j) k = δ j i , C i (k)C (k) j = δ i j , 以及 gi = C (j) i g(j) , g i = C i (j) g (j) . 由此可得 Φ (i1)···(ir)Φ(i1)···(ir) = [ C (i1) j1 · · · C (ir) jr Φ j1···jr ] [C k1 (i1) · · · C kr (ir) Φk1···kr ] = [ C (i1) j1 · · · C (ir) jr ] [C k1 (i1) · · · C kr (ir) ] Φ j1···jrΦk1···kr = ( δ k1 j1 · · · δ kr jr ) Φ j1···jrΦk1···kr = Φ j1···jrΦj1···jr . 上面的过程说明 Φ ⊙ Φ 的计算不依赖于基的选取, 因此取单位正交基, 此时协变分量和逆变分量 相同, 可有 √ Φ ⊙ Φ = √ Φ⟨i1 · · ·ir⟩Φ⟨i1 · · ·ir⟩ = |Φ|T r(Rm) . 显然, 如此定义的 |Φ|T r(Rm) 满足非负性、非退化性和正齐次性. 对于三角不等式, 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) , 考虑 (Φ + Ψ) ⊙ (Φ + Ψ) = |Φ| 2 T r(Rm) + |Ψ| 2 T r(Rm) + 2Φ ⊙ Ψ = |Φ| 2 T r(Rm) + |Ψ| 2 T r(Rm) + 2Φ⟨i1 · · ·ir⟩Ψ⟨i1 · · ·ir⟩ 6 |Φ| 2 T r(Rm) + |Ψ| 2 T r(Rm) + 2 vuut ∑m i1,··· ,ir=1 |Φ⟨i1 · · ·ir⟩|2 vuut ∑m i1,··· ,ir=1 |Ψ⟨i1 · · ·ir⟩|2 = ( |Φ|T r(Rm) + |Ψ|T r(Rm) )2 , 6
赋范线性空间上微分学——一距离与范数 谢锡麟 即有 更+业(m)≤l(Rm)+1 综上,囤(m)④④⊙重是(Rm)的范数 性质25(张量范数的性质).对φ∈(Rm),业∈少(m),有 1.l+(R T(Rm)I9s(Rm), 2.④更 ≤更l(m)(Rm),e≤min{r,s}; 3.匝x业+4-1(B)≤9(m)(R) 证明按张量范数的定义以及基本不等式,可获得张量范数的相关估计式. 1.根据定义 匝更⑧业 y 2.不失一般性,考虑以下情形 =(4(ijst)y(stk)(重(ijp)ypqk)=(重(ijst)重(jpq)(业(stk)y(pqk) ≤ ((t)2,∑(p()2 ((stA)2、∑(() ∑(的(31)21∑(tA)2 2( ((i)2>(v()2 i,j=1 k=1 (层w)( ((ijp))2 0(9)=1m p, q=l \ i,j=l Pq=1\k=1 即有 ≤p 3.不失一般性,考虑 更x业=(重(i)e()②e(j))×(业mq)e(p)e(q) (ij)y(pq) e(i)@e(k)oe(g)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 即有 |Φ + Ψ|T r(Rm) 6 |Φ|T r(Rm) + |Ψ|T r(Rm) . 综上, |Φ|T r(Rm) , √ Φ ⊙ Φ 是 T r (R m) 的范数. 性质 2.5 (张量范数的性质). 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), Ψ ∈ T s (R m), 有 1. |Φ ⊗ Ψ|T r+s(Rm) = |Φ|T r(Rm) |Ψ|T s(Rm) ; 2. Φ (e · ) Ψ T r+s−2e(Rm) 6 |Φ|T r(Rm) |Ψ|T s(Rm) , e 6 min{r, s}; 3. |Φ × Ψ|T r+s−1(R3) 6 |Φ|T r(Rm) |Φ|T s(R3) . 证明 按张量范数的定义以及基本不等式, 可获得张量范数的相关估计式. 1. 根据定义 |Φ ⊗ Ψ|T r+s(Rm) = (Φ i1···irΨ j1···jrΦi1···irΨj1···jr ) 1 2 = (Φ i1···irΦi1···irΨ j1···jrΨj1···jr ) 1 2 = |Φ|T r(Rm) |Ψ|T s(Rm) . 2. 不失一般性, 考虑以下情形: Φ ( 2 · ) Ψ 2 T 3(Rm) = (Φ⟨ijst⟩Ψ⟨stk⟩) (Φ⟨ijpq⟩Ψ⟨pqk⟩) = (Φ⟨ijst⟩Φ⟨ijpq⟩) (Ψ⟨stk⟩Ψ⟨pqk⟩) 6 vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijst⟩) 2 vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijpq⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨stk⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨pqk⟩) 2 = ∑m s,t=1 vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijst⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨stk⟩) 2 · ∑m p,q=1 vuut ∑m i,j=1 (Φ⟨ijpq⟩) 2 vuut∑m k=1 (Ψ⟨pqk⟩) 2 6 vuuut ∑m s,t=1 ∑m i,j=1 (Φ⟨ijst⟩) 2 vuut∑m s,t=1 (∑m k=1 (Ψ⟨stk⟩) 2) ) · vuuut ∑m p,q=1 ∑m i,j=1 (Φ⟨ijpq⟩) 2 vuut ∑m p,q=1 (∑m k=1 (Ψ⟨pqk⟩) 2) ) = |Φ| 2 T 4(Rm) |Ψ| 2 T 3(Rm) , 即有 Φ ( 2 · ) Ψ T 3(Rm) 6 |Φ|T 4(Rm) |Ψ|T 3(Rm) . 3. 不失一般性, 考虑 Φ × Ψ = (Φ⟨ij⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩) × (Ψ⟨pq⟩e⟨p⟩ ⊗ e⟨q⟩) = Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩e⟨jpk⟩e⟨i⟩ ⊗ e⟨k⟩ ⊗ e⟨q⟩, 7
赋范线性空间上微分 距离与范数 谢锡麟 即有 更×业)(ikq)=重(j)y(q)e(pk) 计算 1y()=(④x业)(雪×) =(重(ij)ymg)e(ipk)(Φ(is)y(tq)e(stk) =重()(is)重(pq)tq)(e(pk)e(stk) =(ij)(is)v(pq)v(tq)(6(js)6{1)-6(ps)6jt)) =B2B3)1B=()-((t)y(q)(更(s)y(o?) 13=()1y2)-∑((t)y()2 再考虑 ∑(t)()2≤ 0()(∑()2)=1份份=y 所以,可有 重x业3(3)≤囤(业92(R3) 定理2.6.((Rm),|·-(m)为完备的赋范线性空间 证明对Ⅴ更∈(Rm),在单位正交基{e()}m1下,有 更 2r)业(21 考虑{重}peN,对e>0.,Ne∈N,满足 更p-更q|(Rm)<E,Vp,q 由基本关系式,得 面n一到(m)=V(一到)(1…1)(一到)…) 匝p(i1……ir)-重q(i1…t ≥囤p(1…i)一西q(1…i),i1,……,=1,……,m 可见{p(1…i)}eNR,i1,…,ir=1,……,m为基本点列,故有 imp(i1…1r)=西o(1…),Vi,…,ir=1,…,m 故可定义φ=重o(i1…i)e(in)…e(r),按前述基本关系式,可有 3建立路径
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学 —— 距离与范数 谢锡麟 即有 (Φ × Ψ)⟨ikq⟩ = Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩e⟨jpk⟩. 计算 |Φ × Ψ| 2 T 3(R3) = (Φ × Ψ)⟨ikq⟩(Φ × Ψ)⟨ikq⟩ = (Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩e⟨jpk⟩) (Φ⟨is⟩Ψ⟨tq⟩e⟨stk⟩) = Φ⟨ij⟩Φ⟨is⟩Ψ⟨pq⟩Ψ⟨tq⟩(e⟨jpk⟩e⟨stk⟩) = Φ⟨ij⟩Φ⟨is⟩Ψ⟨pq⟩Ψ⟨tq⟩(δ⟨js⟩δ⟨pt⟩ − δ⟨ps⟩δ⟨jt⟩) = Φ⟨ij⟩Φ⟨ij⟩Ψ⟨pq⟩Ψ⟨pq⟩ − Φ⟨it⟩Φ⟨is⟩Ψ⟨sq⟩Ψ⟨tq⟩ = |Φ| 2 T 2(R3) |Ψ| 2 T 2(R3) − (Φ⟨it⟩Ψ⟨tq⟩) (Φ⟨is⟩Ψ⟨sq⟩) = |Φ| 2 T 2(R3) |Ψ| 2 T 2(R3) − ∑ 3 i,q=1 (Φ⟨it⟩Ψ⟨tq⟩) 2 , 再考虑 ∑ 3 i,q=1 (Φ⟨it⟩Ψ⟨tq⟩) 2 6 ∑ 3 i,q=1 (∑ 3 s=1 (Φ⟨is⟩) 2 ) (∑ 3 s=1 (Ψ⟨sq⟩) 2 ) = |Φ| 2 T 2(R3) |Ψ| 2 T 2(R3) , 所以, 可有 |Φ × Ψ|T 3(R3) 6 |Φ|T 2(R3) |Ψ|T 2(R3) . 定理 2.6. (T r (R m), | · |T r(Rm) ) 为完备的赋范线性空间. 证明 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), 在单位正交基 {e⟨i⟩}m i=1 下, 有 |Φ|T r(Rm) = √ Φ⟨i1 · · ·ir⟩Φ⟨i1 · · ·ir⟩. 考虑 ∀ {Φp}p∈N, 对 ∀ ε > 0, ∃ Nε ∈ N, 满足 |Φp − Φq|T r(Rm) Nε. 由基本关系式, 得 |Φp − Φq|T r(Rm) = √ (Φp − Φq)⟨i1 · · ·ir⟩(Φp − Φq)⟨i1 · · ·ir⟩ ∼ 6 ∑m i1,··· ,ir=1 |Φp⟨i1 · · ·ir⟩ − Φq⟨i1 · · ·ir⟩| , > |Φp⟨i1 · · ·ir⟩ − Φq⟨i1 · · ·ir⟩| , i1, · · · , ir = 1, · · · , m. 可见 {Φp⟨i1 · · ·ir⟩}p∈N ⊂ R, i1, · · · , ir = 1, · · · , m 为基本点列, 故有 lim p→∞ Φp⟨i1 · · ·ir⟩ = Φ0⟨i1 · · ·ir⟩, ∀ i1, · · · , ir = 1, · · · , m. 故可定义 Φ0 = Φ0⟨i1 · · ·ir⟩e⟨i1⟩ · · · e⟨ir⟩, 按前述基本关系式, 可有 lim p→∞ Φp = Φ0 ∈ T r (R m). 3 建立路径 8
