复旦大学：《数学分析》教案讲稿_向量值映照的无限小增量公式

教案:向量值映照的无限小增量公式 教案:向量值映照的无限小增量公式 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:多维函数的无限小增量公式。 2.知识要素(教学内容细致目录) ①按单参数直线化思想进行,可有结论 ∫(x)∈R在x∈R点具有直至P阶沿e的方向导数,则有 (x+1)=(元)+1 石ke(x)*+o()∈R 分析:引入()=f(x+A),则有3(0)=9(x)。故按一维函数的无限小增量公式,有: q(2)=(0)+ (0)x+o(2)∈R k=1 进一步引入条件:彐6∈R,f(x)∈Cp(B(x));在B(x)上存在f(x)所有P阶偏导函 数且在x点连续,则有: 1(x+1)=/(x)+∑ 上述条件充分性地保证∫(x)所有的P-2偏导函数在B(x)上可微,f(x)所有的P-1偏导函数在x 点可微。 另,考虑到Ae-=[…1了,上述展开式往往又表示为 但需指出,展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有方向都有统一的“控制速 度”,亦即并非存在对所有方向适用的P阶无穷小量。 ②多项式逼近的唯一性 1)设∑4xx+0(D)=0(→0),此处p=√2+y 第1页共6页

教案：向量值映照的无限小增量公式 第 1 页 共 6 页 教案：向量值映照的无限小增量公式 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：多维函数的无限小增量公式。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① 按单参数直线化思想进行，可有结论： f x  在 0 m x  点具有直至 p 阶沿 e 的方向导数，则有：  0 0 0        1 1 ! p k k p k k f f x e f x x o k e             分析：引入     :  f x e  0  ，则有   0  0  k p k f x e      。故按一维函数的无限小增量公式，有：           1 1 0 0 ! p k k p k o k             进一步引入条件：     ，         1 0 ; p f x C B x    ；在 B x   0  上存在 f x  所有 p 阶偏导函 数且在 0 x 点连续，则有：           1 1 1 0 0 0 1 , , 1 1 ! k k k p m k i i k p i i k i i f f x e f x x e e o k x x                      上述条件充分性地保证 f x  所有的 p  2 偏导函数在 B x   0  上可微， f x  所有的 p 1 偏导函数在 0 x 点可微。 另，考虑到 1 , , T m    e e e      ，上述展开式往往又表示为：           1 1 1 0 0 0 1 , , 1 1 ! k m k k p m k i i p k i i k i i f f x h f x x h h o h k x x                    但需指出，展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有方向都有统一的“控制速 度”，亦即并非存在对所有方向适用的 p 阶无穷小量。 ② 多项式逼近的唯一性 1）设 0 ( ) 0 ( 0) n i j n ij i j A x x o         ，此处 2 2    x y

教案:向量值映照的无限小增量公式 则有4=0(j为非负整数+=2,…m) 2)设P(x)+o(p")=0(0→0)其中p=x P(x)=∑ax2,a=a1k,k上∑k,x=x鸡…x,k,…k为非负整数, 则有a4=0kkn 分析 1)由∑4xx+0(x2+y)=0,即有40+∑4x4+o(x2+y2))=0,取√x2+y2→0, i+j=0 I+/=l 则有4=0,再考虑(4x+A4y)+∑4xx+o(x2+y))=0 Aou x2+y2 +∑4 Xx x +o(x2+y2)2)=0 可取y=kx,取极限可有Ao =0,k∈R,故有A0=A1 设有:∑4xy+∑4xy+o(x2+y2)2)=0,引入y=Ax 则有:∑4x“1+∑4x+o(1+k2)x)=0 即有 A2+ 飞x+0(+k23x+)2=0,取x→0∈R 则有:∑4=∑A-=0「0、x,2141=0 i+j=k A 故有 0∈R 1k+1…(k+1)A 系数矩阵为范德蒙行列式,故有A.0=4-=…=4k=0 2)考虑高维情形 第2页共6页

教案：向量值映照的无限小增量公式 第 2 页 共 6 页 则有 0 (i,j i+j=0, ) 1,2, , ij A  为非负整数 n 2）设 ( ) ( ) 0 ( 0) n n P x    o   其中  | | x 1 2 , , , | | ( ) , n k n k k k k n P a k k x x a a     , 1 2 1 1 1 2 | | , , , , n n k k n k k i n i k x x x k k x k      为非负整数， 则有 0,| | k a k   n 分析 1）由 2 2 2 0 (( ) ) 0 n n i j ij i j A x x o x y       ，即有 2 2 2 00 1 (( ) ) 0 n n i j ij i j A A o x x x y        ，取 2 2 x y   0， 则有 00 A  0 ，再考虑 2 2 2 10 01 2 ( ) (( ) ) 0 n n i j ij i j A x A y A x x o x y         1 2 2 2 10 01 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (( ) ) 0 ( ) n i j n ij i j x y x x A A o x y x y x y x y A              可取 y kx  ，取极限可有 10 01 2 2 0, 1 1 1 k A A k k k       ，故有 10 01 A   A 0 设有： 2 2 2 1 (( ) ) 0 n n i j i j ij ij i j k i j k A x y x y o x y A          ，引入 y  x 则有： 2 2 1 ((1 ) ) 0 i j n n j j i j n ij ij i j k i j k A x   x A o k x            即有： 2 2 1 ((1 ) ) 0 n n j j i j k n k ij ij i j k i j k A x   A o k x             ，取 x  0 则有： ,0 0 1 1,1 , 0 0, 0 , , , 0 k j j k k ij k j j i j k j k k A A A A A                                   故有 ,0 1,1 1 0, 1 1 1 1 2 2 0 1 1 ( 1) k k k k k k A A k k A                          系数矩阵为范德蒙行列式，故有 ,0 1,1 0, 0 Ak k k     A  A 2）考虑高维情形

教案:向量值映照的无限小增量公式 ∑4.…x+0(x2+…+x)=0(p∈N 则有4-+∑A,x…x+0(x2+…+x2)2)=0,(P∈N x1= 引入 (*) .日 0+∑4.(2…)0-+0)=0 取6→>0∈武则有A0=0 由此可有 ax)+∑4 +x2)2)=0 引入()有:(4+…+4)9+∑4…(…)0-+()=0 →(40M+…+4)+∑4(…2)++0-)=0 取→0∈R则有A1A+…+404=0,亦即:[4…4] 可有A0 A.1=0 设有:∑4,x…x+ A+()=0 引入()有:∑4(对…1)+∑4(种…有)0++0()=0 可有∑4(2…2)=0 k+-+k,=q 考虑 :=0,Vkn=0,1…,q 第3页共6页

教案：向量值映照的无限小增量公式 第 3 页 共 6 页 1 1 1 2 2 2 , , 1 0 (( ) ) 0, ( ) n n n p p k k k k n n k k A x x o x p x          则有 1 1 1 2 2 2 0, ,0 , , 1 1 (( ) ) 0, ( ) n n n p p k k k n k k n k A A x x o x p x           引入 1 1 * n n x x            ——（ ）   1 1 1 1 0, ,0 , , 1 1 ( ) 0 n n n n p k k k k p k k n k k A A o               取   0 则有 A0, ,0 =0 由此可有：   1 1 1 2 2 2 1,0, ,0 1 0, ,0,1 , , 1 2 (( ) ) 0 n n n p p k k k k n k k A x A x A n n x x o x x            引入（*）有：     1 1 1 1 1,0, ,0 1 0, ,0,1 , , 1 2 ( ) 0 n n n n p k k k k p k k k n n k A A A o                       1 1 1 1 1 1,0, ,0 1 0, ,0,1 , , 1 1 2 ( ) 0 n n n n n n p k k k k p k k k k A A A o                     取   0 则有 1,0, ,0 1 0, ,0,1 0 A A      n ，亦即：   1,0, ,0 1 0, ,0,1 , , 0 n A A              可有 1,0, ,0 0, ,0,1 A A    0 设有：   1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) 0 n n n n n n n k k k k k k p k k k n k q k k k n q A x A x o x x x x             引入 （*） 有：     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 0 n n n n n n n k k k k q p k k k k q k p k k n k k k q A A o        n               可有   1 1 1 1 0 n n n k k k q k Ak k n        考虑 1 1 1 1, 1 1 0 0 1 1 0 n n n n n n n n n n q p q k k k k q k k k k k k k n n k k A C    n                      1 1 1 1 1 1 1 1 0, 0,1, , n n n n k k k k k k n q n k A   k q             

教案:向量值映照的无限小增量公式 ∑4,1…2 0\k+-+An-2=g-k, -ka-l 以此类推至二次式,可得所有系数均为零 AA2=0,按分析1)即得 ③多维函数多项式逼近的实际获得方法 §3.1乘积函数的多项式逼近 如有 ()+4+(+y+)+(+) )=B+(Ax+(1x++)+(+y) 则有 8()+4+(++ +(Bx+B1)+(2+B0y+B)+o(=+y) 4B+[(4B0+B14)x+(B41+4Bn)y +[(4B30+B43+4B1)x2+(4B2+B42+41B)y2+(4Bn+Bn4)xy] P+g-l 相关分析中,利用关系式:xy9=o(x2+y1)2,vg∈N 分析:考虑到 xI yo ≤(x2+y y §32除法函数的多项式逼近 第4页共6页

教案：向量值映照的无限小增量公式 第 4 页 共 6 页 1 2 1 1 2, 1, 1 1 2 1 1 1 0 2 0 n n n n n n n n n n q k k k k k k k k k k n k q k k A   n                          以此类推至二次式，可得所有系数均为零。   1 2 1 1 2 2 1 3 1 2 + 0 n n k k k q k k k k k k A           ，按分析 1）即得 ③ 多维函数多项式逼近的实际获得方法 §3.1 乘积函数的多项式逼近 如有：                 2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 , , f x y A A x A y A x A y A xy o x y g x y B B x B y B x B y B xy o x y                                   则有：                    2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 0 0 0 10 0 10 0 01 0 01 , f g x y A A x A y A x A y A xy o x y B B x B y B x B y B xy o x y A B A B B A x B A A B y                                                           2 2 0 20 0 20 10 10 0 02 0 02 01 01 10 01 10 01 2 2 2 A B B A A B x A B B A A B y A B B A xy o x y                     相关分析中，利用关系式：   1 2 2 2 p q p q x y o x y           ，  p q, 分析：考虑到           1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p q p q p q p q x y x y x y x y x y x y x y            §3.2 除法函数的多项式逼近

教案:向量值映照的无限小增量公式 4+(4x+4)+(4x+4y+4)+{(y2+y +(4x+(1++)+( +(4+4(4++4)(+y (Box+BoL)+(Box+Bay2+Bu-xv)+ol(x'+y2 B1+ Bo +(4+)(4+y+4可)+(+y B[1+0(x,y) 面:[+0(x)=1512(xy)+((xy) §3.3复合函数的多项式逼近 (x)=(4…+40)(4x++4)+(F+y2 e()=C+∑C=2+0(=2) 则有 e((x)=c+(4+4)+(42+4y+4)+(F+y 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第1课 第2课时: 4.讲述特点及追求效果 令多维函数无限小增量公式的获得基于单参数直线化的基本思想,由此利用一维函数的无限小增量公式 类同于一维函数的无限小增量公式,多维函数的无限小增量公式提供了利用多项式局部逼近原函数的 基本方法。当限定误差为二阶无穷小量,则对于二维函数局部逼近为二次曲线,而对三维函数局部逼 第5页共6页

教案：向量值映照的无限小增量公式 第 5 页 共 6 页                         2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 2 2 2 10 01 20 02 11 0 , 1 A A x A y A x A y A xy o x y f x y g B B x B y B x B y B xy o x y A A x A y A x A y A xy o x y B x B y B x B y B xy o x B                                                                 2 2 0 2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 0 : 1 , y B A A x A y A x A y A xy o x y B x y                                 而：        1 1 1 1 , 1 , , ! p k p k p x y x y o x y k k                     §3.3 复合函数的多项式逼近             2 2 2 2 2 10 01 20 02 11 0 1 , p k p k k f x y A x A y A x A y A xy o x y z C C z o z                         则有：            2 2 2 2 2 0 10 01 20 02 11 1 2 2 , + k p k k p f x y C C A x A y A x A y A xy o x y o x y                               3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时： 第 2 课时: 4. 讲述特点及追求效果  多维函数无限小增量公式的获得基于单参数直线化的基本思想，由此利用一维函数的无限小增量公式。  类同于一维函数的无限小增量公式，多维函数的无限小增量公式提供了利用多项式局部逼近原函数的 基本方法。当限定误差为二阶无穷小量，则对于二维函数局部逼近为二次曲线，而对三维函数局部逼

教案:向量值映照的无限小增量公式 近可为二次曲面,便于我们把握多维函数的局部取值特征。 5.教学方式 全程脱稿板书。 第6页共6页

教案：向量值映照的无限小增量公式 第 6 页 共 6 页 近可为二次曲面，便于我们把握多维函数的局部取值特征。 5. 教学方式 全程脱稿板书