微分流形上微分学—一流形上的微分运算一外微分与里积 复旦力学谢锡麟 16年4月21日 知识要素 .1外微分运算 定义1.1(外微分运算).对Vφ更∈A(TM),可定义以下外微分运算 d(x)=d(重1dr ∧ nb"a) dzn 1A…Adx∈+1(rM) 性质1.1(外微分运算的基本性质).外微分运算具有如下基本性质 1.线性性:对V更,亚∈(TM),a,B∈R,有 Poincare性:对更∈A(TM),有 d=d(d)=0 反导性:对V重∈A(TM),业∈A°(TM),有 d(更∧业)=匝∧业+(-1)更∧d业 证明通过直接计算,可证明外微分运算的基本性质 线性性 (a+B) 更 Adx21A∧dx 0 7a(a1t+B14r)dr3Adr2A…∧dr dxd2A…Ad+2n=+ sadra…Ad d更+Bdv
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的微分运算 —外微分与里积 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 外微分运算 定义 1.1 (外微分运算). 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 可定义以下外微分运算: dΦ(x) = d ( 1 r! Φi1···ir dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) (x) , d ( 1 r! Φi1···ir ) ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∈ Λ r+1(TM). 性质 1.1 (外微分运算的基本性质). 外微分运算具有如下基本性质. 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ Λ r (TM), ∀ α, β ∈ R, 有 d(αΦ + βΨ) = αdΦ + βdΨ ∈ ∧r+1(TM); 2. Poincare 性: 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 有 d 2Φ = d(dΦ) = 0; 3. 反导性: 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), Ψ ∈ Λ s (TM), 有 d(Φ ∧ Ψ) = dΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ dΨ. 证明 通过直接计算, 可证明外微分运算的基本性质. 1. 线性性: d(αΦ + βΨ) = d ( α r! Φi1···ir + β r! Ψi1···ir ) ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ∂ ∂xs (αΦi1···ir + βΨi1···ir ) dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = α r! ∂Φi1···ir ∂xs dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir + β r! ∂Ψi1···ir ∂xs dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = αdΦ + βdΨ; 1
微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里积 谢锡麟 2. Poincare性 d=1()广山A…A, 故有 t(a)dx2∧dar3Adr21∧…Adr2=0 此处考虑到ax2(a)关于指标t和8的对称性,以及 dxt A dx关于指标t和8的反 对称性 3.反导性 d(A)=d/1 重1…1nd21A…^dr2Adr31A…Adr3 rsax(11-)(x)dn2AdA…dn2Adny2A…Adx [am购%X测(2)1aAdA…Adr+Ad 1「 dr2∧drA…AdrA(vn-,dmA…Ady +(-1)(一重1 idr2A…Adx2)A 1n;y(a)dr∧dr1∧ ∧ dna =d∧业+(-1)更Ad 定理12(外微分的内蕴形式).对V更∈A(TM),有 d中=(r+1)a(V⑧重) 证明考虑到 Christoffel符号关于协变指标的对称性,可有 d=Os() drsa dz2A……Ad4 1/0 Oars(a)-lsi pt rs,重1-xt)dx3Adr2A…Adx2r 1 V。重1…ida3Adx2A…∧da (r+1) rl-Vsir.i.o(dxs dr.8 dxr) (r+1)a(V重) 12里积运算 定义12(里积运算( Interior product).里积运算i更定义为 证:(Rm)更口证更∈-1(m), 此处 in更( )更(u,℃2,…,Ur)∈R,v2,……,Ur∈Rn
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 2. Poincare 性: dΦ = 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir , 故有 d 2Φ = 1 r! ∂ 2Φi1···ir ∂xt∂xs (x)dx t ∧ dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 0. 此处考虑到 ∂ 2Φi1···ir ∂xt∂xs (x) 关于指标 t 和 s 的对称性, 以及 dx t ∧ dx s 关于指标 t 和 s 的反 对称性. 3. 反导性: d(Φ ∧ Ψ) = d ( 1 r!s! Φi1···irΨj1···js dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) = 1 r!s! ∂ ∂xt (Φi1···irΨj1···js ) (x)dx t ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js = 1 r!s! [ ∂Φi1···ir ∂xt (x)Ψj1···js + ∂Ψj1···js ∂xt (x)Φi1···ir ] dx t ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js = 1 r! [ ∂Φi1···ir ∂xt (x)dx t ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ] ∧ ( 1 s! Ψj1···js dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) + (−1)r ( 1 r! Φi1···ir dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) ∧ 1 s! [ ∂Ψj1···js ∂xt (x)dx t ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ] = dΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ dΨ. 定理 1.2 (外微分的内蕴形式). 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 有 dΦ = (r + 1)A (∇ ⊗ Φ). 证明 考虑到 Christoffel 符号关于协变指标的对称性, 可有 dΦ = 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ( ∂Φi1···ir ∂xs (x) − Γ t si1 Φti2···ir − · · · Γ t sir Φi1···ir−1t ) dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ∇sΦi1···ir dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = (r + 1)! r! ∇sΦi1···irA (dx s ⊗ dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) = (r + 1)A (∇ ⊗ Φ). 1.2 里积运算 定义 1.2 (里积运算 (Interior product)). 里积运算 iuΦ 定义为 iuΦ : T r (R m) ∋ Φ 7→ iuΦ ∈ T r−1 (R m), 此处 iuΦ(v2, · · · , vr) , Φ(u, v2, · · · , vr) ∈ R, ∀ v2, · · · , vr ∈ R m. 2
微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里 谢锡麟 性质13(里积运算的基本性质1).里积运算的基本性质可归纳如下 1.i(a更+y)=an更+Bi业,Ⅴa,B∈R,V重,业∈(Rm); 证明可基于里积运算的定义,证明其基本性质1 1.根据定义,有 a更+厘)(v2,…,wn)全(a重+)u,U2,…,v) a(u,U2,…,Ur)+By(t, =(ain更+Bin重)(v2,…,Ur), 即有i4(a+)=ain更+Bi 2.根据定义,有 )全更(au+B =a更(u,v2,……,U)+匝更(v,U2,…,vr) =(aa更+Bin更)(v2,……,Ur), 即有ia+Bn=ai更+Bi更,亦即有 aiu+Bi 至此证毕 性质1.4(里积运算的基本性质2) 1.in(0A…A,)=∑(-1)+1(n,01A…A62A…An 此处aO2=02(u),VO1,…,Or∈T*M,u∈TM,其中θ1A…A1∧……∧θ,表示在作 用过程中去掉带圈的项 2.反导性:对V更∈A(TM),Y∈A(TM),有 u(更∧业)=i更∧业+(-1)更∧a业 证明可基于里积运算的定义以及基本性质1,证明其基本性质2
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 性质 1.3 (里积运算的基本性质 1). 里积运算的基本性质可归纳如下. 1. iu(αΦ + βΨ) = αiuΦ + βiuΨ, ∀ α, β ∈ R, ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m); 2. iαu+βv = αiu + βiv. 证明 可基于里积运算的定义, 证明其基本性质 1. 1. 根据定义, 有 iu(αΦ + βΨ)(v2, · · · , vr) , (αΦ + βΨ)(u, v2, · · · , vr) = αΦ(u, v2, · · · , vr) + βΨ(u, v2, · · · , vr) = (αiuΦ + βiuΨ)(v2, · · · , vr), 即有 iu(αΦ + βΨ) = αiuΦ + βiuΨ. 2. 根据定义, 有 iαu+βvΦ(v2, · · · , vr) , Φ(αu + βv, v2, · · · , vr) = αΦ(u, v2, · · · , vr) + βΦ(v, v2, · · · , vr) = (αiuΦ + βivΦ)(v2, · · · , vr), 即有 iαu+βvΦ = αiuΦ + βivΦ, 亦即有 iαu+βv = αiu + βiv. 至此证毕. 性质 1.4 (里积运算的基本性质 2). 1. iu(θ1 ∧ · · · ∧ θr) = ∑r i=1 (−1)i+1(iuθi)θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr 此处 iuθi = θi(u), ∀ θ1, · · · , θr ∈ T ∗M, u ∈ TM, 其中 θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr 表示在作 用过程中去掉带圈的项. 2. 反导性: 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), ∀ Ψ ∈ Λ s (TM), 有 iu(Φ ∧ Ψ) = iuΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ iuΨ. 证明 可基于里积运算的定义以及基本性质 1, 证明其基本性质 2. 3
微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里积 谢锡麟 1.根据定义,有 in(61A…∧6,)(v2,…,vn)≌61A…∧θr(u,v2,……,vr) e1(u)61(v2)…1(v a(u)62(v2) Bi (ur) (u)b(v2) 10 n)( 即有 in(01A…A0,)=∑(-1)+1(n)1∧…∧O1A…AO 2.基于性质(1),计算 1 重∧重) 1-x+1…d21A… a dar dr32A…Ady rIs 西1,y1-ind21A… a dxr adx1A…Adry2) n-∑ Adx+∑(-1y++iadr)d2A… a dzr a dxi A…AdA ∧dax 1… (-1)P+1(adr2)dx2A…Adr2A…∧d2 s1-dA…∧dr3)+(-1) "in dir ∧……∧da ∑(-1)+1( u.ra)d in更A∧业+(-1)更∧in重 定理1.5(外微分计算式).对Ⅴ重∈A(TM),有 p(u1,…:,x+1)=∑(-1)+u((u1,…,,…,ur+1) +∑(-1)+p(u,u,u …,ur+1) 1≤<j≤r+1
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 1. 根据定义, 有 iu(θ1 ∧ · · · ∧ θr)(v2, · · · , vr) , θ1 ∧ · · · ∧ θr(u, v2, · · · , vr) = θ1(u) θ1(v2) · · · θ1(vr) . . . . . . . . . θi(u) θi(v2) · · · θi(vr) . . . . . . . . . θr(u) θr(v2) · · · θr(vr) = ∑r i=1 (−1)i+1θi(u)(θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr)(v2, · · · , vr), 即有 iu(θ1 ∧ · · · ∧ θr) = ∑r i=1 (−1)i+1(iuθi)θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr. 2. 基于性质 (1), 计算 iu(Φ ∧ Ψ) = iu ( 1 r!s! Φi1···irΨj1···js dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) = 1 r!s! Φi1···irΨj1···js iu(dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) = 1 r!s! Φi1···irΨj1···js [∑r p=1 (−1)p+1(iudx ip )dx i1 ∧ · · · ∧ ◦ dx ip ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js + ∑s q=1 (−1)r+q+1(iudx jq )dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ ◦ dx jq ∧ · · · ∧ dx js ] = 1 r! Φi1···ir ∑r p=1 (−1)p+1(iudx ip )dx i1 ∧ · · · ∧ ◦ dx ip ∧ · · · ∧ dx ir ∧ ( 1 s! Ψj1···js dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) + (−1)r ( 1 r! Φi1···ir dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) ∧ 1 s! Ψj1···js ∑s q=1 (−1)q+1(iudx jq )dx j1 ∧ · · · ∧ ◦ dx jq ∧ · · · ∧ dx js = iuΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ iuΨ. 定理 1.5 (外微分计算式). 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 有 dΦ(u1, · · · ,ur+1) = ∑r+1 i=1 (−1)i+1ui(Φ(u1, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1)) + ∑ 16i<j6r+1 (−1)i+jΦ([ui ,uj ],u1, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1). 4
微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里积 谢锡麟 证明利用数学归纳法,设对r-1阶反对称张量成立关系式,以下考虑更∈A(TM).计算 ,u+1)-(doin重)(u2,…,tr+1) 1 L Ur+l )-∑更2,…,u,l,…,u+) 1)2u 更 ∑(-1)+1n(u,1,m…, 1(4p( 1)∑ 1,ui,u2 Li, uil, u1 2≤i<j≤r+1 +∑(1)+(u11…,…,,…,+) 考虑w∈A(TM),则有 d(X,Y)=X(u(Y)-Y(u(X)-w(X,Y]),VX,Ye6(TM 此式亦可通过直接计算获得,如下所 dw(X,Y)=d(widz)= dw (a)dr Adr(X,Y) dw arj()(dao dr'-dxr's da)(x, r) dw ((xjY-xr) 等式右端为 X(w())-Y(w(X)-w(X,Y =x(u r)-Y(w: x)-u(xar Yi aD) ax arl 0X2
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 证明 利用数学归纳法, 设对 r − 1 阶反对称张量成立关系式, 以下考虑 Φ ∈ Λ r (TM). 计算 dΦ(u1, · · · ,ur+1) = (iu1 ◦ dΦ(u2, · · · ,ur+1) = Lu1Φ(u2, · · · ,ur+1) − (d ◦ iu1Φ)(u2, · · · ,ur+1) = u1(Φ(u2, · · · ,ur+1)) − ∑r+1 i=2 Φ(u2, · · · , [u1,ui ], · · · ,ur+1) − ∑r+1 i=2 (−1)iui ( iu1Φ(u2, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1) ) − ∑ 26i<j6r+1 (−1)i+j iu1Φ ( [ui ,uj ],u2, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1) = u1(Φ(u2, · · · ,ur+1)) +∑r+1 i=2 (−1)i+1ui ( Φ(u1, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1) ) + ∑r+1 i=2 (−1)i+1Φ ( [u1,ui ],u2, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1) + ∑ 26i<j6r+1 (−1)i+jΦ ( [ui ,uj ],u1, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1) = ∑r+1 i=1 (−1)i+1ui ( Φ ( u1, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1)) + ∑ 16i<j6r+1 (−1)i+jΦ ( [ui ,uj ],u1, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1) . 考虑 ω ∈ Λ 1 (TM), 则有 dω(X,Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X,Y ]), ∀ X,Y ∈ C ∞(TM). 此式亦可通过直接计算获得, 如下所示: dω(X,Y ) = d(ωidx i ) = ∂ωi ∂xj (x)dx j ∧ dx i (X,Y ) = ∂ωi ∂xj (x)(dx j ⊗ dx i − dx i ⊗ dx j )(X,Y ) = ∂ωi ∂xj (x)(XjY i − XiY j ). 等式右端为 X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X,Y ]) = X(ωiY i ) − Y (ωiXi ) − ω ([Xi ∂ ∂xi , Y j ∂ ∂xj ]) = Xk ∂ ∂xk (ωiY i )(x) − Y k ∂ ∂xk (ωiXi )(x) − ω ( Xi ∂Y j ∂xi (x) ∂ ∂xj − Y j ∂Xi ∂xj (x) ∂ ∂xi ) = Xk ( ∂ωi ∂xk Y i + ωi ∂Y i ∂xk ) (x) − Y k ( ∂ωi ∂xk Xi + ωi ∂Xi ∂xk ) (x) − ωi ( Xj ∂Y i ∂xj − Y j ∂Xi ∂xj ) = ∂ωi ∂xk (x)(XkY i − XiY k ). 5
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