高维微分学—逆映照定理 复旦力学谢锡麟 2016年3月15日 1知识要素 1.1由压缩映照定理获得逆映照定理 定理1.1(逆映照定理/微分同胚局部存在性定理).设有映照 f(x):R"Dx3→f(x)∈R 满足 ∫(x)∈6(Dx;Rm), 2.3x∈Dx使得Df(x0)∈Rm×m可逆 则有 彐U(0)cDx,V(∫(ao)c∫(Dx),使得∫(x)在U(xo)和V(∫(xo)上为双射,即 彐f-1(y)满足 f-1(y):V(f(∞o))y→f1(y)∈D2 2.f-1(y)∈61(v(f(xo);Rm) 证明直接利用有界闭集上的压缩映照定理 首先,作B0(xo)cDx,Ba0(v)cRm以及辅助映照 vy(a):B(0)3的(x)=x+(Df)-(xo)(y-f(m)∈R",Vy∈Bu(y) 如果对vy∈Bn(30),彐my∈B(mo),满足vy(xy)=cy等价于 现设定v(ax)的不动点唯一存在,则可作 my): Bo(yo)3yH,n(y)ER 满足 m(y)∈BM(x0) y=f(n(y),Vy∈B(y) 藉此作 {∈Bo0(x0o)f()∈B0(3o)} 具有如下性质
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——逆映照定理 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 由压缩映照定理获得逆映照定理 定理 1.1 (逆映照定理/微分同胚局部存在性定理). 设有映照 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R m 满足: 1. f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 2. ∃ x0 ∈ Dx 使得 Df(x0) ∈ R m×m 可逆, 则有 1. ∃U(x0) ⊂ Dx, V (f(x0)) ⊂ f(Dx), 使得 f(x) 在 U(x0) 和 V (f(x0)) 上为双射, 即 ∃ f −1 (y) 满足: f −1 (y) : V (f(x0)) ∋ y 7→ f −1 (y) ∈ Dx; 2. f −1 (y) ∈ C 1 (V (f(x0)); R m). 证明 直接利用有界闭集上的压缩映照定理. 首先, 作 Bλ0 (x0) ⊂ Dx , Bµ0 (y0 ) ⊂ R m 以及辅助映照 ψy (x) : Bλ0 (x0) ∋ x 7→ ψy (x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)) ∈ R m, ∀ y ∈ Bµ0 (y0 ). 如果对 ∀ y ∈ Bµ0 (y0 ), ∃ xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 ψy (xy) = xy 等价于 y = f(xy). 现设定 ψy (x) 的不动点唯一存在, 则可作 η(y) : Bµ0 (y0 ) ∋ y 7→ η(y) ∈ R m, 满足 η(y) ∈ Bλ0 (x0) y = f(η(y)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0 ) . 藉此作 U , {x ∈ Bλ0 (x0)|f(x) ∈ Bµ0 (y0 )} , 具有如下性质. 1
高维微分学—逆映照定理 谢锡麟 1.U为开集.考虑到∫(x)在B30(xo)上的连续性,故对:c∈U,Ve>0,彐6>0.,成立: f(Bs(x)CB2(f(x)cBn(30),即有Bs(a)cU 2.f(x)在U上为单射.利用反证法,设 c1,x2∈U,1≠x2, f(x1)=f()∈B( 记v=∫(x1)=∫(x2)则按上述求解的唯一性,彐!xy∈BM0(xo),满足y=f(ay),而有 x1=x2=y,同假设矛盾 3.∫(U)=B0(y0).显然f(U)CB0(0).考虑Wv∈B(v0),则彐!ry∈BA0(x0).满足 f(cy)=y∈B0(30).由此有B2(3o)cf(U) 综上,∫(x)实现B(xo)U同f(U)=Bl0(yo)之间的双射,故存在逆映照.又由对vy∈ B4(y0)有y=f(m(y),所以对vy∈B(v)有f1(y)=fl°fon(y)=n(y).因此有 f(y)=n(y),y∈B2() 以下基于压缩映照定理,证明不动点的唯一存在性 第一步,估计 lay,(a) (a)-lpu,(=o)L=hp(g, x)-a(yo, zo) ≤v(y,x)-v(30,)gm+|vp(3o,)-v(30,2o)1 ≤sup|D,v(o+62(y-30),c) rmxm·y-30lm e2∈(0,1) + sup Dr(yo, 2o +01(a- ao))lgmxm. lae-aolem 此处 v(3,a)会v(x)=x+(Df)-1(m0)(y-f(a),y∈B10(y),x∈Bx(xo), Dual(y, a)=(Df)-(o), Dryl(y, a)=IRm-(Df)-(o)Df(a)=(Df) IDf(ao)-Df(a) 故 lv, (a)-aolkm <I(Df)-(ao)Rmxm Iy-yolRy +(Df)-(ao)Rmxm. Df(co)-Df(a). lac-olR 考虑到∫(x)∈61(D;Rm),故可缩小加到A1,使得 1 (Df)-(=ollgmxm. Df(=o)-Df(az)gmm <2 再缩小p0到p1,使得 l(Df)-(ao)IRmxm. ly-yol
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 逆映照定理 谢锡麟 1. U 为开集. 考虑到 f(x) 在 Bλ0 (x0) 上的连续性, 故对: x ∈ U, ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立: f(Bδε (x)) ⊂ Bε(f(x)) ⊂ Bµ0 (y0 ), 即有 Bδε (x) ⊂ U. 2. f(x) 在 U 上为单射. 利用反证法, 设 x1, x2 ∈ U , x1 ̸= x2, f(x1) = f(x2) ∈ Bµ(y0 ). 记 y = f(x1) = f(x2) 则按上述求解的唯一性, ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0), 满足 y = f(xy), 而有 x1 = x2 = xy, 同假设矛盾. 3. f(U) = Bµ0 (y0 ). 显然 f(U) ⊂ Bµ0 (y0 ). 考虑 ∀ y ∈ Bµ(y0 ), 则 ∃ !xy ∈ Bλ0 (x0). 满足 f(xy) = y ∈ Bµ0 (y0 ). 由此有 Bµ(y0 ) ⊂ f(U). 综上, f(x) 实现 Bµ0 (x0) ⊃ U 同 f(U) = Bµ0 (y0 ) 之间的双射, 故存在逆映照. 又由对 ∀ y ∈ Bµ(y0 ) 有 y = f(η(y)), 所以对 ∀ y ∈ Bµ(y0 ) 有 f −1 (y) = f −1 ◦ f ◦ η(y) = η(y). 因此有 f −1 (y) = η(y), ∀ y ∈ Bµ(y0 ). 以下基于压缩映照定理, 证明不动点的唯一存在性. 第一步, 估计 ψy (x) − x0 Rm = ψy (x) − ψy0 (x0) Rm = |ψ(y, x) − ψ(y0 , x0)|Rm 6 |ψ(y, x) − ψ(y0 , x)|Rm + |ψ(y0 , x) − ψ(y0 , x0)|Rm 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y0 + θ2(y − y0 ), x)|Rm×m · |y − y0 |Rm + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y0 , x0 + θ1(x − x0))|Rm×m · |x − x0|Rm , 此处 ψ(y, x) , ψy (x) = x + (Df) −1 (x0)(y − f(x)), ∀ y ∈ Bµ0 (y0 ), x ∈ Bλ0 (x0), Dyψ(y, x) = (Df) −1 (x0), Dxψ(y, x) = IRm − (Df) −1 (x0)Df(x) = (Df) −1 (x0) · [Df(x0) − Df(x)], 故 ψy (x) − x0 Rm 6 (Df) −1 (x0) Rm×m |y − y0 |Rm + (Df) −1 (x0) Rm×m · |Df(x0) − Df(x)|Rm×m · |x − x0|Rm . 考虑到 f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 故可缩小 λ0 到 λ1, 使得 (Df) −1 (x0) Rm×m · |Df(x0) − Df(x)|Rm×m < 1 2 . 再缩小 µ0 到 µ1, 使得 (Df) −1 (x0) Rm×m · |y − y0 |Rm < 1 2 λ1. 2
高维微分学—逆映照定理 谢锡麟 综上,有 p(a)-xolm<24+x-aoam<A,a∈B1(x0),y∈Ban(y) 即有v∈B(vo),有vy(Bx1(xo)cBx1(x)cBx1(xo) 第二步,估计压缩性,即 J,(a1)-vy (a2)IRm=lab(y, a1)-w(y, a2)lgm ≤sup|Dv(3,c1+61(x2-c1))kmxm·|x1-c2lgm e1∈(0,1 综上有:v(x)为BA1(xo)上的压缩映照,此处vy∈Bn1(v)故引!ay∈BA1(xo),满足 vy(cy)=cy∈B1( 故可作 n(y):B2(3)3y+m(y) Rm 满足 m(y)∈B1(30) y=fon(v),Vy∈Bn1(30) 以下证η(3)的连续性,即n(y)∈C(Bn1(30);Rm).估计 7(y+△y)-(y)km=|vy+△y((y+△y)-v((y)lgm =pv(y+△y,n(y+△y)-v(y,7(y)km ≤kp(y+△y,(y+△y)-(y,7(y+△y)lm+|v(v,n(y+△y))-v(y,n(y)m ≤sup|Dv(y+62△y,m(y+△y)mxm|△y/lm sup Dr b(y, n(y)+B(n(y+ Ay)-nly))Ikmxm n(y+Ay)-n(y)Igm (Df)-1(xo) n(y+△y)-m(y) 即有 7(y+△y)-m(y)am<2|(Df)-(xo)mxm△ym 所以 7(y)∈C(B1(30);R") 以下证 n(3y)∈6(Bn1(v0)Rm) 考虑 f(x)∈61(Dx;Rm)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 逆映照定理 谢锡麟 综上, 有 ψy (x) − x0 Rm < 1 2 λ1 + 1 2 |x − x0|Rm < λ1, ∀ x ∈ Bλ1 (x0), y ∈ Bµ1 (y0 ), 即有 ∀ y ∈ Bµ(y0 ), 有 ψy (Bλ1 (x0)) ⊂ Bλ1 (x0) ⊂ Bλ1 (x0). 第二步, 估计压缩性, 即 ψy (x1) − ψy (x2) Rm = |ψ(y, x1) − ψ(y, x2)|Rm 6 sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, x1 + θ1(x2 − x1))|Rm×m · |x1 − x2|Rm . < 1 2 |x1 − x2|Rm . 综上有: ψy (x) 为 Bλ1 (x0) 上的压缩映照, 此处 ∀ y ∈ Bµ1 (y0 ). 故 ∃ ! xy ∈ Bλ1 (x0), 满足 ψy (xy) = xy ∈ Bλ1 (x0). 故可作 η(y) : Bµ1 (y0 ) ∋ y 7→ η(y) = xy ∈ R m, 满足 η(y) ∈ Bµ1 (y0 ), y = f ◦ η(y), ∀ y ∈ Bµ1 (y0 ). 以下证 η(y) 的连续性, 即 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0 ); R m). 估计 |η(y + ∆y) − η(y)|Rm = ψy+∆y (η(y + ∆y)) − ψy (η(y)) Rm = |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|Rm 6 |ψ(y + ∆y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y + ∆y))|Rm + |ψ(y, η(y + ∆y)) − ψ(y, η(y))|Rm 6 sup θ2∈(0,1) |Dyψ(y + θ2∆y, η(y + ∆y))|Rm×m |∆y|Rm + sup θ1∈(0,1) |Dxψ(y, η(y) + θ1(η(y + ∆y) − η(y)))|Rm×m |η(y + ∆y) − η(y)|Rm < (Df) −1 (x0) Rm×m |∆y|Rm + 1 2 |η(y + ∆y) − η(y)|Rm , 即有 |η(y + ∆y) − η(y)|Rm < 2 (Df) −1 (x0) Rm×m |∆y|Rm , 所以 η(y) ∈ C(Bµ1 (y0 ); R m). 以下证 η(y) ∈ C 1 (Bµ1 (y0 ); R m), 考虑 f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 3
高维微分学—逆映照定理 谢锡麟 故有 )-f(r)= df(a) o(c|m),Vx∈D 现取 (y),vy∈B0(30), △=n(3+△y)-n(y), 则 △x=∫on(y+△y)-fm(y)=y+△y-y=△y, △y=Df(x)·(m(y+△y)-m(y)+o(m(y+△y)-n(y)lm) 此处要求: 3(Df)-1(x)∈Rmxm,x∈B1(xo) 由于彐Df(x0)∈Rmxm可逆,故在选定B0(x0)时,就可使得对vx∈Bn(xo),都有彐(Df)-1(x 由于 7(y+△y)-m(y)am<2|(Df)-(xo)lmxm14△ylm 所以 lo(m(y+△y)-m(y)2m) IRm o(m(y+△y)-m(y)lm)gm|(y+△y)-m(y)lg m(y+△y)-n(vy)h lo(m(y+△y)-m(y) y+△a ny) 2|(Df)-1(xo)lmxm→0 由于m(y)为Bx1(vo)上单射,故在△y≠0∈Rm时,m(y+△y)-m(y)∈Rm满足非接触性条 件 综上,有 n(y+△y)-m(y)=(Df)-(x)△y+o(△y),x=f-(y). 1.2由隐映照定理获得逆映照定理 定理12(逆映照定理/微分同胚局部存在性定理)·设有映照 ∫(x):R"Dx3x→f(m)∈R 满足 1.f(x)∈6(Dx;Rm), 2.3xo∈Dx使得Df(xo)∈Rmxm可逆, 则有
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 逆映照定理 谢锡麟 故有 f(x + ∆x) − f(x) = Df(x) · ∆x + o(|∆x|Rm), ∀ x ∈ Dx. 现取 x = η(y), ∀ y ∈ Bµ0 (y0 ), ∆x = η(y + ∆y) − η(y), 则 ∆x = f ◦ η(y + ∆y) − f ◦ η(y) = y + ∆y − y = ∆y, ∆y = Df(x) · (η(y + ∆y) − η(y)) + o(|η(y + ∆y) − η(y)|Rm). 此处要求: ∃ (Df) −1 (x) ∈ R m×m, ∀ x ∈ Bλ1 (x0). 由于 ∃ Df(x0) ∈ R m×m 可逆, 故在选定 Bµ0 (x0) 时, 就可使得对 ∀ x ∈ Bµ0 (x0), 都有 ∃ (Df) −1 (x). 由于 |η(y + ∆y) − η(y)|Rm < 2 (Df) −1 (x0) Rm×m |∆y|Rm , 所以 |o(|η(y + ∆y) − η(y)|Rm)|Rm |∆y|Rm = |o(|η(y + ∆y) − η(y)|Rm)|Rm |η(y + ∆y) − η(y)|Rm · |η(y + ∆y) − η(y)|Rm |∆y|Rm < |o(|η(y + ∆y) − η(y)|Rm)|Rm |η(y + ∆y) − η(y)|Rm · 2 (Df) −1 (x0) Rm×m → 0 (∆y → 0). 由于 η(y) 为 Bλ1 (y0 ) 上单射, 故在 ∆y ̸= 0 ∈ R m 时,η(y + ∆y) − η(y) ∈ R m 满足非接触性条 件. 综上, 有 η(y + ∆y) − η(y) = (Df) −1 (x)∆y + o(∆y), x = f −1 (y). 1.2 由隐映照定理获得逆映照定理 定理 1.2 (逆映照定理/微分同胚局部存在性定理). 设有映照 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R m 满足: 1. f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 2. ∃ x0 ∈ Dx 使得 Df(x0) ∈ R m×m 可逆, 则有 4
高维微分学—逆映照定理 谢锡麟 1.彐U(xo)cDx,(∫(xo)c∫(Dx),使得∫(x)在U(co)和V(f(co)上为双射,即 彐f-1(y)满足 f(y):V(∫(co)3y+f(y)∈Dx; 2. f(y)g(v(f(ao)): Rm) 证明利用隐映照定理,作 F(y,x):RmxD3{y,x}→F(y,a)全y-f(x)∈Rm, 由f(x)∈61(D;Rm),有F(y,x)∈61( Rx Dr;Rm).由于Df(x0)∈Rmxm可逆,有 DF(0,xo)=-Df(x0)∈Rmm可逆, 此处yo:=∫(xo)∈Rm.按隐映照定理,彐B4(yo)cRm,BA(xo)CDx,满足 vy∈B(3),3!xy∈BA(xo)满足F(y,y)=0∈R 由此可作n(y):B1(y0)3y++m(3y)∈Rm,满足 m(y)∈B)(xo);F(y,T(y)=0∈Rm, n(v)∈1(B2(vo):R") 作U{x∈Bx(xro)f(x)∈B1(yo)}CBx(xo),具有如下性质 1.U为开集.考虑Ⅴx∈U,则f(x)∈B1(30),由f(x)在点x连续,则ve>0,彐6>0,满足 f(B5(c)∈B2(∫(x),自然可使B(f(x)cB(30),B(x)CBx(x0),故有B6(x)cU, 即证得U为开集 2.f(x)在U上为单射.设有x,∈U,满足∫(x)=∫(x)∈B(y),则按隐映照定理,可得 3.∫(U)=B(3).显然f(U)CB1(30),则只需证明B(3o)cf(U),即y∈B1(30),彐y∈ U,满足∫(xn)=y.按隐映照定理,彐η(y)∈Bx(xo),使得∫(η(y)=3.考虑到 y∈B4(y0),则n(y)∈U 综上,有f(x)实现U(BA(xo)同f(U)=B(30)之间的双射.因此彐f(y) f-1(y):B(y0)3y→f1(y)∈Rm, 满足 (y)∈U, fof-(y)=y,vy∈B1(y0) 考虑到f。m(y)=y,Vy∈B2(yo),所以fo∫om(y)=f1y),Vy∈B1(v).因此在B(v 上,有n=f-1,由m(3)∈1(B4(y0Rm),则有f1gy)∈6(f(U)Rm) 综上所述,有f(x)实现U同∫(U)之间的双射,U,f(U)均为开集,而且∫(x)∈1(U;Rm),f1(y)∈ 61(f(U):Rm,即∫(x)为U同f(U)之间的6微分同胚,记作f(x)∈61(U/;f(U)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 逆映照定理 谢锡麟 1. ∃U(x0) ⊂ Dx, V (f(x0)) ⊂ f(Dx), 使得 f(x) 在 U(x0) 和 V (f(x0)) 上为双射, 即 ∃ f −1 (y) 满足: f −1 (y) : V (f(x0)) ∋ y 7→ f −1 (y) ∈ Dx; 2. f −1 (y) ∈ C 1 (V (f(x0)); R m). 证明 利用隐映照定理, 作 F(y, x) : R m × Dx ∋ {y, x} 7→ F(y, x) , y − f(x) ∈ R m, 由 f(x) ∈ C 1 (Dx; R m), 有 F(y, x) ∈ C 1 (R m × Dx; R m). 由于 Df(x0) ∈ R m×m 可逆, 有 DxF(y0 , x0) = −Df(x0) ∈ R m×m可逆, 此处 y0 := f(x0) ∈ R m. 按隐映照定理, ∃ Bµ(y0 ) ⊂ R m, Bλ(x0) ⊂ Dx, 满足 ∀ y ∈ Bµ(y0 ), ∃ ! xy ∈ Bλ(x0) 满足F(y, xy) = 0 ∈ R m. 由此可作 η(y) : Bµ(y0 ) ∋ y 7→ η(y) ∈ R m, 满足 η(y) ∈ Bλ(x0); F(y, η(y)) = 0 ∈ R m, η(y) ∈ C 1 (Bµ(y0 ); R m). 作 U , {x ∈ Bλ(x0)|f(x) ∈ Bµ(y0 )} ⊂ Bλ(x0), 具有如下性质. 1. U 为开集. 考虑 ∀ x ∈ U, 则 f(x) ∈ Bµ(y0 ), 由 f(x) 在点 x 连续, 则 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 满足 f(Bδε (x)) ∈ Bε(f(x)), 自然可使 Bε(f(x)) ⊂ Bµ(y0 ), Bδε (x) ⊂ Bλ(x0), 故有 Bδε (x) ⊂ U, 即证得 U 为开集. 2. f(x) 在 U 上为单射. 设有 xe, xb ∈ U, 满足 f(xe) = f(xb) ∈ Bµ(y0 ), 则按隐映照定理, 可得 xe = xb. 3. f(U) = Bµ(y0 ). 显然 f(U) ⊂ Bµ(y0 ), 则只需证明 Bµ(y0 ) ⊂ f(U), 即 ∀ y ∈ Bµ(y0 ), ∃ xy ∈ U , 满足 f(xy) = y. 按隐映照定理, ∃ η(y) ∈ Bλ(x0) , 使得 f(η(y)) = y. 考虑到 y ∈ Bµ(y0 ), 则 η(y) ∈ U. 综上, 有 f(x) 实现 U(Bλ(x0)) 同 f(U) = Bµ(y0 ) 之间的双射. 因此 ∃ f −1 (y) f −1 (y) : Bµ(y0 ) ∋ y 7→ f −1 (y) ∈ R m, 满足 f −1 (y) ∈ U, f ◦ f −1 (y) = y, ∀ y ∈ Bµ(y0 ). 考虑到 f ◦η(y) = y, ∀ y ∈ Bµ(y0 ), 所以 f −1 ◦f ◦η(y) = f −1 (y), ∀ y ∈ Bµ(y0 ). 因此在 Bµ(y0 ) 上, 有 η = f −1 , 由 η(y) ∈ C 1 (Bµ(y0 ); R m), 则有 f −1 (y) ∈ C 1 (f(U); R m). 综上所述, 有 f(x) 实现 U 同 f(U) 之间的双射, U, f(U) 均为开集, 而且 f(x) ∈ C 1 (U; R m), f −1 (y) ∈ C 1 (f(U); R m), 即 f(x) 为 U 同 f(U) 之间的 C 1 微分同胚, 记作 f(x) ∈ C 1 (U; f(U)). 5
高维微分学—逆映照定理 谢锡麟 13微分同胚 2应用事例 3建立路径
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 逆映照定理 谢锡麟 1.3 微分同胚 2 应用事例 3 建立路径 6