(後只人季 、基与维数 定义43线性空间V中向量组E1,E2,…,En,如 果它满足条件: (1)E1,E2,…,En线性无关; (2)线性空间V中任一向量a都可经 E1,E2,En线性表示 则称此向量组E1,E2,…,E1是线性空间V的 个基. 线性空间的基不是唯一的,但每个基所含向 量的个数是唯一的
一、基与维数
(後只人季 例1在R中,向量组 0 0 0 0 000:0 0 显然e1,e2,…,n是线性无关的,且R中任一个向 量a=[a1,a2,…,.an]都可以表示为 C=c1e1+c2e2+…+an 故e1,e2,…,en是R的一个基,此基通常称为常用 基。并且 dim rnt=n
(後只人季 定义4.5设向量组e1,e2,…,En是n维线性空 间V的一个基,a是V中任意一个向量,则有 =x1E1+x2E2+…+xnEn 称数组x1,x2…,xn为向量a在基 E1,E2,…,En2下的坐标,记为[x1,x2,…,xn
(後只人季 任意一个向量a在一个确定的基下的坐标是唯一的 若向量a在基E1,E2,…,t2n下有两个不同的坐标即有 C=x1E1+x2E2+…+xnEn 和 C=y1E1+y2E2+…+ynEn 上下两式相减得 (x1-y1)E1+(x2-y2)E2+…+(xn-yn)En=0 由于基e1,E2,…,En是线性无关的,故必须有 x1=y1,x2=y2,…,xn=y 因此坐标是唯一的