复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）2.5 常用的特殊矩阵

(後只人季 25常用的特殊矩阵

2.5 常用的特殊矩阵

()後大手 对角阵与准对角阵 对角矩阵:记为diag[d11,d22…,dnl 纯量矩阵:主对角线元素都相等的对角阵 对角阵性质: A=diag[a1,a2,…,an],B=diag[b1,b2,…,bn (1)|A|=a1a2….an (2)A±B= diala1±b1,a2±b2,…,.an±bn (3)kA=diag[ka1, ka2,, kan (4)AB= BA=diag[alb1, a2b2,,anbn (5)A m=diag[al, a2 m (6)若A可逆,则A-1=diag[a1,a21…,an1

对角阵与准对角阵 纯量矩阵：主对角线元素都相等的对角阵

(後只人季 (7)设n阶矩阵C,分块为 C ββ∶β 1,2 则 β1 AC=2P2 CA=[a11,a2a2,…anan nB

(後只人季 定义211:设分块矩阵 0 其中A4,42,…A都是方阵,则A是准对角阵, 记为diag[A1,A2,…,A5]

1 2 0 0 s A A A A       =       1 2 , , , A A A s

(後只人季 准对角阵性质: A=diag[A1,A2,…,As,B=diag[B1,B2,…,Bs], (1)A±B=diag[A1士B1,A2士B2,…,As±Bs] (2)KA=diag[kA1, kA2,.,kAs] (3)AB=diag[A1B1,A2 B2,.,AsBsI (4)BA= diag[B1A1, B2A2,,BSAsI (5)A=diag[A,A2,…,A3 (6)若每个分块可逆,则A-1= diala1A21,…,As1

(後只人季 三角矩阵 上三角矩阵 11 12 T 22 下三角矩阵 0 21 0 严格上(下)三角矩阵:主对角线元素均为0

三角矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵 严格上（下）三角矩阵：主对角线元素均为0 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn t t t t t T t       =       11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn t t t T t t t       =      

(後只人季 上三角矩阵性质:设A、B为上三角矩阵: B 0 (1)A±B,kA也是上三角矩阵 a,±b 11 十 A±B= 22 22 a.士b

11 11 22 22 * * , 0 0 nn nn a b a b A B a b             = =             11 11 22 22 * 0 nn nn a b a b A B a b          =       

(後只人季 (1)A±B,kA也是上三角矩阵 kan 4= 0 ka (2)AB也是上三角,并且 1111 AB 22-22 0 nn

11 22 * 0 nn ka ka kA ka       =       11 11 22 22 * 0 nn nn a b a b AB a b       =      

(後只人季 (3 det a n1122 nn,可逆的充要条件,主对角 线元素不为0,并且A1也是上三角矩阵, 22 nn

1 11 1 1 22 1 * 0 nn a a A a − − − −       =        

()後大手 对称矩阵与反对称矩阵 定义213: 设A=anl1,若an=mn(,j=12,…,n)或者 A=A则称A是对称矩阵,若A的元素都是实数,则称 实对称矩阵。 若AT=-4或者an=-an(,j=1,2,…,n) 则称为反对称矩阵(或斜对称矩阵)

对称矩阵与反对称矩阵 T A A = ( , 1,2, , ) i j n = ij ji a a = T A A = − ij ji a a = − ( , 1,2, , ) i j n =