(後只人季 13行列式的基本性质
1.3 行列式的基本性质
(後只人季 记 12 n 122 ain 12u22 n2 n2 n 行列式f称为行列式A的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式的值相等
性质1 行列式与它的转置行列式的值相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a nn a a a 22 11 A = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T A nn a a a 22 11 T A A
(後只人季 证明记D=det(n转置行列式 12 n 21 22 D n 2 即bn=an(,=12,…,n按定义 D=∑(-1ybnb2…bm,=E(1)anan2…anm 说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = 即 bi j = aj i(i, j = 1,2, ,n), 按定义 = (− ) = (− ) p p p n t p p np T t n n D b1 b2 b α 1 α 2 α 1 2 1 2 1 1 = D 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
()後大手 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 证明略(ps对换改变奇偶性 例如 75175715 662=-358,662=-66 358662358538 推论1如果行列式有两行(列)完全相同,则 此行列式为零 证明互换相同的两行,有4=-4
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 例如 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8 证明 略（ps 对换改变奇偶性） 推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 A = − A A = 0
()後大手 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 12 In 11 12 kai kai 人a k In 2 看看垂 n2 n2 n 证明略(ps行列式展开项每项都乘以了k) 推论2若行列式中有一行(列)的元素全为零 则行列式的值等于零
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 = 推论2 若行列式中有一行（列）的元素全为零， 则行列式的值等于零. 证明 略（ps 行列式展开项每项都乘以了k）
(後只人季 性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零 证明 In 11 12 In 2 k 0 kai ka12…kamn 2 n 1 2 n2 n1
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0
()後大手 性质5行列式具有分行(列)相加性 11 12 1:+a li In 21 22 十 2n 12 …+ 11 1i 21 21 十 证明略(ps等式两边行列式展开项相等)
性质5 行列式具有分行（列）相加性 n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a A ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + = n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 证明 略（ps 等式两边行列式展开项相等）
()後大手 性质6把行列式的某一列(行)的元素加上另 列(行)对应元素的k倍,行列式的值不变 (a1+ka1) 21 (a2+ka2;) 2j (a:+ka. 证明略(ps性质4+性质5)
性质6 把行列式的某一列（行）的元素加上另 一列（行）对应元素的k倍，行列式的值不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n a a ka a a a a ka a a a a ka a a ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + k 证明 略（ps 性质4+性质5）
()後大手 例1,2,3略 例4计算n阶行列式A4=bba…b bbb 解将第2,3,…,n列都加到第一列得 a+n-1b b b b a+(n-1 A a +n b a+(n-1 b
例4 计算 n 阶行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b A = 解 ( ) ( ) ( ) a (n )b b b a a n b b a b a n b a b b a n b b b b A 1 1 1 1 + − + − + − + − = 将第 2,3, ,n 列都加到第一列得 例1,2,3 略
(後只人季 b b b 性质+(n-1)]1ba-…b b b 6 b 0a-b0 R-R(2 sis na+(n-1)6 00 a-b.0la+(n-1)6a-b)"-
b b a b a b a b b b b b a n b 1 1 1 1 性 质3 + ( − 1) a b a b a b b b b R R i n a n b i − − − − + − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (2 ) ( 1) 1 ( 1) ( ) . −1 = + − − n a n b a b