复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第四章部分重要题目解答

第四章部分重要题目解答 3.在线性空间V中,设向量β可被向量组a1,a2,a3,…,a线性表示,但不能被向量 组a1,a2,03,,a-1线性表示。证明向量组a1,a2,a3,,a与向量组a1,a2,a3,,ar-1,等 价。 证明 (1)由题意知,a1,a2,a3…,ar-1可被向量组a1,a2,a3,…,a线性表示,又已知可被向 量组a1,a2,a3,,a线性表示,因此,a1,a2,a3,,ar-1,B可被向量组a1,a2,a3,,a线 性表示 (2)3可被向量组a1,a2,a3,,a线性表示,因此存在一组数k,k2,k,使得β= k1a1+k2a2+…+kar。又因为β不能被向量组a1,a2,a3,,axr-1线性表示,因此k≠0 气a,-1。所以a可以由向量组a1,a2,a3,…,a-1线性表示。 因此向量组a1,a2,a3,,a可以由a1,a2,a3,,a-1,B线性表示。 (3)因此,向量组a1,a2,a3,……,a与向量组a1,a2a3,……,anx-1,B等价。 4.在线性空间V中,向量组a1,a2,a3,…,a,线性无关,任取?-1个数入1,A2,……,入2-1 令 B1=a1+ A1a, B2=a2+ a2a B B 试证:B1,B2,,B是线性无关的。 证明: 进行初等列变换(C-λC(≠r),这样做矩阵的秩不变,之后矩阵变为:

1oŸ‹©­áK8)â 3. 3Ç5òmV •ßï˛βåï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßÿUï˛ |a1, a2, a3, . . . , ar−1Ç5L´"y²ï˛|a1, a2, a3, . . . , arÜï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1, β d" y²µ (1)dKøßa1, a2, a3, . . . , ar−1åï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßqÆβåï ˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßœdßa1, a2, a3, . . . , ar−1, βåï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ 5L´" (2)βåï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5L´ßœd3ò|Ík1, k2, . . . , kr߶β = k1a1+k2a2+· · ·+krar"qœèβÿUï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1Ç5L´ßœdkr 6= 0" Kar = 1 kr β − k1 kr a1 − · · · − kr−1 kr ar−1"§±arå±dï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1Ç5L´" œdï˛|a1, a2, a3, . . . , arå±da1, a2, a3, . . . , ar−1, βÇ5L´" (3)œdßï˛|a1, a2, a3, . . . , arÜï˛|a1, a2, a3, . . . , ar−1, βd" 4. 3Ç5òmV •ßï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5Ã'ß?γ−1áÍλ1, λ2, . . . , λγ−1 - β1 = a1 + λ1ar β2 = a2 + λ2ar . . . βr−1 = ar−1 + λr−1ar βr = ar £yµβ1, β2, . . . , βr¥Ç5Ã'" y²µ È  β1 β2 . . . βr  ?1–CÜ£Ci − λiCr(i 6= r)§ß˘â› ùÿCßÉ￾› Cèµ  a1 a2 . . . ar 

由于向量组a1,a2,(3,,a线性无关,因此向量组a1,a2,a3,…,ar的秩为r,因此,向 量组β1,B2,,B的秩也是r,因此,B2,…,B线性无关。 5.证明向量组 3 是R中的一个基,并求向量a=0在此基下的坐标。 解: 首先,∈1,e2,e3线性无关,因此e1,e2,e3是一个基。 1-10 0 解之得: 。因此,a=|0在此基下的坐标为2 7.下列向量组是否是线性空间P[x小3的基 (1)a1=x+1,a2=x2+x,a3=x32+1,a4=x3+x2+2x+2 (2)月1=-1+x,B2=1-x2,3=-2+2x+x2,B4=x3 证明 (1)a4=a1+a2+a3,线性相关,因此,不是一组基 0100 1020 1020 秩为4,因此线性无关,且Pz3的维数为 0-110 00-10 0001 四,因此,B1,B2,B3,B4是P3的一组基 9在线性空间R中,取两个基

1 duï˛|a1, a2, a3, . . . , arÇ5Ã'ßœdï˛|a1, a2, a3, . . . , arùèrßœdßï ˛|β1, β2, . . . , βrùè¥rßœdβ1, β2, . . . , βrÇ5Ã'" 5. y²ï˛|: 1 =   1 1 2  ß 2 =   3 −1 0   ß 3 =   2 0 −1   ¥R3•òáƒßø¶ï˛ α =   2 0 7   3dƒeãI" )µ ƒkß1, 2, 3Ç5Ã'ßœd1, 2, 3¥òáƒ"   1 3 2 1 −1 0 2 0 −1     x1 x2 x3   =   2 0 7   )ɵ   x1 x2 x3   =   2 2 −3   "œdßα =   2 0 7   3dƒeãIè   2 2 −3   7. eï˛|¥ƒ¥Ç5òmP[x]3ƒ" (1)a1 = x + 1, a2 = x 2 + x, a3 = x 3 + 1, a4 = x 3 + x 2 + 2x + 2 (2)β1 = −1 + x, β2 = 1 − x 2 , β3 = −2 + 2x + x 2 , β4 = x 3 y²µ (1)a4 = a1 + a2 + a3ßÇ5É'ßœdßÿ¥ò|ƒ" (2)   −1 1 −2 0 1 0 2 0 0 −1 1 0 0 0 0 1   →   0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 1   ùè4ßœdÇ5Ã'ßÖP[x]3ëÍè oßœdßβ1, β2, β3, β4¥P[x]3ò|ƒ" 9.3Ç5òmR4•ß¸áƒµ

(1)求由基(到基(I)的过渡矩阵M (2设a=(11-10),求a在基(I)下的坐标 解: (1)记A=(eee4),m23 则B=AM 11121 101 经过初等行变换,得 400074-12 0400-1214 过渡矩阵为M= 1214 040103 10 0004-321-2 321-2 (2设坐标为X=(1x2x3x)则BX=a 2121 得X 30010 00105 11 0001 10.设a,a2,,an是n维线性空间v的一个基,求由这个基到基2a2,3a3,…,(n an-1,nan,a1的过渡矩阵 解: 00 001 000 (2a2,3a3,…,(n-1)an-1,nan,a1)=(a1,a2 100 0

2 (I) 1 =   1 1 1 1   ß 2 =   1 1 −1 −1   ß 3 =   1 −1 1 −1   ß 4 =   1 −1 −1 1   (II)  0 1 =   1 2 3 1   ß  0 2 =   2 1 0 1   ß  0 3 =   1 −1 0 −1   ß  0 4 =   2 1 1 −2   (1)¶dƒ(I)ƒ(II)Lfi› M (2)α =  1 1 −1 0T ߶α3ƒ(II)eãI" )µ (1)PA =  1 2 3 4  ß B =   0 1  0 2  0 3  0 4  KB = AM"  A B =   1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 −1 −1 2 1 −1 1 1 −1 1 −1 3 0 0 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −2    ²L–1CÜß  4 0 0 0 7 4 −1 2 0 4 0 0 −1 2 1 4 0 0 4 0 1 0 3 4 0 0 0 4 −3 2 1 −2   Lfi› è M = 1 4   7 4 −1 2 −1 2 1 4 1 0 3 4 −3 2 1 −2   " (2)ãIè X =  x1 x2 x3 x4 T KBX = α"  B α =   1 2 1 2 1 2 1 −1 1 −1 3 0 0 1 0 1 1 −1 −2 1   →   1 0 0 0 1 4 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 5 4 0 0 0 1 − 3 4   X = 1 4   1 2 5 −3   10. α1, α2, · · · , αn¥nëÇ5òmV òáƒß¶d˘áƒƒ2α2, 3α3, · · · ,(n− 1)αn−1, nαn, α1Lfi› " )µ ∵ (2α2, 3α3, · · · ,(n−1)αn−1, nαn, α1) = (α1, α2, · · · , αn)   0 0 · · · 0 0 1 2 0 · · · 0 0 0 0 3 · · · 0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · n − 1 0 0 0 0 · · · 0 n 0  

3 a1,a2,…,an到2a2,303,…,(n-1)an-1,man,a1的过渡矩阵为 00 20 00 12求下列子空间的维数和一个基: (1)L(a1,a2,a3)F,其 3 0 0 (2)L(a1,a2,a3,a4),其中 3 3 3)由齐次线性方程组 3x1+2r2-5x3+4x4=0 . 4 3r1+5 13xr3+11 所确定的解空间。 解: (1)对矩阵(a1,a2,a3)做初等列变换 10 201 →0 001 11 矩阵是满秩的,所以子空间La1,a2,a3)的维数为3,a1,a2,a3就是它的一组基。(2)对 矩阵(a1,a2,a3,a4)做初等列变换 1000 1-155 1300 333-3 3-300 矩阵的秩为2,且a3,a4对应的列化为全0,所以子空间L(a1,a2,a3,a4)的维数为2, a1,a2是它的一组基。(3)对方程组的系数矩阵做初等行变换

3 ∴ α1, α2, · · · , αn2α2, 3α3, · · · ,(n − 1)αn−1, nαn, α1Lfi› è   0 0 · · · 0 0 1 2 0 · · · 0 0 0 0 3 · · · 0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · n − 1 0 0 0 0 · · · 0 n 0   12.¶efòmëÍ⁄òჵ (1) L(α1, α2, α3) ⊆ R3 ߟ α1 =   2 3 1   , α2 =   1 0 −1   , α3 =   2 0 1   ; (2) L(α1, α2, α3, α4) ⊆ R4 ߟ• α1 =   2 1 3 −1   , α2 =   1 −1 3 −1   , α3 =   4 5 3 −1   , α4 =   1 5 −3 1   (3)  d‡gÇ5êß|   3x1 + 2x2 − 5x 3 + 4x 4 = 0 3x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 − 13x3 + 11x4 = 0 §(½)òm" )µ (1)  È› (α1, α2, α3)â–Cܵ  2 1 2 3 0 0 1 −1 1   →   1 0 0 0 1 0 −1 1 1  , › ¥˜ùߧ±fòmL(α1, α2, α3)ëÍè3ßα1, α2, α3“¥ßò|ƒ" (2) È ›  (α1, α2, α3, α4)â–Cܵ  2 1 4 1 1 −1 5 5 3 3 3 −3 −1 −1 −1 1   →   1 0 0 0 −1 3 0 0 3 −3 0 0 −1 1 0 0   , › ùè2ßÖα3, α4ÈAzè0ߧ±fòmL(α1, α2, α3, α4)ëÍè2ß α1, α2¥ßò|ƒ" (3) Èêß|XÍ› â–1Cܵ

2-54 101/9-2/9 3→01-8/37/3 35-1311 方程组的基础解系为k1(-1/9,8/3,1,0)2+k2(2/9,-7/3,0,1)2, 解空间为L(-1/9,8/3,1,0)2,(2/9,-7/3,0,1)) 15.设W1,W2均是线性空间V的子空间,且W1∈W2,证明:如果W1的维数 与W2的维数相等,那么,W1=W2。 W2, W1的每一组基都可以扩充成为W2的一组基 W1,W2的维数相等, W1的一组基同时也是W2的一组基。 W1,W2是由同一组基张成的线性空间 17.在欧氏空间中,对任意向量a,B证明 (1)|a+B2+|a-B‖ |2+|6|2) (2)(a,B)=|la+B2-a-B2; (3)若a,B正交,则|a+2=|a2+|B‖ a+2+|a-2=(a+B,a+B)+(a-B,a-B) (a,a)+(a,B)+(B,a)+(B,B)+(a,a)-(a,B)-(B,a)+(B,B) 2((a,a)+(B,B) 2(|la|2+‖2) a+|2-|a-B2=7(a+B,a+B)-(a-B,a-B) (a,a)+(a,B)+(B,a)+(B,B)-(a,a)+(a,B)+(,a)-(B,3) a,B正交 (a,B)=0

4   3 2 −5 4 3 −1 3 −3 3 5 −13 11   →   1 0 1/9 −2/9 0 1 −8/3 7/3 0 0 0 0  , êß|ƒ:)Xè k1(−1/9, 8/3, 1, 0)T + k2(2/9, −7/3, 0, 1)T , )òmè L((−1/9, 8/3, 1, 0)T ,(2/9, −7/3, 0, 1)T )" 15. W1, W2˛¥Ç5òmV fòmßÖW1 ⊆ W2ßy²µXJW1ëÍ ÜW2ëÍÉß@oßW1 = W2" yµ ∵ W1 ⊆ W2, ∴ W1zò|ƒ—å±*ø§èW2ò|ƒ" ∵ W1, W2ëÍÉß ∴ W1ò|ƒ”ûè¥W2ò|ƒ" ∴ W1, W2¥d”ò|ƒ‹§Ç5òm" ∴ W1 = W2 17. 3Óºòm•ßÈ?øï˛α, βy²µ (1) kα + βk 2 + kα − βk 2 = 2(kαk 2 + kβk 2 )¶ (2) (α, β) = 1 4 kα + βk 2 − 1 4 kα − βk 2 ¶ (3) eα, βßKkα + βk 2 = kαk 2 + kβk 2" yµ (1) kα + βk 2 + kα − βk 2 = (α + β, α + β) + (α − β, α − β) = (α, α) + (α, β) + (β, α) + (β, β) + (α, α) − (α, β) − (β, α) + (β, β) = 2((α, α) + (β, β)) = 2(kαk 2 + kβk 2 ) (2) 1 4 kα + βk 2 − 1 4 kα − βk 2 = 1 4 ((α + β, α + β) − (α − β, α − β)) = 1 4 ((α, α) + (α, β) + (β, α) + (β, β) − (α, α) + (α, β) + (β, α) − (β, β)) = 1 2 ((α, β) + (β, α)) = (α, β) (3) ∵ α, βß ∴ (α, β) = 0"

5 la+Bl=(a+B, a+ B) =(a,a)+(a,B)+(B,a)+(B,B) (a,a)+(B,) lal|2+‖/‖2 18.在欧氏空间中,求a,B之间的夹角,其中 (1)a=[1,2,2,3],B=B3,1,5,1]r (2)a=[2,1,3,2y,B=[1,2,-2,1 3)a=[1,3,-5,1,B=②2,-1,2,-3]1 解: =c1(a,B) √8×36 T =cOs la‖‖ E cOS E cOS

5 kα + βk 2 = (α + β, α + β) = (α, α) + (α, β) + (β, α) + (β, β) = (α, α) + (β, β) = kαk 2 + kβk 2 18. 3Óºòm•ß¶α, βÉmYߟ• (1) α = [1, 2, 2, 3]T , β = [3, 1, 5, 1]T (2) α = [2, 1, 3, 2]T , β = [1, 2, −2, 1]T (3) α = [−1, 3, −5, 1]T , β = [2, −1, 2, −3]T )µ (1) = cos−1 (α, β) kαkkβk = cos−1 18 √ 18 × 36 = cos−1 √ 2 2 = π 4 (2) = cos−1 (α, β) kαkkβk = cos−1 0 = π 2 (3) = cos−1 (α, β) kαkkβk = cos−1 −18 √ 36 × 18 = cos−1 − √ 2 2 = − π 4