第三章部分重要题目解答 5.设线性方程组 a211+a22x2+a233+…+a2nxn=b2 an1C1+an2C2+an33+ b1 b2 B bn b. 0 令A为方程组的系数矩阵,已知rA=TB,求证上面的线性方程组相容 证明 由于rA<n,因此 a11C12 In b1 nn bn 可知rA<r<rb,又知道rA=rB,因此,rA=rc,原方程组有解。 6.设∫(x)=co+a1x+c2x2+…+cnx,试用线性方程组定性理论证明 若f(x)=0有n+1个不同的根,那么f(x)≡0 证明: 设这些根为x1,x2,…,xn+1,将原函数中的系数视为未知数,解方程组
1nŸ‹©áK8)â 5. Ç5êß| a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · · + annxn = bn ß B = a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann bn b1 b2 . . . bn 0 - A èêß|XÍ› ßÆ rA = rB ߶y˛°Ç5êß|ÉN" y²µ du rA ≤ n ßœd rB = rA ≤ n "- C = (A|b) = a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann bn å rA ≤ rc ≤ rbßq rA = rB ßœdßrA = rC ßêß|k)" 6. f(x) = c0 + c1x + c2x 2 + · · · + cnx nߣ^Ç5êß|½5nÿy²µ ef(x) = 0k n + 1áÿ”äß@of(x) ≡ 0 " y²µ ˘ äèx1, x2, . . . , xn+1 ßں͕XÍ¿èôÍß)êß|µ
+c1x1+c2x1+…+cnr=0 Co+C1x2+c2x2+…+cn2=0 该方程的系数矩阵为范德蒙行列式,值为1 <i<i<+1(x-x),由于根互不相同,故行 列式不为零,所以方程只有非零解,因此f(x)≡0 9.设向量组Ⅰ可以由向量组Ⅰ表示,向量组Ⅰ可以由向量组ⅠⅠ表示,求证向量 组Ⅰ可经由向量组Ⅰ线性表示。 证明:设向量组/中的任意向量a均可以表示为I中的线性组合a=∑bk2, 且I中的任意向量b2均可以表示为Ⅰ中的线性组合b=∑cP, 故任意P中的向量a可表示为a=∑bk1=∑k∑cp)=∑c(b∑k), 故Ⅰ可以由ⅠⅠ线性表示。 10.证明:若向量可以由向量组a1,a2,…,a1的一个部分向量组线性表示,则 定可由a1,a2,,a线性表示。 证明 B可以由向量组a1,a2,,的一个部分向量组线性表示,设这个向量组为a1,a2,,amn, 令除此之外的向量a的系数都为零,即得证 12.已知向量组a1,a2,a3线性无关,从定义出发证明向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1 线性无关 证明: 若a1+a2,a2+a3,a3+a1线性相关,即存在不全为零的x,y,z,满足 (a1+a2)x+(a2+a3)y+(a3+a1)z=0 。上式等价与a1(x+2)+a2(x+y)+a3(y+2)=0。因为a1,a2,a3线性无关,因此(x+ 2),(x+y),(y+2)全为零。因此x,y,z都为零,与假设矛盾。因此a1+a2,a2+a3,a3+a1 线性无关 13设非零向量6可以由向量组a1,a2,,a1线性表示,且表示唯一,求证向量 组a1,a2,,a1线性无关 证明 若a1,a2,,a线性相关,则存在不全为零的c1,C2,q满足∑ac=0 于a,2,…,②不全为零,因此表示不唯一,矛盾。因此线性塔c)。由 所以对于的一个线性表示,B=∑ad2,加上上式,得到B=∑a(d1
1 c0 + c1x1 + c2x 2 1 + · · · + cnx n 1 = 0 c0 + c1x2 + c2x 2 2 + · · · + cnx n 2 = 0 . . . . . . . . . . . . c0 + c1xn+1 + c2x 2 n+1 + · · · + cnx n n+1 = 0 TêßXÍ› èâÑ1™ßäè Q 1≤i≤j≤n+1(xj − xi)ßduäpÿÉ”ß1 ™ÿè"ߧ±êßêkö")ßœdf(x) ≡ 0 9. ï˛|Iå±dï˛|IIL´ßï˛|IIå±dï˛| IIIL´ß¶yï˛ | I å²dï˛| III Ç5L´" y²µï˛|I•?øï˛ a ˛å±L´èII•Ç5|‹a = Pbikiß ÖII•?øï˛ bi ˛å±L´èIII•Ç5|‹ bi = Pcjpjß ?øI•ï˛a åL´èa = Pbiki = P(ki Pcjpj ) = Pci(bi Pk)ß I å±d III Ç5L´" 10. y²µeï˛βå±dï˛|a1, a2, . . . , alòá‹©ï˛|Ç5L´ßKò ½åda1, a2, . . . , alÇ5L´" y²µ βå±dï˛|a1, a2, . . . , alòá‹©ï˛|Ç5L´ß˘áï˛|èa1, a2, . . . , amß -ÿdÉ ï˛aXÍ—è"ß=y" 12. Æï˛|a1, a2, a3 Ç5Ã'ßl½¬—uy²ï˛|a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 Ç5Ã'" y²µ e a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 Ç5É'ß=3ÿ è"x, y, zߘv (a1 + a2)x + (a2 + a3)y + (a3 + a1)z = 0 "˛™ dÜa1(x + z) + a2(x + y) + a3(y + z) = 0 "œèa1, a2, a3 Ç5Ã'ßœd(x + z),(x+y),(y +z) è""œdx, y, z—è"ßÜbgÒ"œda1 +a2, a2 +a3, a3 +a1 Ç5Ã'" 13.ö"ï˛βå±dï˛|a1, a2, . . . , alÇ5L´ßÖL´çò߶yï˛ |a1, a2, . . . , alÇ5Ã'" y²µ ea1, a2, . . . , alÇ5É'ßK3ÿ è"c1, c2, . . . , cl˜v Paici = 0 §±ÈuβòáÇ5L´ßβ = Paidi ,\˛˛™ßβ = Pai(di + ci)" d uc1, c2, . . . , clÿ è"ßœdL´ÿçòßgÒ"œda1, a2, . . . , alÇ5Ã
14.设向量组a1,a2,,a1线性无关,向量β可以经其表示为 B=k1a1+k2a2+…+ka 且k1≠0,求证β,a2,…,a1线性无关。 证明 我们可以将(Ba2…a)记为矩阵B,将(a1a2…a)记为矩阵A 矩阵B=(Ba2…a)=(k2a1+k2a2+…+ka1 线 性无关,因此矩阵A的秩为l。因为k1≠0,因此对B做初等列变换可以得到矩阵A,因 此矩阵B的秩也为因此,B,a2,a1线性无关 16.证明:向量组Ⅰ可经向量组Ⅰ线性表示,则向量组I的秩小于向量组Ⅰ的秩。 证明 令A为中向量构成的矩阵,B为Ⅰ中向量构成的矩阵。对于A中任意向量a,方 程BX=a都有解。因此rB=rBA=mar(rB,TA),因此必有rB≥TA 17.证明:等价向量组的秩也相等,问逆命题是否成立 证明 两个向量组A,B等价的充分必要条件为rA=TB=TAB所以等价向量组的秩相等。逆 命题不成立,反例如下 b 0 向量a,b都可以认为是有一个向量的向量组,但是他们不等价 20.设X1,X2,,Xm是齐次线性方程组AX=0的基础解系,求证X1+X2,X2,,Xm也 是方程组的一个基础解系。 证明: (1)由已知条件可以知道任何方程组AX=0的解X都可以表示为X=c1X1+c2X2+ +cmXm。继续可以得到 X=CX1+C2X2+ (X1+X2)+(2-c1)X2+…+ 其中的c都是任意常数。因此,原方程的任意一个解可以由X1+X2,X2,,Xm线性 表示。 (2)X1,X2,,Xm是齐次线性方程组AX=0的基础解系,因此,这些向量线性无关 那么,将每一个向量X作为矩阵的列向量,可得 X
2 14. ï˛|a1, a2, . . . , alÇ5Ã'ßï˛β å±²ŸL´è β = k1a1 + k2a2 + · · · + klal Ök1 6= 0߶yβ, a2, . . . , alÇ5Ã'" y²µ ·Çå±Ú β a2 . . . al Pè› BßÚ a1 a2 . . . al Pè› A" › B = β a2 . . . al = k1a1 + k2a2 + · · · + klal a2 . . . al œèa1, a2, . . . , alÇ 5Ã'ßœd› Aùèl"œèk1 6= 0 ßœdÈBâ– CÜå±› Aßœ d› Bùèèl"œdßβ, a2, . . . , al Ç5Ã'" 16. y²µï˛|Iå²ï˛|IIÇ5L´ßKï˛|Iùuï˛|IIù" y²µ -AèI•ï˛§› ßBèII•ï˛§› " ÈuA•?øï˛aßê ßBX = a—k)"œdrB = rB|A = max(rB, rA)ßœd7krB ≥ rA" 17. y²µ dï˛|ùèÉ ßØ_·K¥ƒ§·" y²µ ¸áï˛|A, B dø©7á^áèrA = rB = rA|B §± dï˛|ùÉ "_ ·Kÿ§·ßá~Xeµ a = 0 1 ! b = 1 0 ! ï˛a, b—å±@è¥kòáï˛ï˛|ߥ¶Çÿ d" 20. X1, X2, . . . , Xm¥‡gÇ5êß| AX = 0ƒ:)X߶yX1+X2, X2, . . . , Xmè ¥êß|òáƒ:)X" y²µ (1)dÆ^áå±?¤êß|AX = 0) X¯—å±L´è X¯ = c1X1 + c2X2 + · · · + cmXm"UYå± X¯ = c1X1 + c2X2 + · · · + cmXm = c1(X1 + X2) + (c2 − c1)X2 + · · · + cmXm ߟ•c—¥?ø~Í"œdßêß?øòá)å±dX1 + X2, X2, . . . , XmÇ5 L´" (2)X1, X2, . . . , Xm¥‡gÇ5êß| AX = 0ƒ:)Xßœdߢ ï˛Ç5Ã'" @oßÚzòáï˛Xiäè› ï˛ßåµ C = X1 X2 . . . Xm
3 B=X+X, X B是C乘以一个初等矩阵的结果。由X1,X2…,Xm线性无关可知,r(C)=m。 我们知道对矩阵进行初等变换,矩阵的秩不变。因此rB=m。所以X1+X2,X2,Ym 线性无关。因此,X1+X2,X2,,m也是方程组的一个基础解系
3 B = X1 + X2 X2 . . . Xm B ¥ C ¶±òá– › (J"dX1, X2, . . . , XmÇ5Ã'åßr(C) = m " ·ÇÈ› ?1– CÜß› ùÿC"œdrB = m"§±X1+X2, X2, . . . , Xm Ç5Ã'"œdß X1 + X2, X2, . . . , Xmè¥êß|òáƒ:)X