复旦大学信息科学与工程学院 《线性代数》期终考试试卷 (A卷)共9页 课程代码:INFO120007.0 考试形式:闭卷2008年1月17日13:00-15:0 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题号 五六|七|八总分 得分 计算n阶行列式的值:(共20分) ⌒装订线 (10分) 内 x a 不要答题 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 《线性代数》期终考试试卷 （A 卷）共 9 页 课程代码：INFO120007.0_ 考试形式：闭卷 2008 年 1 月 17 日 13:00-15:00 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、 计算ｎ阶行列式的值： （共 20 分） 1. a a a a x a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a An − − − − − − − − − − = （10 分）
n-1 n Bn (10分) (n-2)0 000 n-1 (n-1) 第2页
第 2 页 2. 0 0 0 1 ( 1) 0 0 0 ( 2) 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 0 1 2 3 1 − − − − − − − − = n n n n n Bn （10 分）
二、假设 Frobenius矩阵 10 F=01 000 ,其中a,≠0 00 (1)求逆阵F- (2)计算: F,其中F是行列式第行,第j列元素所对应的代数余子式。(11分) ⌒装订线内不要答题 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、假设 Frobenius 矩阵： 1 2 1 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 n n n a a F a a − − − − = − − ，其中 an 0。 （1）求逆阵 −1 F ； （2）计算： = = n i n j Fij 1 1 ，其中 Fij 是行列式 F 第 i 行，第 j 列元素所对应的代数余子式。（11 分）
三、设E1,E2E32E4是复数域上四维线性空间V的一组基,T是V上的一个线性变换,它在这组 基下的矩阵为A= ,即T(51,E2,63,E4)=(E1,E2,E3,E4)A。 1-1-12 (1)求T的所有的特征值与特征向量 (2)求一个正交阵Q使得QAQ为对角阵。(12分) 第4页
第 4 页 三、设 1 2 3 4 , , , 是复数域上四维线性空间 V 的一组基， T 是 V 上的一个线性变换，它在这组 基下的矩阵为 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 A −−− − − − = − − − −−− ，即 T( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 )A。 （1）求 T 的所有的特征值与特征向量； （2）求一个正交阵 Q 使得 Q AQ T 为对角阵。(12 分)
四、证明:任何实二次型f(x1,x2…x)=XAX的标准形不是唯一的,但规范形是唯一的。(共 ⌒装订线内不要答题 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 四、证明：任何实二次型 1 2 ( , , , ) T n f x x x X AX = 的标准形不是唯一的，但规范形是唯一的。（共 12 分）
五、设A,B分别为实数域上m阶、n阶方阵,试证明: (1)如果A,B都相似于对角矩阵,则 也相似于一个对角矩阵 0 B (2)设 0 B 相似于一个对角矩阵,即存在一个可逆矩阵S,使得 0B/°=ag(4,2,…) 对S进行分块,令S=(S ,其中S是mx(m+n)阶矩阵,S2是nx(m+n)阶矩阵。试 证明:S的每一列都是A的特征向量,S2的每一列是B的特征向量,并且 rank(S,)=m, rank(s2)=n (3) 相似于一个对角矩阵当且仅当A,B都相似于对角阵。(共12分 0 B 第6页
第 6 页 五、设 A B, 分别为实数域上 m 阶、n 阶方阵，试证明： （1）如果 A B, 都相似于对角矩阵，则 0 0 A B 也相似于一个对角矩阵。 （2）设 0 0 A B 相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵 S ，使得 1 1 2 0 ( , , , ) 0 n A S S diag B − = 。 对 S 进行分块，令 1 2 S S S = ，其中 1 S 是 m m n + ( ) 阶矩阵， 2 S 是 n m n + ( ) 阶矩阵。试 证明： 1 S 的每一列都是 A 的特征向量， 2 S 的每一列是 B 的 特 征 向 量 ， 并 且 1 2 rank S m rank S n ( ) , ( ) = = 。 （3） 0 0 A B 相似于一个对角矩阵当且仅当 A B, 都相似于对角阵。(共 12 分)
六、设R为实数域,在线性空间R5中: a1=(2,3-1,2),a2=(12,-6,30),a3=(54,0,14),B1=(3,3-32,2)B2=(1,-1-3,3,1)请分 别求L(a1,a2,a3)+L(B1,B2)和L(a1a2,a3)∩L(B1,B2)的维数及一个基。(12分) ⌒装订线内不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 六、设 R 为实数域，在线性空间 5 R 中： (2,1,3, 1,2), (1,2, 6,3,0), (5,4,0,1,4), (3,3, 3,2,2), (1, 1, 3,3,1), 1 = − 2 = − 3 = 1 = − 2 = − − 请分 别求 ( , , ) ( , ) L 1 2 3 + L 1 2 和 ( , , ) ( , ) L 1 2 3 L 1 2 的维数及一个基。 （12 分）
、设V是实数域R上的n维线性空间,T是V上的线性变换,且72=27+3n,其中T不为 纯量阵,J是V上的恒等变换。证明 (1)T的特征值-1和3; (2)对任意的向量∈V,有(T+Ln)5∈V1,(T-3)∈ (3)V=V1+3且V1∩V3={0)},其中V1与V3分别是属于1与3的特征子空间 (共9分,每小题3分) 第8页
第 8 页 六、设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， T 是 V 上的线性变换，且 n T 2T 3I 2 = + ，其中 T 不为 纯量阵， n I 是 V 上的恒等变换。证明： （1） T 的特征值-1 和 3; （2）对任意的向量 V ，有 1 3 (T + I n ) V− ,(T − 3I n ) V ； （3） V =V−1 +V3 且 {0} V−1 V3 = ，其中 V−1 与 V3 分别是属于-1 与 3 的特征子空间。 (共 9 分，每小题 3 分)
八、设R为实数域,Mmn(R)为实数域上全体m×n阶矩阵的集合。在Mn(R)中定义加法 数乘如下:V(an)mn,(b2)mn∈Mmn(R),k∈R (a, mon+(b)mxn=(a +bi)moan, k(a, )mxn=(ka, )mson 显然M。n(R)在上面的加法、数乘下构成一个线性空间。在线性空间Mnn(R)中,试求下面向 量组的极大线性无关组 10 1-44)(-2-20(3 (12-12八(105八670八(411 (共12分) ⌒装订线内不要答题 第9页
第 9 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 八、设 R 为实数域， ( ) M R m n 为实数域上全体 m n 阶矩阵的集合。在 ( ) M R m n 中定义加法、 数乘如下： ( ) ,( ) ( ), ij m n ij m n m n a b M R k R ， ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ij m n ij m n ij ij m n ij m n ij m n a b a b k a ka + = + • = 。 显然 ( ) M R m n 在上面的加法、数乘下构成一个线性空间。在线性空间 ( ) M R m n 中，试求下面向 量组的极大线性无关组： 1 0 2 1 4 4 2 2 0 3 4 0 2 6 2 , , , , 3 4 1 12 1 2 1 0 5 6 7 0 4 11 4 − − − − − − − − − − （共 12 分）