复旦大学计算机科学技术学院 20092011学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 B卷共8页 课程代码:COMP120004.02 考试形式:闭卷 2010年9月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题一三四五六 总分 得分 、计算n阶行列式的值:(共20分) 101 线 (10分) 内不要答题 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 计 算 机 科 学 技 术 学 院 2009-2011 学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 B 卷 共 8 页 课程代码：COMP120004.02 考试形式：闭卷 2010 年 9 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 一、 计算ｎ阶行列式的值： （共 20 分） 1. 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 An = （10 分）
a2+x2 Bn (10分) 第2页
第 2 页 2. n n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x a a a a B + + + + + = − − − − − − 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 1 1 1 2 3 1 （10 分）
二、假设A是n阶方阵,对于任意n阶可逆阵X都有AX=XA,请证明A为纯量阵,即存在常 数c使得A=cl。(11分) ⌒装订线内不要答题 、设E1,E2,E3是复数域上三维线性空间V的一组基,T是V的一个线性变换,它在这组基下的 56-3 矩阵为A=-101,即r(E,6263)=(E,62;63)A。求:7的所有的特征值与特征向 量。(12分) 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、假设 A 是 n 阶方阵，对于任意 n 阶可逆阵 X 都有 AX = XA ，请证明 A 为纯量阵，即存在常 数 c 使得 n A = cI 。（11 分） 三、设 1 2 3 , , 是复数域上三维线性空间 V 的一组基， T 是 V 的一个线性变换，它在这组基下的 矩阵为 5 6 3 1 0 1 1 2 1 A − = − − ，即 1 2 3 1 2 3 T A ( , , ) ( , , ) = 。求： T 的所有的特征值与特征向 量。 (12 分)
四、设矩阵~12 求 (1)求一个正交矩阵Q,使OAQO是一个对角阵 (2)设f(x)=x2-2x"-2+3,求f(A)。(共12分,每小题6分) 第4页
第 4 页 四、设矩阵 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 A − − − − = − − − − 。求 （1） 求一个正交矩阵 Q ，使 1 Q AQ − 是一个对角阵； （2） 设 2 ( ) 2 3 n n f x x x − = − + ，求 f A( ) 。 （共 12 分，每小题 6 分）
五、设向量a1=(11-12)a2=(2,-130,a3=(0.-3,5-4)月1=(1,2,21),B2=(4-331)请 分别求L(a1,a2,3)+L(B1,B2)和L(1,a2a3)∩L(月,B2)的维数及一个基。(12分) ⌒装订线内不要答题 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 五、设向量 (1,1, 1,2), (2, 1,3,0), (0, 3,5, 4), (1,2,2,1), (4, 3,3,1), 1 = − 2 = − 3 = − − 1 = 2 = − 请 分别求 ( , , ) ( , ) L 1 2 3 + L 1 2 和 ( , , ) ( , ) L 1 2 3 L 1 2 的维数及一个基。 （12 分）
、设P[x是实数域R上的次数不超过4的多项式全体, f=1+x+2x3,2=x+x2-x4,=3+2x-x2+6x3+x2,f=2x3+3x,f=1+x-3x4求 f,f2,,f4,5的极大线性无关组。(12分) 第6页
第 6 页 六、设 4P x[ ] 是实数域 R 上的次数不超过 4 的多项式全体， 3 2 4 2 3 4 3 4 4 1 2 3 4 5 f x x f x x x f x x x x f x x f x x = + + = + − = + − + + = + = + − 1 2 , , 3 2 6 , 2 3 , 1 3 。求 1 2 3 4 5 f f f f f , , , , 的极大线性无关组。 （12 分）
七、设V是实数域R上的n维线性空间,T是V上的线性变换,且T2=T+2ln,其中T不为 纯量阵,Ln是V上的恒等变换。证明 1)T的特征值-1和2 2)对任意的向量∈V,有(T+Ln)5∈H2,(T-2ln)∈V1 3)V=V1+V2且V1∩V2={0},其中V21与V2分别是属于-1与2的特征子空间 (共9分,每小题3分) ⌒装订线内不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 七、设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， T 是 V 上的线性变换，且 n T T 2I 2 = + ，其中 T 不为 纯量阵， n I 是 V 上的恒等变换。证明： 1) T 的特征值-1 和 2; 2) 对任意的向量 V ，有 2 1 ( ) , ( 2 ) T I V T I V n n + − − ； 3) V =V−1 +V2 且 {0} V−1 V2 = ，其中 V−1 与 V2 分别是属于-1 与 2 的特征子空间。 (共 9 分，每小题 3 分)
A 0 八、设A为n阶方阵,B为m阶方阵。试证明 相似于对角阵当且仅当A,B都相似于对 0 B 角阵 (12分) 第8页
第 8 页 八、设 A 为 n 阶方阵， B 为 m 阶方阵。试证明 0 0 A B 相似于对角阵当且仅当 A B, 都相似于对 角阵。 （12 分）
