Laplace定理 在行列式中,任取k行,则由这k行元素组成的一切k阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 93
Laplace定理 • 在行列式中，任取k行，则由这k行元素组成的一切k阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 93
7. Cramer法则 二元线性方程组 x1+ +ax= b 若令 2(方程组的系数行列式) 21 an b 22 则上述二元线性方程组的解可表示为 62-b,a2 d 1122 12421 D D 2
二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = 若令 11 12 21 22 a a D a a = b a a b (方程组的系数行列式 (方程组的系数行列式) 7. Cramer法则 12 1 1 2 22 b b a D a = 1 2 2 11 21 a b D a b = 则上述二元线性方程组的解可表示为 1 22 12 2 1 1 11 22 12 21 D D b a a b x a a a a = − = − 11 2 1 21 2 2 11 22 12 21 a b b a D x a a a a D − = = −
一、 Cramer法则 如果线性方程组 1x1+a12x2+…+a1nxn=b1 十2X十…+,nX n h2 +a.,x,+∴+ax.=b 11 的系数行列式不等于零,即D=2n2a2 ≠0 2
一、Cramer法则 如果线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 (1) n n n n a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = LL LLLLLLLLLLLL n n nn n n 1 1 2 2 a x a x a x b + + + = LLLLLLLLLLLL L 的系数行列式不等于零，即 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a D a a a = ≠ L L LLLLLLL L
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的,解可以表示成 D D D D 其中D是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的m阶行列式,即 b1 a1
1 2 2 1 2 3 , , , , . (2) n n D D D D x x x x D D D D = = = = L 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n 那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的 (1)有解并且解是唯一的，解可以表示成 ，解可以表示成 常数项代替后所得到的 n阶行列式，即 11 1, 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n 1 j n n j n j nn n a a a a D a a a a b b − + − + = L L M M M M L L M
定理中包含着三个结论: 方程组有解;(解的存在性) 解是唯一的;(解的唯一性) 解可以由公式(2)给出 这三个结论是有联系的.应该注意,该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组,至于系数行列式等于零的情形, 将在第三章的一般情形中一并讨论 正面在书的33页:必要+充分
定理中包含着三个结论： •方程组有解；（解的存在性） •解是唯一的；（解的唯一性） •解可以由公式(2)给出. 这三个结论是有联系的 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形 ，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论. 正面在书的33页：必要+充分
关于 Cramer法则的等价命题 设 11十a12x+…+a1nxn= b anx,+a2x,+…+a1x,=b 1 1 ar +a 定理4如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 定理4′如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的 系数行列式必为零
关于Cramer法则的等价命题 设 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = LL LLLLLLLLLLLL L 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零 )的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 ,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零. n n nn n n 1 1 2 2 a x a x a x b + + + = L
例解线性方程组 2x1+x2-5x3+x4=8, 6r,=9 2x2-x3+2x4=-5, 1+4x2-7x3+6x4=0 解 07513 r-2 2 02-12 7-n2 14-76 07-712
例 解线性方程组 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 2 5 8, 3 6 9, 2 2 5, 4 7 6 0. x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = − + − + = 解 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = −− 1 2 r r − 2 4 2 r r − 0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12 − − − −−
7-513 3-53 2-1yc1+c 0-10=27≠0 +2c 8 5 8-5 306 90-6 D 52-12 5 04-76 0-76 =81 =-108
7 5 13 2 1 2 7 7 12 − = − −− 1 2 c c + 2 3 2 c c + 2 3 5 3 0 1 0 7 7 2 − − − − − − − 8 1 5 1 − 2 8 5 1 − = ≠ 27 0 1 9 3 0 6 5 2 1 2 0 4 7 6 81 D − − = − −− = 2 1 9 0 6 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108 D − = − −− −
2181 21-58 02-52 02-1-5 -27 27 81 3,x2=2=0=4 D27 D,27 1 D27 D27
3 2 1 8 1 1 3 9 6 0 2 5 2 1 4 0 6 27 D − − = − = − 4 2 1 5 8 1 3 0 9 0 2 1 5 1 4 7 0 27 D − − = − − − = 1 1 81 3, 27 D x D ∴ = = = 2 2 108 4, 27 D x D − = = = − 3 3 27 1, 27 D x D − = = = − 4 4 27 1. 27 D x D = = =
思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用 Cramer法则 解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 答:当线性方程组的系数行列式为零时,不能用 Cramer法 则解方程组,因为此时方程组的解为无解或有无穷多解
思考题 当线性方程组的系数行列式为零时，能否用Cramer法则 Cramer法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何 ？此时方程组的解为何？ 答：当线性方程组的系数行列式为零时 当线性方程组的系数行列式为零时，不能用Cramer法 Cramer法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解 ，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解