第四讲补充题解答 1.证明:一个n阶矩阵中0元素的数量大于n2-n,则该矩阵的行列式必为0 证:n阶方阵有n2个元素,若矩阵中0元素个数大于n2-n个,则非零元素的个数小于n个,根据 行列式定义可知:行列式表示成n!个项的和,其中每一项为矩阵中不同行、不同列的n个元素 的乘积,当矩阵中非零元素个数小于n时,任一项的n个元素中至少包含一个0元素,因此任 何项均为0,因此该矩阵的行列式必为0 2.设n阶矩阵A,B分别如下 a21 a11 36 a2nb-(n-2) b2 (n-3) [(a1b-)] ann 证明:det(A)=det(B) 证:设P为所有n阶排列构成的集合.由行列式定义,写出det(B) det(b)= (-1) 1-n)(a2 jj2…in∈p ∑(-1)0-)a1nay2…anb4+2+-+)0+++) j1j2…n∈P (-1)rn2-yn) a1i1a2…amin=det(A jj2…jn∈P 3.考察矩阵A∈RnXn的n(n≥3)阶行列式,证明:det(A)的n!项中若有负项目(元素的符号计 算在内,则当n=3时,负项个数必为奇数;当n>3时,负项个数必为偶数 证:n阶矩阵的行列式可表示为n!项之和,其中每一项为n个数的乘积,设这n!项为c1,e2,,cn, 将这些项的乘积记为M,即, M=Ⅱe=(-1)2(a112a1n…a2m…am)o-1) 当n=3时,M3时,M≥0,若c1,C2,,cn中存在负项,则项数一定是偶数 4.证明:以下的2013阶行列式不等于零 2012 20132 20122012201320 2014201220142012 2014201 2014
第四讲补充题解答 1. 证明: 一个n 阶矩阵中 0 元素的数量大于 n 2 − n, 则该矩阵的行列式必为 0. 证: n 阶方阵有 n 2 个元素, 若矩阵中 0 元素个数大于 n 2 − n 个, 则非零元素的个数小于 n 个, 根据 行列式定义可知: 行列式表示成 n! 个项的和, 其中每一项为矩阵中不同行、不同列的 n 个元素 的乘积, 当矩阵中非零元素个数小于 n 时, 任一项的 n 个元素中至少包含一个 0 元素, 因此任 何项均为 0, 因此该矩阵的行列式必为 0. 2. 设 n 阶矩阵 A, B 分别如下: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann , B = a11 a12b −1 a13b −2 · · · a1nb −(n−1) a21b a22 a23b −1 · · · a2nb −(n−2) a31b 2 a32b a33 · · · a3nb −(n−3) . . . . . . . . . . . . an1b n−1 an2b n−2 an3b n−3 · · · ann = aij b i−j 证明: det (A) = det (B). 证: 设 P 为所有 n 阶排列构成的集合. 由行列式定义, 写出 det (B): det (B) = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 b 1−j1 a2j2 b 2−j2 · · · anjn b n−jn = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn b (1+2+···+n)−(j1+j2+···+jn) = X j1j2···jn∈P (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn = det (A) 3. 考察矩阵 A ∈ R n×n 的 n(n ≥ 3) 阶行列式, 证明: det (A) 的 n! 项中若有负项目(元素的符号计 算在内), 则当 n = 3 时, 负项个数必为奇数; 当 n > 3 时, 负项个数必为偶数. 证: n 阶矩阵的行列式可表示为 n! 项之和, 其中每一项为 n 个数的乘积, 设这 n! 项为 c1, c2, . . . , cn! , 将这些项的乘积记为 M, 即, M = Yn! i=1 ci = (−1)n!/2 (a11a12 · · · a1n · · · a2n · · · ann) (n−1)! 当 n = 3 时, M ≤ 0, 若 c1, c2, . . . , c6 中存在负项, 则项数一定是奇数. 当 n > 3 时, M ≥ 0, 若 c1, c2, . . . , cn! 中存在负项, 则项数一定是偶数. 4. 证明: 以下的 2013 阶行列式不等于零. 1 2 · · · 2012 2013 2 2 3 2 . . . 20132 20142 . . . . . . . . . . . . . . . 20122012 20132013 . . . 20142012 20142012 20132013 20142013 · · · 20142013 20142013
证:该2013阶矩阵次对角元分别为:2013,20132,2013,,20132013,都是奇数,则该次对角元素 的乘积是奇数,它是该矩阵行列式中的其中一项,而行列式中其它各乘积项中至少包含该次对 角元右下侧重中的一个元素2014,它是偶数,对应的这些乘积项都是偶数,整个行列式是奇数 因此,该2013阶行列式一定不等于零 5.计算f(x+1)-f(x),其中 C00 0 0 0 0 0 0x3 f(r) 0 m+1 Cn+1 Cn+1 c C.是组合数,C 少分(人=1,2,,m+1:j=0,1,2, n-1;j<k) 解: 0 000 000 x+1 (x+1)3 f(x+1)-f(x) 2-1 0(x+1) Cm-1(x+1)n M+1 Cn+1 Cn+1 Cr +1 1(x+1)y+1 0 000 000 n+1 cn+ ci-I 1cn+1 0 0 +000 1 0(x+1)n-1-mn-1
证: 该 2013 阶矩阵次对角元分别为: 2013, 20132 , 20133 , . . . , 20132013 , 都是奇数, 则该次对角元素 的乘积是奇数, 它是该矩阵行列式中的其中一项, 而行列式中其它各乘积项中至少包含该次对 角元右下侧重中的一个元素 2014j , 它是偶数, 对应的这些乘积项都是偶数, 整个行列式是奇数. 因此, 该 2013 阶行列式一定不等于零. 5. 计算 f(x + 1) − f(x), 其中 f(x) = C 0 1 0 0 0 · · · 0 x C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 x n+1 C j k 是组合数, C j k = k! (k − j)!j! (k = 1, 2, . . . , n + 1; j = 0, 1, 2, . . . , n − 1; j < k). 解: f(x + 1) − f(x) = C 0 1 0 0 0 · · · 0 x + 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 (x + 1)2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 (x + 1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 (x + 1)n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n (x + 1)n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 (x + 1)n+1 − C 0 1 0 0 0 · · · 0 x C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 x n+1 = C 0 1 0 0 0 · · · 0 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 (x + 1)2 − x 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 (x + 1)3 − x 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 (x + 1)n−1 − x n−1 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n (x + 1)n − x n C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 (x + 1)n+1 − x n+1
00 1 Ca r2 C3 C3 0 2+1C2 0 0 0 n+1 n2+1C3 Cn+1 Cn+1a a1 a2 其中a1,a2,,an-1是互不相同的数,证明:f(x)是关于x的m-1次多项式,并求f(x)的根 证:将行列式按第一行展开,得 f(r A 其中,A1i为第一行中各元素对应的代数余子式(=1,2,,n),显然,A1与x无关,因此f(x) 是n-1阶的多项式 令x分别为a1,a2,,an-1,此时行列式中出现相同的两行,根据行列式性质,有f(a)=0 (=1,2,,n-1),说明a(=1,2, 1)是f(x)=0的根 7.求n阶行列式 11
= C 0 1 0 0 0 · · · 0 1 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 X 1 i=0 C i 2x i C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 X 2 i=0 C i 3x i . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 nX−2 i=0 C i n−1x i C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n nX−1 i=0 C i nx i C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 Xn i=0 C i n+1x i ==================== Cn+1−(xi−1)∗Ci,(i=1,2,...,n) C 0 1 0 0 0 · · · 0 0 C 0 2 C 1 2 0 0 · · · 0 0 C 0 3 C 1 3 C 2 3 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 0 n−1 C 1 n−1 C 2 n−1 C 3 n−1 · · · 0 0 C 0 n C 1 n C 2 n C 3 n · · · C n−1 n 0 C 0 n+1 C 1 n+1 C 2 n+1 C 3 n+1 · · · C n−1 n+1 C n n+1x n = x n nY +1 i=1 C i−1 i 6. 设 f(x) = 1 x x2 · · · x n−1 1 a1 a 2 1 · · · a (n−1) 1 1 a2 a 2 2 · · · a (n−1) 2 . . . . . . . . . . . . 1 an−1 a 2 n−1 · · · a n−1 n−1 其中 a1, a2, . . . , an−1 是互不相同的数, 证明: f(x) 是关于 x 的 n − 1 次多项式, 并求 f(x) 的根. 证: 将行列式按第一行展开, 得 f(x) = Xn i=1 A1i 其中, A1i 为第一行中各元素对应的代数余子式(i = 1, 2, . . . , n), 显然, A1i 与 x 无关, 因此 f(x) 是n − 1阶的多项式. 令 x 分别为 a1, a2, . . . , an−1, 此时行列式中出现相同的两行, 根据行列式性质, 有 f(ai) = 0 (i = 1, 2, . . . , n − 1), 说明 ai(i = 1, 2, . . . , n − 1) 是 f(x) = 0 的根. 7. 求 n 阶行列式 1 −1 · · · −1 −1 1 1 . . . −1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 −1 1 1 · · · 1 1
展开后的正项总数 解: 1-1 按行列式定义,该行列式中各项为+1或-1,因此 正项数-负项数=21-1,正项数+负项数=总项数=n! 因此正项总数=1(2-1+n)=2=2+n 8.计算下列行列式 a (a).D4=201202-9998(b.D2=|ax 1-1 解:(a) 21 =100 200200-100100 1111 12 0-3-15 100/00-1-3 (-100) 112530 Dn坐土=2=(x+(m-1)o. a T 0 r-a (x+(n-1)a) (a-a)+na(a-a (c).D
展开后的正项总数. 解: 1 −1 · · · −1 −1 1 1 . . . −1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 −1 1 1 · · · 1 1 Ri+Rn,i=1,2,...,n−1 ============== 2 0 · · · 0 0 2 2 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 2 2 · · · 2 0 1 1 · · · 1 1 = 2n−1 按行列式定义, 该行列式中各项为 +1 或 −1, 因此 正项数 − 负项数 = 2n−1 , 正项数 + 负项数 = 总项数 = n! 因此, 正项总数 = 1 2 2 n−1 + n! = 2n−2 + n! 2 . 8. 计算下列行列式 (a). D4 = 2 1 1 1 4 2 1 −1 201 202 −99 98 1 2 1 −2 (b). Dn = x a · · · a a x . . . . . . . . . . . . . . . a a · · · a x 解: (a) D4 R3−R4 ====== 2 1 1 1 4 2 1 −1 200 200 −100 100 1 2 1 −2 = 100 2 1 1 1 4 2 1 −1 2 2 −1 1 1 2 1 −2 R2 − 2R1 R3 − R1 R1 − 2R4 ========= 100 0 −3 −1 5 0 0 −1 −3 0 1 −2 0 1 2 1 −2 = (−100) −3 −1 5 0 −1 −3 1 −2 0 = −2600 (b) Dn R1+Ri,i=2,3,...,n ============ (x + (n − 1)a) 1 1 · · · 1 a x · · · a . . . . . . . . . . . . a · · · a x Ri−a∗R1,i=2,3,...,n ============== (x + (n − 1)a) 1 1 · · · 1 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 x − a = (x − a) n + na (x − a) n−1 (c). Dn = x a · · · a a −a x a · · · a . . . . . . . . . . . . . . . −a · · · −a x a −a −a · · · −a x (d). Dn = x1 − m x2 · · · xn x1 x2 − m · · · xn · · · · · · · · · · · · x1 x2 · · · xn − m
解:(c) C1-1,i=n,n-1, 0 0 2+a 0 =x(x+a)2--a(x-a) 0 1 a 1 +a a-r 令△n 0 △n-1=(x+a)-2+(x-a)△n-2=(x+a)y-2+(x-a)(x+a)n-3+(x-a)2△n=3= (+a)m-2-i (x-0)+(-=/-3D=云 ∑(x+a)-2-(x-a)2+2x(x-a)n 因此 Dn=r(a +a)n-I-a(a-a)An-1 a(x+a)y-1-a∑(x+a2-1-(x-a)2-2ar(x-a) 234 345 3
解: (c) Dn ================ Ci−Ci−1,i=n,n−1,...,2 x a − x 0 · · · 0 −a x + a a − x . . . . . . −a 0 x + a . . . 0 . . . . . . . . . . . . a − x −a 0 · · · 0 x + a = x (x + a) n−1 − a(x − a) 1 a − x 0 · · · 0 1 x + a a − x . . . . . . . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . a − x 1 0 · · · 0 x + a (n−1) 令 4n−1 = 1 a − x 0 · · · 0 1 x + a a − x . . . . . . . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . a − x 1 0 · · · 0 x + a (n−1) , 则 4n−1 = (x + a) n−2 + (x − a)4n−2 = (x + a) n−2 + (x − a)(x + a) n−3 + (x − a) 24n−3 = · · · = nX−4 i=0 (x + a) n−2−i (x − a) i + (x − a) n−342 = nX−4 i=0 (x + a) n−2−i (x − a) i + 2x(x − a) n−3 因此 Dn = x(x + a) n−1 − a(x − a)4n−1 = x(x + a) n−1 − a(x − a) " nX−4 i=0 (x + a) n−2−i (x − a) i + 2x(x − a) n−3 # = a(x + a) n−1 − a nX−3 i=1 (x + a) n−1−i (x − a) i − 2ax(x − a) n−2 (e). Dn = 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 n 1 2 · · · n − 2 n − 1
345 n1 C1+C,i=2,31,n 111:11111:1111 3 2 1234 1 1 1 1 1 12 n000 1100 0 n(n+1)1 1 1 0 0 0 0 000 0 =(-1)x+1n(n+1) 0 100 00 (-1)+2n(n+1)00 n(n+1)n"+nn-l 0 0 0 0 0 000.1 0 0 000:011
解: Dn ============ C1+Ci,i=2,3,...,n n(n + 1) 2 1 2 3 · · · n − 1 n 1 3 4 · · · n 1 1 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 1 1 2 · · · n − 2 n − 1 ================ Ci−Ci−1,i=n,n−1,...,3 n(n + 1) 2 1 2 1 · · · 1 1 1 3 1 · · · 1 1 − n 1 4 1 · · · 1 − n 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 n 1 − n · · · 1 1 1 1 1 · · · 1 1 ============ Ci−C1,i=2,3,...,n n(n + 1) 2 1 1 0 · · · 0 0 1 2 0 · · · 0 −n 1 3 0 · · · −n 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 n − 1 −n · · · 0 0 1 0 0 · · · 0 0 = (−1)n+1 n(n + 1) 2 1 0 · · · 0 0 2 0 · · · 0 −n 3 0 · · · −n 0 . . . . . . . . . . . . n − 1 −n · · · 0 0 ====================== C1+((n−i+1)/n)Ci,i=2,3,...,n−1 (−1)n+1 n(n + 1) 2 1 0 · · · 0 0 0 0 · · · 0 −n 0 0 · · · −n 0 . . . . . . . . . . . . 0 −n · · · 0 0 = (−1) n(n+1) 2 n n + n n−1 2 (f). Dn = x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 0 0 x · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 0 0 0 0 · · · 0 x −1 an an−1 an−2 · · · a3 a2 a1
Dn按第n列展开axn-1+Dn1=∑an+D2=∑an i=1 i=1 0 000:x02 0 其中Dn2- x0:00 0 0 0 (g).D2 其中A cAn dl, 选定第1,2n行用 Laplace定理展开|ab|D2n- 反复使用 Laplace定理 (ad-bc 000 0 000 ().Dn= 00 ba.:000 ac0
解: Dn 按第n列展开 ============ a1x n−1 + Dn−1 = nX−2 i=1 aix n−i + D2 = Xn i=1 aix n−i 其中 Dn−i = x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 0 0 x · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 0 0 0 0 · · · 0 x −1 an an−1 an−2 · · · an−i+2 an−i+1 an−i , (i = 1, 2, . . . , n − 2) (g). D2n = aIn bAn cAn dIn , 其中A = 0 1 . . . 1 0 解: D2n 选定第1, 2n行,用Laplace定理展开 ============================ a b c d D2n−2 反复使用Laplace定理 ================== (ad − bc) n (i). Dn = a b 0 · · · 0 0 0 c a b · · · 0 0 0 0 c a · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a b 0 0 0 0 · · · c a b 0 0 0 · · · 0 c a
解:将行列式按第一行展开得: Dn-1-(bc)Dn-2=Dn-aDn-1+ bcD, 方程x2-ax+be=0的根为x12 √a2-4bc 则x1+x2=a,x12=be,因此 令△ 而D2-1D1=a2-be-x1a=(x1+x2-x1x2-x1(x1+x2)=x2,所以 x2→D .2 同理 Dn-.2D-1=1 (Dn-1-22Dn-2)=>Dn-r2Dn-1=ri 当x1≠xn即a2≠4bc时,解得 1 即 n=+1Dn-1=r+m1(1-1+x1Dn-2)=2r+ →Dn=(m-1)+xD1=(-1)+a-1=(n-1+2=(m+1)x=m+m 9.设n阶方阵A的行列式det(A)=1,证明A可以表示成一系列第三类初等变换矩阵F(k) 的乘积的行列式 证:对矩阵A实施一系列行初定变换后,等价于标准形Ln(因det(A)≠0),将行初等变换写成左 乘初等变换矩阵,而初等变换矩阵的逆阵还是初等变换矩阵,所以,A可表示成: A=F1F2…FpLn 其中F是三类初等变换矩阵之一(i=1,2,,p),由行列式性质可知 det(a)=ll det(Fi)det(In) 第一类初等矩阵行列式之积}·{第二类初等矩阵行列式之积}·{第三类初等矩阵行列式之积} 由det(A)=1,第三类初等变换矩阵的行列式为1,可得,第一类初等矩阵行列式之积为1,第 二类初等矩阵之积也为1.所以 det(A)=第三类初等矩阵行列式之积=det(第三类初等变换矩阵之积) 10.设A,B∈R×,(A)和(B)为相应的伴随矩阵(用(·)表示方阵“·”的伴随矩阵,证明下列 等式 (a)A(A)= det(a)In
解: 将行列式按第一行展开得: Dn = aDn−1 − (bc)Dn−2 ⇒ Dn − aDn−1 + bcDn−2 = 0 方程 x 2 − ax + bc = 0 的根为 x1,2 = a ± √ a 2 − 4bc 2 , 则 x1 + x2 = a, x1x2 = bc, 因此 Dn − x1Dn−1 = x2 (Dn−1 − x1Dn−2) 令 4n = Dn − x2Dn−1, 得 4n = x24n−1 ⇒ 4n = x n−2 2 42 = x n−2 2 (D2 − x1D1) 而 D2 − x1D1 = a 2 − bc − x1a = (x1 + x2) 2 − x1x2 − x1(x1 + x2) = x 2 2 , 所以 4n = x n 2 ⇒ Dn − x1Dn−1 = x n 2 同理 Dn − x2Dn−1 = x1 (Dn−1 − x2Dn−2) ⇒ Dn − x2Dn−1 = x n 1 当 x1 6= xn 即 a 2 6= 4bc 时, 解得: (x2 − x1) Dn = x n+1 2 − x n+1 1 ⇒ Dn = x n+1 2 − x n+1 1 x2 − x1 当 x1 = x2 即 a 2 = 4bc 时, x1 = x2 = a 2 , Dn = x n 1 + x1Dn−1 = x n 1 + x1 x n−1 1 + x1Dn−2 = 2x n 1 + x 2 1Dn−2 ⇒ Dn = (n − 1)x n 1 + x n−1 1 D1 = (n − 1)x n 1 + axn−1 1 = (n − 1)x n 1 + 2x n 1 = (n + 1)x n 1 = (n + 1)a n 2 n 9. 设 n 阶方阵 A 的行列式 det (A) = 1, 证明 A 可以表示成一系列第三类初等变换矩阵 Fij (k) 的乘积的行列式. 证: 对矩阵 A 实施一系列行初定变换后, 等价于标准形 In (因 det (A) 6= 0), 将行初等变换写成左 乘初等变换矩阵, 而初等变换矩阵的逆阵还是初等变换矩阵, 所以, A 可表示成: A = F1F2 · · · FpIn 其中 Fi 是三类初等变换矩阵之一 (i = 1, 2, . . . , p), 由行列式性质可知: det (A) = Y p i=1 det (Fi) det (In) = {第一类初等矩阵行列式之积} · {第二类初等矩阵行列式之积} · {第三类初等矩阵行列式之积} 由 det (A) = 1, 第三类初等变换矩阵的行列式为 1, 可得, 第一类初等矩阵行列式之积为 1, 第 二类初等矩阵之积也为 1. 所以 det (A) = 第三类初等矩阵行列式之积 = det 第三类初等变换矩阵之积 10. 设 A, B ∈ R n×n , (A) ∗ 和 (B) ∗ 为相应的伴随矩阵(用 (•) ∗ 表示方阵 “•” 的伴随矩阵), 证明下列 等式: (a) A (A) ∗ = det (A) In
(b)(A (A) (c)设k为非零常数,则(kA)*=kn-1(A) (d)设A,B均可逆,则(AB)*=(B)(A) (e)设A可逆,则(A)-=(A-1) ()设A可逆,则(A))*=det(A)n-2A (g)若AAT=In,则(A(4)”)2=I A11A2 12A22 证:(a)因(A)= 根据伴随矩阵性质,有A(A)*=det( A1n A (b)由a)可知 (A)A=(A(A)7=(det(A)n)7=det(A)I=det(4)I=(A)AT 因此 (c)因 (ka(ka)=k" det(a)I=knaa 所以(kA)*=kn-1A* (d)因A,B可逆,则 det(AB (AB) 又因 (AB)-1=B-A B A BAN det(b) det(a) det(AB) 因此(AB)=BA ()因(A)A=I=r=(AA-)=(A-)”A,所以(A)=(4-) f)因(A*)A*=(AA")*=(det(A)I)*=det(A)n-I=det(A)2-2AA 所以,(A)*=det(A)-2A 2)因A-1 det(a de(Ax5(4)=a(A(A,所以, (A*=(det(A)I=I 11.任何可逆矩阵A都可只经过行(或只经过列)的初等变换化为单位矩阵Ⅰ. 证:因矩阵A可逆,构成A的列向量线行独立.根据行初等变换的性质,A的每一列都是主元列 因此,它的标准阶梯形就是单位阵I 12.B∈Rnxk证明 rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)≤min{m,n,k}
(b) AT ∗ = ((A) ∗ ) T (c) 设 k 为非零常数, 则 (kA) ∗ = k n−1 (A) ∗ . (d) 设 A, B 均可逆, 则 (AB) ∗ = (B) ∗ (A) ∗ . (e) 设 A 可逆, 则 ((A) ∗ ) −1 = A−1 ∗ . (f) 设 A 可逆, 则 ((A) ∗ ) ∗ = det (A) n−2 A. (g) 若 AAT = In, 则 (A) ∗ ((A) ∗ ) T = In. 证: (a) 因 (A) ∗ = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann , 根据伴随矩阵性质, 有 A (A) ∗ = det (A) I. (b) 由(a)可知 ((A) ∗ ) T AT = (A (A) ∗ ) T = (det (A) I) T = det (A) I = det AT I = AT ∗ AT 因此 AT ∗ = ((A) ∗ ) T . (c) 因 (kA) (kA) ∗ = k n det(A)I = k nAA∗ 所以 (kA) ∗ = k n−1A∗ . (d) 因 A, B 可逆, 则 (AB) −1 = 1 det (AB) (AB) ∗ 又因 (AB) −1 = B −1A−1 = 1 det(B) B ∗ 1 det(A) A∗ = 1 det(AB) B ∗A∗ 因此 (AB) ∗ = B∗A∗ (e) 因 (A∗ ) −1 A∗ = I = I ∗ = AA−1 ∗ = A−1 ∗ A∗ , 所以 (A∗ ) −1 = A−1 ∗ . (f) 因 (A∗ ) ∗ A∗ = (AA∗ ) ∗ = (det(A)I) ∗ = det(A) n−1 I = det(A) n−2AA∗ , 所以, (A∗ ) ∗ = det(A) n−2A. (g) 因 A−1 = 1 det (A) A∗ = AT 和 AT −1 = 1 det (AT ) AT ∗ = 1 det (AT ) (A∗ ) T , 所以, A∗ (A∗ ) T = (det (A))2 I = I 11. 任何可逆矩阵 A 都可只经过行(或只经过列)的初等变换化为单位矩阵 I. 证: 因矩阵 A 可逆, 构成 A 的列向量线行独立. 根据行初等变换的性质, A 的每一列都是主元列. 因此, 它的标准阶梯形就是单位阵 I. 12. B ∈ R n×k 证明 rank (AB) ≤ min {rank (A),rank (B)} ≤ min {m, n, k}
证:AB可以写成下列两种分块形式: b% AB= a a2 a11a12 b a21a22 b aB am1am2··alm 其中a2为m×1列向量(i=1,2,…,m),b;为1×k行向量(=1,2,…,m) 设 rank(A)=rank (a1, a2,.,an=ra rank (B)=rank(b1, b2, .. bn)=ri 因AB中的每一列都是矩阵A中列向量的线性组合,因此rank(AB)≤rank(A)=rA 同理,AB中的没有行是矩阵B中行向量的线性组合,因此rank(AB)≤rank(B)=rB,因此, AB≤min{rA,TB} 另外,因rA≤min{m,n},TB≤min{m,k},最终有 aB ≤min{rA,rB} ≤min{m,m,k 13.设n阶方阵A的秩为r(≤m),且A2=A,证明: Trace(A)=r,其中Tace(A)=∑ai称为 A的迹
证: AB 可以写成下列两种分块形式: AB = h a1 a2 · · · an i b11 b12 · · · b1k b21 b22 · · · b2k . . . . . . . . . bn1 bn2 · · · bnk AB = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn b1 b2 . . . bn 其中 ai 为 m × 1 列向量(i = 1, 2, . . . , n), bj 为 1 × k 行向量(j = 1, 2, . . . , n). 设 rank (A) = rank (a1, a2, . . . , an) = rA rank (B) = rank (b1, b2, . . . , bn) = rB 因 AB 中的每一列都是矩阵 A 中列向量的线性组合, 因此 rank (AB) ≤ rank (A) = rA 同理, AB 中的没有行是矩阵 B 中行向量的线性组合, 因此 rank (AB) ≤ rank (B) = rB, 因此, AB ≤ min {rA, rB}. 另外, 因 rA ≤ min{m, n} , rB ≤ min{n, k}, 最终有 AB ≤ min {rA, rB} ≤ min{m, n, k} 13. 设 n 阶方阵 A 的秩为 r(≤ n), 且 A2 = A, 证明: Trace (A) = r, 其中 Trace (A) = Xn i=1 aii 称为 A 的迹
