复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第二章补充题目

第二章补充题目 123 设A B=-1-24,求3AB-2A及AB 051 解3AB-2A=311 1H3 058 21322 0-56 1-1=-2-1720, 290 429-2 123)(058 AB=11 24=0-56 2.计算下列乘积 23|2

第二章补充题目 1 设           111 111 111 A           150 421 321 B  求 3AB2A 及 AT B 解                             111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 AAB 323                              2294 20172 22132 111 111 111 2 092 650 850 3                             092 650 850 150 421 321 111 111 111 BAT  2 计算下列乘积 (1)                  1 2 7 075 321 134 

3 4×7+3×2+1×1(35 解 1×7+(-2)×2+3×1=6 57 5×7+7×2+0×1)(49 2(1232 解(123)2=(1×3+22=10 2x(-1)2×2(-24 12)=1×(-1)1×2 3×(-1)3×2 21400-12 1400-12 6-78 解 1-1341 20-5-6 2

解                  1 2 7 075 321 134                 102775 132)2(71 112374          49 6 35  (2)         1 2 3 )321(  解         1 2 3 )321( (132231)(10) (3) )21( 3 1 2          解 )21( 3 1 2                       23)1(3 21)1(1 22)1(2             63 21 42  (4)                     204 131 210 131 4311 0412  解                     204 131 210 131 4311 0412          6520 876 

a12a1 (5)(x x2 x3)a2 a22 a23x2 q12a1 (x x, x3 22a2 a3a23a3人x M =(a1x+012X2+01x301X+0x+023X①13x1+02X2+03x3)x2 =a1x2+a2x2+a32x2+2a12x1x2+2a1x2+2a22x3 3.举反列说明下列命题是错误的 (1)若A2=0,则A=0; 解取A=0 0 则A2=0,但A≠0 2)若A2=A,则A=0或A=E; 解取4(0)0但0且ME (3)若AX=Ay,且A≠0,则XY

(5)                 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx  解                 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)         3 2 1 x x x 322331132112 2 333 2 222 2 111      222 xxaxxaxxaxaxaxa  3 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A2 0 则 A0 解 取        00 10 A  则 A2 0 但 A0 (2)若 A2 A 则 A0 或 AE 解 取        00 11 A  则 A2 A 但 A0 且 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY  解 取

X 01 则AX=AY,且A≠0,但X≠Y 4.设A=/10 求A2,A3,…,A 解A2=(1010 λ1人x1(241 A3=42A 2λ1人1(3元1 A 5.设A=041,求A (002 解首先观察 λ10Y10)(x221 A2=0元10元1=0x22 002人002)(002 33232 A3=A2.A=0 23 322 00O

       00 01 A          11 11 X         10 11 Y  则 AXAY 且 A0 但 XY  4 设        1 01  A  求 A2  A3     Ak  解                    12 01 1 01 1 2 01  A                     13 01 1 01 12 23 01  AAA               1 01 k Ak  5 设             00 10 01 A  求 Ak  解 首先观察                        00 10 01 00 10 01 2 A          2 2 2 00 20 12               3 23 23 23 00 30 33      AAA 

244A362 A=A3.A=024 002x4 25524100 A5=A4·A=0A5 00A5 补kx1(k-Dx 20 008k2 00 用数学归纳法证明 当k=2时,显然成立 假设k时成立,则k+1时, 誉k1A(k-1 -2 AAH=A.A-02k10元1 00 4(+12秒1(+1)x 0x+1(k+1)2-1 0 由数学归纳法原理知

         4 34 234 34 00 40 64      AAA           5 45 345 45 00 50 105      AAA             k A k kk kkk k kk k    00 0 2 )1( 1 21          用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时，                                00 10 01 00 0 2 )1( 1 21 1 k kk kkk kk k kk k AAA                    1 11 111 00 )1(0 2 )1( )1( k kk kkk k kk k     由数学归纳法原理知

21A(k A=0k-1 6.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵 证明因为A=A,所以 (B AB)=B(BA)=BAB=BAB 从而BAB是对称矩阵 7.设A为3阶矩阵,|A,求|2A2-5*1 解因为A A*,所以 A (2小)-5H1A-544144-541 =|-2A-41=(-2)|A1=8|A|-=8×2=16 8.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)2=(A-)* 证明由A=1A*,得A+=1AF,所以当A可逆时,有 A*|=|A|"|A-1|=|A|m1≠0

                k kk kkk k k kk k A    00 0 2 )1( 1 21  6 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BT AB 也是对称矩阵 证明 因为 AT A 所以 (BT AB) T BT (BT A) T BT AT BBT AB 从而 BT AB 是对称矩阵 7 设 A 为 3 阶矩阵 2 1 A||   求|(2A) 1 5A*| 解 因为 * || 1 1 A A A    所以 |||5 2 1 ||*5)2(|  111  AAAAA | 2 5 2 1 |  11 AA |2A1 |(2)3 |A1 |8|A| 1 8216 8 设矩阵 A 可逆 证明其伴随阵 A*也可逆 且(A*)1 (A1 )* 证明 由 * || 1 1 A A A    得 A*|A|A1  所以当 A 可逆时 有 |A*||A| n |A1 ||A| n1 0

从而A*也可逆 因为A*=1A|A,所以 (A*)=|A|A 又A1 1个(4+)*=4()*,所以 (A*)=|A|-A=|A|-A|(A-)*=(A-)* 9.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明: (1)若|A|=0,则|A*|=0 (2)|A+|=Am 证明 (1)用反证法证明.假设|A*|≠0,则有A*(A*)=E,由此得 A=A A*(A*)=AJE(A*) 所以A*=O,这与A*1≠0矛盾,故当A|=0时,有|A*|=0 ()于A=A*,则A=E,取行列式得到 A||A*|=|A|n. 若|A|≠0,则|A+|=A|; 若|A|=0,由(1)知|A*|=0,此时命题也成立 因此|A*|=|A

从而 A*也可逆 因为 A*|A|A1  所以 (A*)1 |A|1 A 又 *)(||)*(|| 1 11 1    AAA A A  所以 (A*)1 |A|1 A|A| 1 |A|(A1 )*(A1 )* 9 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A| n1  证明 (1)用反证法证明 假设|A*|0 则有 A*(A*)1 E 由此得 AA A*(A*)1 |A|E(A*)1 O  所以 A*O 这与|A*|0 矛盾，故当|A|0 时 有|A*|0 (2)由于 * || 1 1 A A A    则 AA*|A|E 取行列式得到 |A||A*||A| n  若|A|0 则|A*||A| n1  若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*||A| n1 