复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第一章部分重要题目的解答

写出4阶行列式中包含因子a123的项,并指出正负号 解:含因子a1l23的项的一般形式为 (-1)a 其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的 项分别是 (-1)a112a2a4=-a1023a3204 11423a34a42 证明 b1+c1c1+a1a1+b1 +b1+c1c1+ +b1 b2+e2c+a2a2+b2=2a2+b+e2e2+a2a2+b2 +C3c3+ +b3 a3+b3+C3C3+a3 a3+b3 证明 +b1 a1+b1+c1c1+ h2+e2c2+a2a2+b2|=22+b2+e2c2+a2a2+b2 b3 +C3 C3+a3 a3 +b3 a3 +b3+ C3 C3 +a3 a3+b3 +C1 bCl 2a2+ hb +C2 +e3b3(3 2 bm2g

1 —41™•ù¹œfa11a23ë, øç—K“. ): ¹œfa11a23ëòÑ/™è (−1)t a11a23a3ra4s, Ÿ•rs¥2⁄4§¸, ˘´¸
k¸á, =24⁄42. §±¹œfa11a23 ë©O¥ (−1)t a11a23a32a44 = −a11a23a32a44 (−1)5 a11a23a34a42 = a11a23a34a42 2 y²       b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3       = 2       a1 + b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 a2 + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a3 + b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3       . y²:       b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3       = 2       a1 + b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 a2 + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a3 + b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3       = 2       a1 + b1 + c1 b1 c1 a2 + b2 + c2 b2 c2 a3 + b3 + c3 b3 c3       = 2       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3       1

由n阶行列式 试证n!个不同的n级排列奇偶各半 证明: 1)r012-n) 132n =∑(-1)+∑1 奇排列 偶排列 所以,上述行列式等于0可推出n级排列奇偶各半 4 数20604,53227,25755,20927和78421都可被17整除,证明行列式 20604 53227 8421 也可被17整除 证明:将第1列的10倍,第2列的103倍,第3列的102倍,第4列的10倍加到 第5列上,得到 206020604 532253227 257525755 209220927 2

3 dn1™         1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 · · · · · · · · · · · · 1 1 · · · 1         = 0 £yn!áÿ”n?¸¤Ûàå. y²:         1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 · · · · · · · · · · · · 1 1 · · · 1         = X j1j2···jn (−1)τ(j1j2···jn) a1j1 a2j2 · · · anjn = X j1j2···jn (−1)τ(j1j2···jn) = X ¤¸ (−1) + X Û¸ 1. §±, ˛„1™u0åÌ—n?¸¤Ûàå. 4 Í20604, 53227, 25755, 20927⁄78421 —å17ÿ, y²1™           2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 2 0 9 2 7 7 8 4 2 1           èå17ÿ. y²: Ú11104, 12103, 13102, 1410 \ 15˛,            2 0 6 0 20604 5 3 2 2 53227 2 5 7 5 25755 2 0 9 2 20927 7 8 4 2 78421           , 2

它的第5列有公因子17,因而行列式可被17整除 个n阶行列式A按反时针或顺时针方向旋转90°后所得行列式B,试 证B|=(-1)|A 证明:设 将其反时针旋转90°,得到 比较A41与Bn容易看出从Bn得到A需2次行交换,因而 n(72 2 顺时针的情况同理可证. 6 设a1≠0,讠=1 试证 1+a11 1 1+a2 a11+ 1+ 1+an 证明:从第1列中减去第2列,从第2列中减去第3列,…,从第(n-1)列中

ß15k˙œf17, œ 1™å17ÿ. 5 òán1™|A|Uáû½^ûêï^=90◦￾§1™|B|, £ y|B| = (−1) n(n−1) 2 |A|. y²:  |An| =       a11 · · · a1n · · · · · · · · · an1 · · · ann       . ÚŸáû^=90◦ ,  |Bn| =       a1n · · · ann · · · · · · · · · a11 · · · an1       . '|AT n |Ü|Bn|, N¥w—l|Bn||AT n |In(n−1) 2 g1Ü, œ |Bn| = n(n − 1) 2 |A T n | = n(n − 1) 2 |An|. ^ûú¹”nåy. 6 ai 6= 0, i = 1, 2, · · · , n. £y             1 + a1 1 1 · · · 1 1 1 1 + a2 1 · · · 1 1 1 1 1 + a3 · · · 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 1 + an−1 1 1 1 1 · · · 1 1 + an             = Yn i=1 ai 1 +Xn i=1 1 ai ! . y²: l11•~12, l12•~13, ......, l1(n − 1)• 3

减去第n列,得 1+a 11 1+1:110 111 1+ 1 000 1 11.1 n-1 000 1+a 1 1-0.00100.00 110 01/ 1/ 10 0 ai i=1 00 00 iu)(+

~1n,              1 + a1 1 1 · · · 1 1 1 1 + a2 1 · · · 1 1 1 1 1 + a3 · · · 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 · · · 1 + an−1 1 1 1 1 · · · 1 1 + an             =             a1 0 0 · · · 0 1 −a2 a2 0 · · · 0 1 0 −a3 a3 · · · 0 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · an−1 1 0 0 0 · · · −an 1 + an             = Yn i=1 ai             1 0 0 · · · 0 1/a1 −1 1 0 · · · 0 1/a2 0 −1 1 · · · 0 1/a3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 1/an−1 0 0 0 · · · −1 1 + 1/an             = Yn i=1 ai             1 0 0 · · · 0 1/a1 0 1 0 · · · 0 P2 i=1 1/ai 0 0 1 · · · 0 P3 i=1 1/ai · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 Pn−1 i=1 1/ai 0 0 0 · · · 0 1 + Pn i=1 1/ai             = Yn i=1 ai ! 1 +Xn i=1 1 ai ! . 4

7 设 yy x20.00 y00.0 00 00 (1)求An的递推公式 2)利用递推公式求An 解:递推公式为 n|=x|A2-1|+(-1)n+ n>2. 其特征方程为t-x=0,解之,得到特征根t=x.因而,可以设此递推公 式的通解为 JAn=k"+k22 代入初值|A1|=x,|A2|=x2-y2, k1C+k2 lk1z2+k2 解得=三=+y,k2=-(x2因此, (x2-x2+ 用数学归纳法证明n阶行列式 B aB 0 0 0 0 a+B 0 1.00 B 0 a+B aB 5

7  |An| =             x y y · · · y y z x 0 · · · 0 0 0 z x · · · 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · x 0 0 0 0 · · · z x             (1) ¶|An|4Ì˙™; (2) |^4Ì˙™¶|An|. ): 4Ì˙™è |A1| = x |An| = x|An−1| + (−1)n+1yzn−1 n ≥ 2. ŸAêßèt − x = 0, )É, Aät = x. œ , å±d4Ì˙ ™œ)è |An| = k1x n + k2z n . ì\–ä|A1| = x, |A2| = x 2 − yz, ( k1x + k2z = x k1x 2 + k2z 2 = x 2 − yz , )k1 = x 2−xz+yz x(x−z) , k2 = − xy x(x−z) . œd, |An| = (x 2 − xz + yz)x n − xyzn x(x − z) . 8 ^ÍÆ8B{y²n1™             α + β αβ 0 · · · 0 0 1 α + β αβ · · · 0 0 0 1 α + β · · · 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · α + β αβ 0 0 0 · · · 1 α + β             = α n+1 − β n+1 α − β . 5

证明:将题目中的n阶行列式记做An A1=a+B==,144=(+82-08=.命题成立 (2)假设n=k时命题成立,则n=k+1时 Ak+1l=(a+B))Ak|-aB Ak-lI (a+B) 命题成立 试用克莱姆法则解线性方程组 ∫x +x2+2x3+3x4=1 +3x2-x x1+2x2+3r3 解:方程组的系数行列式为 1123 A 153 23-1-1 141≠0,由克莱姆法则,方程组有如下唯一解: A2=|A A 6

y²: ÚK8•n1™Pâ|An|. (1) n = 1, 2 |A1| = α + β = α 2−β 2 α−β , |A2| = (α + β) 2 − αβ = α 3−β 3 α−β . ·K§·. (2) bn = kû·K§·, Kn = k + 1û |Ak+1| = (α + β)|Ak| − αβ|Ak−1| = (α + β) α k+1 − β k+1 α − β − αβ α k − β k α − β = α k+2 − β k+2 α − β . ·K§·. 9 £^é40{K)Ç5êß|    x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4 2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6 x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4 . ): êß|XÍ1™è |A| =         1 1 2 3 3 −1 −1 −2 2 3 −1 −1 1 2 3 −1         = −153. |A| 6= 0, dé40{K, êß|kXeçò): x1 = |A1| |A| , x2 = |A2| |A| , x3 = |A3| |A| , x4 = |A4| |A| , 6

其中 All 153 423-1 1123 11321 13 1-4-2 3-6 0 1-A4l 1321 153. 3-1-6 23 代入上式,得到 0 10 计算行列式 0a120 0b10b1 0 a2n 0b210b22…0b2 0an20 ann 0 的值

Ÿ• |A1| =         1 1 2 3 −4 −1 −1 −2 −6 3 −1 −1 −4 2 3 −1         = 153, |A2| =         1 1 2 3 3 −4 −1 −2 2 −6 −1 1 1 −4 3 −1         = 153, |A3| =         1 1 1 3 3 −1 −4 −2 2 3 −6 −1 1 2 −4 −1         = 0, |A4| =         1 1 2 1 3 −1 −1 −4 2 3 −1 −6 1 2 3 −4         = −153. ì\˛™,  x1 = −1, x2 = −1, x3 = 0, x4 = 1. 10 Oé1™               a11 0 a12 0 · · · a1n 0 0 b11 0 b12 · · · 0 b1n a21 0 a22 0 · · · a2n 0 0 b21 0 b22 · · · 0 b2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 0 an2 0 · · · ann 0 0 bn1 0 bn2 · · · 0 bnn               ä. 7

0a120 0b210b2 0 b 0 0 b, 0 b 0a120 ain 0 a2n 0 0 0 0b110b1 0b1 0b210b2 , 0 b a1n00 0 2n00 00 0 00 0b11b1 0b21b2 0 b,1 b 12…anb1b a21a22 a2n b21 b2 1

):               a11 0 a12 0 · · · a1n 0 0 b11 0 b12 · · · 0 b1n a21 0 a22 0 · · · a2n 0 0 b21 0 b22 · · · 0 b2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 0 an2 0 · · · ann 0 0 bn1 0 bn2 · · · 0 bnn               =(−1)1+2+···+(n−1)                 a11 0 a12 0 · · · a1n 0 a21 0 a22 0 · · · a2n 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 0 an2 0 · · · ann 0 0 b11 0 b12 · · · 0 b1n 0 b21 0 b22 · · · 0 b2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 bn1 0 bn2 · · · 0 bnn                 =                 a11 a12 · · · a1n 0 0 · · · 0 a21 a22 · · · a2n 0 0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 b11 b12 · · · b1n 0 0 · · · 0 b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 0 bn1 bn2 · · · bnn                 =         a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann                 b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · bn1 bn2 · · · bnn         . 8