复旦大学计算机科学技术学院 2011-2012学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 A卷共9页 课程代码:cOMP120004.02 考试形式:口开卷國闭卷 2012年6月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 十十 十|总分 得分 、名词解释(10%) 1.n阶行列式 ⌒装订线内不要答题 2矩阵的三种初等行变换及其对应的初等行变换矩阵 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复旦大学计算机科学技术学院 2011-2012 学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 A 卷 共 9 页 课程代码：COMP120004.02 考试形式：□开卷 □√闭卷 2012 年 6 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、名词解释（10%） 1. n 阶行列式 2. 矩阵的三种初等行变换及其对应的初等行变换矩阵
3.向量组的极大线性无关子组以及向量组的秩 4.分别写出非齐次方程组Ax=b的解存在与齐次方程组Ax=0的解存在的充分必要条件 5.n阶A-矩阵A(A)的不变因子 第2页
第 2 页 3. 向量组的极大线性无关子组以及向量组的秩 4. 分别写出非齐次方程组 Ax = b 的解存在与齐次方程组 Ax = 0 的解存在的充分必要条件 5. n 阶 - 矩阵 A() 的不变因子
、选择题(10%) 1改变一个n阶行列式A的每一个元素的正负号,其值将变为 B.-|4 C.(-)24D.(-1)”4 2在n阶行列式4中将第行第j列的元素乘以(-1)-(,j=12;…n),其值变为 B.(-)”A 3.假设A,B都为n阶矩阵,k为实常数,下列正确的是 A.若A=0,则A=0 B.k4=k‖4 .A+B3A+B DAB=AB ⌒装订线内不要答题 4.假设D= 其中A为m阶可逆矩阵,B为n阶矩阵,C为m×n矩阵,则 0 B A. mn( ra, rB) B. maxra, rB) C.IaR D. ra+rB 5.n阶实对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域R上的线性空间V,此空间的 维数为 n(n+1) 填空题(10%) 1234x 32 1.已知f(x) 2-x000 则x3的系数为 0000 2.假设A是n阶矩阵A(n>1)伴随矩阵,则det(A)= 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、选择题（10%） 1. 改变一个 n 阶行列式 A 的每一个元素的正负号，其值将变为 。 A. A B. − A C. A n n 2 ( 1) ( 1) − − D. A n (−1) 2. 在 n 阶行列式 A 中将第 i 行第 j 列的元素乘以 ( 1) (i, j 1,2, ,n) i j − = − ，其值变为 。 A. A B. A n (−1) C. A n 2 (−1) D. − A 3. 假设 A, B 都为 n 阶矩阵， k 为实常数，下列正确的是 。 A. 若 A = 0 ，则 A = 0 B. kA = k A C. A+ B A + B D. AB = A B 4. 假设 = B A C D 0 ，其中 A 为 m 阶可逆矩阵， B 为 n 阶矩阵， C 为 mn 矩阵，则 rD = 。 A. min( , ) A B r r B. max( , ) A B r r C. AB r D. A B r + r 5. n 阶实对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域 R 上的线性空间 V ，此空间的 维数为 。 A. n B. 2 n C. n! D. 2 n(n +1) 三、填空题（10%） 1. 已知 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 5 2 3 0 0 1 2 3 4 0 ( ) x x x x x f x − − = ，则 5 x 的系数为 。 2. 假设 * A 是 n 阶矩阵 A (n 1) 伴随矩阵，则 det( ) = * A
3.假设A,B分别是m,n阶可逆矩阵,C是m×n矩阵,分块矩阵为 D B0/则D 4假设a1,a2,a3是非齐次方程组Ax=b的解,a=a1+aa2-3a3,则a是Ax=b的解的 充要条件是a= :a是齐次方程组Ax=0的解的充要条件是a= 5假设A是n阶可逆矩阵,λ是A的特征值,则相应地,A-的特征值等于:f(A) 的特征值等于 ,其中f(A)是p次多项式。 四、是非题(10% 1.假设A是m×n矩阵,其秩为r,则A中必定存在一个r-1阶子式不为零。【】 2假设A是m×n矩阵,对于线性方程组Ax=b,有r=n,则此方程必有解。【】 3.假设A是m×n矩阵,它的m个行向量线性无关,则它的n个列向量也线性无关。【】 4.假设R为实数域,C为复数域,则复数域C是R上的线性空间 5假设AB都是n阶矩阵,且n-4=1n-B,则A与B相似。 五、行列式计算(10%) 1行列式A=a 第4页
第 4 页 3. 假设 A, B 分别是 m, n 阶可逆矩阵， C 是 mn 矩阵，分块矩阵为 = B 0 C A D ，则 −1 D = 。 4. 假设 1 2 3 , , 是非齐次方程组 Ax = b 的解， = 1 + a 2 − 33 ，则 是 Ax = b 的解的 充要条件是 a = ； 是齐次方程组 Ax = 0 的解的充要条件是 a = 。 5. 假设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则相应地， −1 A 的特征值等于 ； f (A) 的特征值等于 ，其中 f (A) 是 p 次多项式。 四、是非题（10%） 1. 假设 A 是 mn 矩阵 ，其秩为 r ，则 A 中必定存在一个 r −1 阶子式不为零。 【 】 2. 假设 A 是 mn 矩阵，对于线性方程组 Ax = b ，有 rA = n ，则此方程必有解。 【 】 3. 假设 A 是 mn 矩阵，它的 m 个行向量线性无关，则它的 n 个列向量也线性无关。【 】 4. 假设 R 为实数域， C 为复数域，则复数域 C 是 R 上的线性空间。 【 】 5. 假设 A, B 都是 n 阶矩阵，且 I n − A = I n − B ，则 A 与 B 相似。 【 】 五、行列式计算（10%） 1. 行列式 a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a An − − − − =
六、计算逆阵(10%) 0 ⌒装订线内不要答题 第
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 六、计算逆阵（10%） 1. = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A
七、计算非齐次方程组的通解(10‰ 2x1+x2 x5 x 3x1+3 3x1+4 7 4 5 5x1+7 第6页
第 6 页 七、计算非齐次方程组的通解(10%)： 1. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 4 2 1 3 3 3 3 4 7 4 5 5 5 7 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − + = − + + − = + − − + = + − − + =
八、计算题(10% 1在线性空间Px]3中, (1)求由基(D):1,x,x2,x3到基(I):11+x,1+x+x2,1+x+x2+x3的过渡矩阵 (2)已知g(x)在基(I)下的坐标为(10,-2,5),f(x)在基(I)下的坐标为(7,0,8-2) 求f(x)+g(x)分别在基(I)和基(I)下坐标。 ⌒装订线内不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 八、计算题（10%） 1. 在线性空间 3 P[x] 中， （1）求由基（I）： 2 3 1, x, x , x 到基（II）： 2 2 3 1,1+ x,1+ x + x ,1+ x + x + x 的过渡矩阵； （2）已知 g(x) 在基（I）下的坐标为 T (1,0,−2,5) ， f (x) 在基（II）下的坐标为 T (7,0,8,−2) ， 求 f (x) + g(x) 分别在基（I）和基（II）下坐标
九、证明题(20%) 1.假设A,B为n阶矩阵,且Mn+AB可逆,其中Ln是n阶的单位阵,A是任意给定的实 数,证明:Mn+BA也可逆,并求(n+BA) 第8页
第 8 页 九、证明题（20%） 1. 假设 A, B 为 n 阶矩阵，且 I n + AB 可逆，其中 n I 是 n 阶的单位阵， 是任意给定的实 数，证明： I n + BA 也可逆， 并求 1 ( ) − I n + BA
2.设V是实数域R上的n维线性空间,T是上的线性变换,且72=T+2n,其中T不 为纯量阵,Jn是V上的恒等变换。证明 (1)T的特征值-1和2, (2)对任意的向量∈V,有(7+)∈V2,(T-2ln)∈V1 (3)V=V1+V2且V1∩H2={0},其中V1与2分别是属于-1与2的特征子空间。 ⌒装订线内不要答题 第9页
第 9 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2. 设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， T 是 V 上的线性变换，且 n T T 2I 2 = + ，其中 T 不 为纯量阵， n I 是 V 上的恒等变换。证明： （1） T 的特征值-1 和 2; （2）对任意的向量 V ，有 2 1 ( ) , ( 2 ) T I V T I V n n + − − ； （3） V =V−1 +V2 且 {0} V−1 V2 = ，其中 V−1 与 V2 分别是属于-1 与 2 的特征子空间
