例4用初等行变换法求A的逆矩阵 012 4,求A- 2-10 解 012:100 114:010 14:010-m12,012:100 2-10001 2-10:00 14010 14010 R3-2R 012100|R3+3R2 0-38:0-2 00-23-2
例4 用初等行变换法 求A的逆矩阵 , . 2 1 0 1 1 4 0 1 2 −1 − A = 求A 解 →R12 − = 2 1 0 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 (A I) 2 −1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 → R3− 2R1 → R3+ 3R2 0 −3 −8 0 −2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 −2 3 −2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 **
114:010 110:6-32 01 0 010:4-21 00-2:3-2 00-23-21 100:2-1 —)0104-2 00-23-21 001 所以 3
→ + + 1 2 3 2 3 R R R R → R1− R2 → − − −− = − 21 1 234 2 1 2 1 1 1 A 所以 0 0 −2 3 −2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 − −−− 0 0 2 3 2 1 0 1 0 4 2 1 1 1 0 6 3 2 − −−− 0 0 2 3 2 1 0 1 0 4 2 1 1 0 0 2 1 1 − − −− 21 1 23 0 0 1 0 1 0 4 2 1 1 0 0 2 1 1
1用初等行变换法求逆,只能对(A进行行变换:(A)只能左乘 2变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换: (AI) 只能左乘 2 变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆
小结 n阶方阵A可逆分彐n阶方阵B,AB=BA=Ⅰ A|≠0,而且A-1=A A →A可表示为一些初等矩阵的乘积 求逆矩阵的方法 (1)、由AB=/琙或BA=L(待定系数法)定义法) 2)、求伴随矩阵.(阶数较低)(公式法) (3)、初等变换的方法(初等变换法) (4)、分块矩阵的方法
小结 . | | 1 | | 0 , . −1 ∗ ⇔ ≠ = ⇔ ∃ = =A A A A n A n B AB BA I ，而且 阶方阵 可逆 阶方阵 ⇔ A可表示为一些初等矩阵的乘积。 求逆矩阵的方法： (2)、求伴随矩阵.（阶数较低）(公式法) (1)、由AB=I或BA=I.(待定系数法)(定义法) (3)、初等变换的方法(初等变换法) (4)、分块矩阵的方法
20 例把可逆矩阵A=-111分解为初等矩阵的乘积 解对A进行如下初等变换 120 11 c2-2c1-131n+n -37031 3-80 3-80 0-80 100 100 c32013c3-3c2010 (背 3010 00-8 00-8 00 与每次初等交换对应的矩阵分别为 100 B引010 R彐010 001 30 00-1/8
例 把可逆矩阵 解 对 A 进行如下初等变换: − − 3 2 0 1 1 1 1 2 0 − − 3 8 0 1 3 1 1 0 0 3 − 8 0 0 3 1 1 0 0 0 − 8 0 0 3 1 1 0 0 0 0 − 8 0 1 3 1 0 0 − − 3 2 0 1 1 1 1 2 0 A = 分解为初等矩阵的乘积. 3 3 2 c − c 2 1 r + r 2 2 1 c − c 3 2 c ↔ c 3 3 1 r − r 0 0 − 8 0 1 0 1 0 0 . 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 8 1 c − 与每次初等交换对应的矩阵分别为: P1 = , 0 0 1 1 1 0 1 0 0 P2 = , 3 0 1 0 1 0 1 0 0 − P3 = , 0 0 8/1 0 1 0 1 0 0 −
1-20 00 Q1=010 001 01-3 其中P1为行变换的初等矩阵,Q,为列变换的初等矩 阵,其逆矩阵分别为 00 110 010 P=01 001 301 010 001 013 00 010 001 于是A=PP2PQQ 100Y/100/100)(10010012 110‖010‖010 013‖001010 001八301八00 001八0
Q1= , 0 0 1 0 1 0 1 2 0 − , 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Q2= , 0 0 1 0 1 3 1 0 0 = − Q3 其中 Pi 为行变换的初等矩阵, Qj 为列变换的初等矩 阵, 其逆矩阵分别为: , 0 0 1 1 1 0 1 0 0 = − −1 P1 = −1 P2 , 3 0 1 0 1 0 1 0 0 = −1 P3 , 0 0 8 0 1 0 1 0 0 − 于是 1 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1− − − − − − A = P P P Q Q Q , 0 0 1 0 1 0 1 2 0 = −1 Q1 , 0 1 0 0 0 1 1 0 0 = −1 Q2 , 0 0 1 0 1 3 1 0 0 = −1 Q3 . 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 3 1 0 0 ⋅ − − 0 0 8 0 1 0 1 0 0 3 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 =
例求下列n阶方阵的逆阵:A a1≠0(i=1,2,,m,A中空自处表示为零 a1 解 1/ 所以A 1
例 求下列 n 阶方阵的逆阵: a 0 ( i 1,2, ,n), i ≠ = L A 中空白处表示为零. 解 an a a N 2 1 1 1 1 O − 1 1 a a a n n O 1 1 1 N 1 1 1 O , 1 / /1 1 / 1 2 a a a n N n a a a N 2 1 A = 所以 . /1 /1 /1 1 2 a a a n N = − 1 A
四用初等变换法求解矩阵方程AX=B 问题:求矩阵X,使AX=B,其中A为可逆矩阵 方法:易见该问题等价于求矩阵X=AB 再利用初等行变换求逆阵的方法,计算矩阵AB A(A B)=(E A B) 即 (AB)→>(EAB) 初等行变换 同理,求解矩阵方程XA=B, 等价于计算矩阵BA, 则可利用初等列变换, 计算矩阵BA 即 初等列变换 E B BA 注意:也可改为对4,B)作初等行变换
四.用初等变换法求解矩阵方程 AX = B 问题: 求矩阵 X, 使 AX = B, 其中 A 为可逆矩阵. 方法: 易见该问题等价于求矩阵 . 1 X A B− = 再利用初等行变换求逆阵的方法, 计算矩阵 . 1 A B− Q ( ) ( ) 1 1 A A B E A B − − = 即 初等行变换 同理, 求解矩阵方程 XA = B, 等价于计算矩阵 , −1 BA 则可利用初等列变换, 计算矩阵 , −1 BA 即 BA −1 BAE 初等列变换 注意: 也可改为对( , ) T T A B 作初等行变换. ( ) ( ) 1 A B E A B → −
220 例求解矩阵方程AX=A+X, 其中A=213 解先将原方程作恒等变形为: 010 (A-E)X=A,则Y=(A-E)A 120220 20:220 R2-2RI (A-EA=203213 01-1:010 01-1010 0-43 120:220 R+R2 120:220 -B 601-1:010 01020 0012-1-3 0012-1 00-226 R-2巴 01020-3 即得X=20-3 2-1-3 001:2-1-3
例 求解矩阵方程 AX = A + X , 其中 解 先将原方程作恒等变形为: ( A − E ) X = A, 则 即得 ( ) . 1 X A E A − = − . 0 1 0 2 1 3 2 2 0 A= − − = 0 1 1 0 1 0 2 0 3 2 1 3 1 2 0 2 2 0 ( A E A ) − − − → − − 0 4 3 2 3 3 0 1 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 23 2 2 1 R R R − − → − − + 0 0 1 2 1 3 0 1 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 3 3 4 2 R R R − − → − + 0 0 1 2 1 3 0 1 0 2 0 3 1 2 0 2 2 0 R 2 R3 − − − − →− 0 0 1 2 1 3 0 1 0 2 0 3 1 0 0 2 2 6 R1 2R2 . 2 1 3 2 0 3 2 2 6 − − − − X =
2 1、设A= 将A表示成初等矩阵的乘积。 解 12 10 应-3 R+R2 R 即 10 10 0 0 所以 A 01 0 0 0-2
1、设 , 3 4 1 2 A= 将A表示成初等矩阵的乘积。 解 3 4 1 2 → R2−3R1 0 − 2 1 2 → R1+R2 0 − 2 1 0 → − 2 21R 0 1 1 0 即 − 3 1 1 0 0 1 1 1 − 21 01 0 = 0 1 1 0 所以 0 1 1 0 1 21 01 0 − − 1 0 1 1 1 − 1 3 1 1 0 − − = 3 1 1 0 − 0 1 1 1 0 −2 1 0 A A =