复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第四章补充题目

第四章补充题目 1.设 v={x=(x,x2,…,xn)x1,…,xn∈R满足x1+x2+…+xn=0}, v={x=(x,x2,…,x)x1,,xn∈R满足x1+x2+…+xn=1}, 问,V2是不是向量空间?为什么? 解是向量空间,因为任取 a=(a1,a2…an)∈V1,B=(b1,b2,…,bn)∈V,A∈∈R, 有 a1+a2+·…+an=0, b1+b2+…+bn=0, 从而(a1+b)+(a2+b2)+…+(an+bn) n)+(b1+b2+…+bn)=0, a1+a2+…+an=l(a1+a2+…+an)=0, 所以α+B(a1+b,a2+b2,…,an+b)∈v, λ∝=(a1,a2,…,lan)∈V1 v2不是向量空间,因为任取 a=(a1,a2,…,an)∈V,B=(b1,b2,…,bn)∈V 有 a1+a2+……+an=1, b1+b2+…+bn=1

第四章补充题目 1 设 V1{x(x1 x2  xn) T | x1  xnR 满足 x1x2 xn0} V2{x(x1 x2  xn) T | x1  xnR 满足 x1x2 xn1} 问 V1 V2是不是向量空间？为什么？ 解 V1是向量空间 因为任取 (a1 a2  an) T V1 (b1 b2  bn) T V1 R 有 a1a2 an0 b1b2 bn0 从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)0 a1a2 an(a1a2 an)0 所以 (a1b1 a2b2  anbn) T V1 (a1 a2  an) T V1 V2不是向量空间 因为任取 (a1 a2  an) T V1 (b1 b2  bn) T V1 有 a1a2 an1 b1b2 bn1

从而(a1+b2)+(a2+b2)+…+(an+bn) (a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=2, 所以aG=(a1+b1,a2+b +bn)∈V1 2.试证:由a1=(0,1,1),a2=(1,0,1),a3=(1,1,0)所生成 的向量空间就是R3 证明设A=(a1,a2,a3),由 A=101=-2≠0 知R(4)=3,故a1,a2a3线性无关,所以a,a2,a3是三维空间 R3的一组基,因此由a,a2,a3所生成的向量空间就是R 3.由a=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,1)所生成的向量空间记 作v由b1=(2,-1,3,3),b2=(0,1,-1,-1)所生成的向量空间记作 v,试证V1=V2 证明设A=(a1,a2),B=(b1,b2).显然R(A)=R(B)=2,又由

从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)2 所以 (a1b1 a2b2  anbn) T V1 2 试证 由 a1(0 1 1)T  a2(1 0 1)T  a3(1 1 0)T 所生成 的向量空间就是 R3 . 证明 设 A(a1 a2 a3) 由 02 011 101 110 A||   知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3是三维空间 R3的一组基, 因此由 a1 a2 a3所生成的向量空间就是 R3 . 3 由 a1(1 1 0 0)T  a2(1 0 1 1)T 所生成的向量空间记 作V1,由b1(2 1 3 3)T  b2(0 1 1 1)T 所生成的向量空间记作 V2, 试证 V1V2. 证明 设 A(a1 a2) B(b1 b2) 显然 R(A)R(B)2 又由

120 l120 (4,B)=013-1~0000 013-1)(0000 知R(A,B)=2,所以RA)=R(B)=R(A,B),从而向量组a1,a2与向 量组b1,b2等价.因为向量组a1,a2与向量组b1,b2等价,所以这 两个向量组所生成的向量空间相同,即V=V2 4.验证a1=(1,-1,0)},a2=(2,1,3),a3=(3,1,2)为R的 个基,并把v=(5,0,7),v2=(9,-8,-13)用这个基线性表示 解设A=(a,a2,a).由 (a,a2)上=111=-6≠0, 032 知R(A)=3,故a1,a2,a3线性无关,所以a1,a2,a3为R3的一个 基 设x1a1+x2a2+x3a3=V1,则 x+2x2+3x1=5 3x,+2x3=7 解之得x1=2,x2=3,X3=-1,故线性表示为v1=2a1+3a2-a3

                         0000 0000 1310 0211 1310 1310 1101 0211 ) ,( ~ r BA  知 R(A B)2 所以 R(A)R(B)R(A B) 从而向量组 a1 a2与向 量组 b1 b2等价 因为向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价 所以这 两个向量组所生成的向量空间相同 即 V1V2. 4 验证 a1(1 1 0)T  a2(2 1 3)T  a3(3 1 2)T为 R3的一 个基, 并把 v1(5 0 7)T  v2(9 8 13)T 用这个基线性表示. 解 设 A(a1 a2 a3) 由 06 230 111 321 |) , ,(| aaa 321   知 R(A)3 故 a1 a2 a3线性无关 所以 a1 a2 a3为 R3的一个 基. 设 x1a1x2a2x3a3v1 则          723 0 532 32 321 321 xx xxx xxx  解之得 x12 x23 x31 故线性表示为 v12a13a2a3

设x1a1+x2a2+x3a=v,则 x1+2x+32=-9 x+x,+x3 3x2+2x3=-13 解之得x1=3,x2=-3,x3=-2,故线性表示为v2=3a1-3a2-2a3 5.已知R3的两个基为 a1=(1,1,1),a2=(1,0,-1),a3=(1,0,1 b=(1,2,1),b2=(2,3,4),b=(3,4,3) 求由基a1,a2,a3到基b,b,b3的过渡矩阵P 解设e1,e,e3是三维单位坐标向量组,则 (a12a2a3)=(ee2,e3米100 e2,e3)=( 100 123 于是(b,b,b)=(e,2,234 143

设 x1a1x2a2x3a3v2 则          1323 8 932 32 321 321 xx xxx xxx  解之得 x13 x23 x32 故线性表示为 v23a13a22a3 5 已知 R3的两个基为 a1(1 1 1)T  a2(1 0 1)T  a3(1 0 1)T  b1(1 2 1)T  b2(2 3 4)T  b3(3 4 3)T  求由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵 P 解 设 e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则           111 001 111 ) , ,() , ,( 321321 eeeaaa  1 321321 111 001 111 ) , ,() , ,(            aaaeee  于是          341 432 321 ) , ,() , ,( 321321 eeebbb

100234 1-11143 由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵为 P=100234=0-10 10-1 6.试用施密特法把下列向量组正交化: (1)(a,a2an)=124| 139 解根据施密特正交化方法, b b2=d2"b, b3 b=0 b (b,,asl b2 b (2)(a,an2a)70-11 101 110

                   341 432 321 111 001 111 ) , ,( 1 321 aaa  由基 a1 a2 a3到基 b1 b2 b3的过渡矩阵为                             101 010 432 341 432 321 111 001 111 1 P  6 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)          931 421 111 ) , ,( 321 aaa  解 根据施密特正交化方法          1 1 1 11 ab           1 0 1 ],[ ],[ 1 11 21 22 b bb ab ab           1 2 1 3 1 ],[ ],[ ],[ ],[ 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab  (2)               011 101 110 111 ) , ,( 321 aaa 

解根据施密特正交化方法, h,=a b2 b, a b, bI 2 b2=a3 b (b2, a,) by 6, b [b2, b, 7.下列矩阵是不是正交阵: 23 (1) 32 解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵 198 99 999 447 999

解 根据施密特正交化方法             1 1 0 1 11 ab              1 2 3 1 3 1 ],[ ],[ 1 11 21 22 b bb ab ab             4 3 3 1 5 1 ],[ ],[ ],[ ],[ 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab  7 下列矩阵是不是正交阵: (1)                  1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 ; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2)                  9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 

解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交, 故为正交阵. 8.设x为n维列向量,xx=1,令H=E-2x,证明H是对 称的正交阵 证明因为 H=(E-2x)=E-2xx)=E-2(xx) E-2(x)x=E-2XX 所以H是对称矩阵 因为 HH=HH=(E-2XX(E-2XX =E-2Xx-2Xx+(2xx)(2X) =E-4xx+4x( x x x =E-4XX+4xx E, 所以H是正交矩阵. 9.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵 证明因为A,B是n阶正交阵,故A=A,B-1=B, (AB)(AB=B'A'AB=B AAB=E 故AB也是正交阵

解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵 8 设 x 为 n 维列向量 x T x1 令 HE2xxT  证明 H 是对 称的正交阵 证明 因为 HT (E2xxT ) T E2(xxT ) T E2(xxT ) T E2(x T ) T x T E2xxT  所以 H 是对称矩阵 因为 HT HHH(E2xxT )(E2xxT ) E2xxT 2xxT (2xxT )(2xxT ) E4xxT 4x(x T x)x T E4xxT 4xxT E 所以 H 是正交矩阵 9 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A1 AT  B1 BT  (AB) T (AB)BT AT ABB1 A1 ABE 故 AB 也是正交阵