复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第三章 线性方程组（3/3）

§4线性方程组的解的结构 引言 问题:什么是线性方程组的解的结构? 答:所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程组有无限 多个解时,解与解之间的相互关系 备注 当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构 下面的讨论都是假设线性方程组有解

引言 问题：什么是线性方程组的解的结构？ 答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系． §4 线性方程组的解的结构 多个解时，解与解之间的相互关系． 备注：
当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
下面的讨论都是假设线性方程组有解．

解向量的定义 定义:设有齐次线性方程组Ax=0,如果 119 219 为该方程组的解,则 21 称为方程组的解向量

解向量的定义 定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x1 = ξ11，x2 = ξ21，...， xn = ξn1 为该方程组的解，则 11   ξ  称为方程组的解向量． 11 21 n1 ξ ξ ξ     =       M

齐次线性方程组的解的性质 性质1:若x=51,x=52是齐次线性方程组Ax=0的解, 则x=51+2还是Ax=0的解 证明:A(51+52)=A51+A52=0+0=0 性质2:若x=5是齐次线性方程组Ax=0的解,k为实数, 则x=k还是Ax=0的解 证明:4(k2)=k(A5)=k0=0

齐次线性方程组的解的性质 性质1： 若 x = ξ1， x = ξ2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2： 若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．

结论:若x=5,x=52,…,x=5是齐次线性方程组Ax=0 的解,则x=k151+k252+…+k,5还是Ax=0的解 口已知齐次方程组Ax=0的几个解向量,可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解 口能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表 示出来? 口把Ax=0的全体解组成的集合记作S,若求得S的一个 极大无关组S;x=5,x=52,…,x=5,那么Ax=0的 通解可表示为x=k151+k22+…+kl 口齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系(不唯一)

结论：若 x = ξ1, x = ξ2, ...,, x = ξt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1ξ1 + k2ξ2 + … + ktξt 还是 Ax = 0 的解. 已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解 ，可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解． 能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表 示出来？ 把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 极大无关组S0：x = ξ1, x = ξ2, ...,, x = ξt，那么Ax = 0 的 通解可表示为 x = k1ξ1 + k2ξ2 + … + ktξt ． 齐次线性方程组的解集的极大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系（不唯一）．

回顾:向量组的秩的概念 定义:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1,a2,…, a,满足 ①向量组A:a1,a2,…,a线性无关; ②向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的 话)都线性相关; ②向量组A中任意一个向量都能由向量组A线性表示; 那么称向量组A是向量组A的一个极大无关组 向量组的极大无关组一般是不唯一的. 返回

回顾：向量组的秩的概念 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的 话）都线性相关； ②' 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大无关组． 向量组的极大无关组一般是不唯一的． 返回

基础解系的概念 定义:齐次线性方程组Ax=0的一组解向量:51,52, 如果满足 ①51,52,…,5线性无关; ②方程组中任意一个解都可以表示51,52,…,的线性组合, 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系

基础解系的概念 定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ 1, ξ 2, ..., ξr 如果满足 ① ξ 1，ξ 2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ 1, ξ 2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．

设R(A=为叙述方便 不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组 10 0b1 b +b1x+1+…+b1m=xn=0, 0 b b, 2,n-r +b21x+1+…+b2nxn=0, B00 1 b b +b1x+1+…+b 00∴00 00 00 00 令xA1,…,xn作自由变量, 00 00 前r列 后 列 x1=-b1x+1-…一bnxn

设 R ( A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵 为 对应的齐次线性方程组 令 x , …, x 作自由变量， 11 1, 21 2, ,1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r b b b b b b B −−−             =       L L L L M M M M M L L L L L L 1 11 1 1, 2 21 1 2, 1 1 , 0, 0, 0. r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + −  + + + =  + + + =  + + + =  LL LLL 前 r 列 后 n - r 列 令 xr+1, …, xn 作自由变量， 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n×           L L M M M M M L L 1 11 1 1, 2 21 1 2, 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + −  = − − −  = − − −  = − − −  LL LLL

=-b1x,+1-b2x,+2-…一b h2 x1=-b b,2x+2 齐次线性方 程组的通解 合x+ r+2 n=cnr,则 b1 NI-P 1C1 HI-P b 2 b C1 =c1|+c1|+…+cnr C 0 0 0 x HI-P 记作x=c11+c252+…+cnnr.(满足基础解系②)

1 11 1 1,n r n r x b c b c − − − − −             L M M 令 xr+1 = c 1, xr+2 = c 2, …, xn = cn-r ，则 11 12 1,n r b b b − − − −                         M M M 齐 次 线性方 程 组的通解 1 11 1 12 2 1, 2 21 1 22 2 2, 1 1 2 2 , , , . r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x + + − + + − + + −  = − − − −  = − − − −  = − − − −  LL LL L 1 1 , 1 1 r r r n r n r r n n r x b c b c x c x c− − + −         − − −     =                     M M L M O 1 2 , 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 r r r n r n r b b b c c c − −             − − −       = + + +                                     L M M M 记 作 x = c 1ξ1 + c 2ξ2 + … + c n-rξn-r ．（ 满足基 础解系 ② ）

b1-b2… 前r行 后n-r行 列 故R(51,2,…,5nr)=n-r 即51,2,…,5n线性无关.(满足基础解桑①) 于是的12,…,5n就是齐次线性方程组Ax=0的基础解 系

11 12 1, 21 22 2, ,1 ,2 , 1 2 ( , , , ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξ ξ ξ −−− −   − − −   − − −       − − −   =               LL M M M L L LL M M M L n − r 列 前 r 行 后 n − r 行 n − r 列 故 R(ξ1, ξ2 , … , ξn-r ) = n − r ， 即 ξ1, ξ2 , … , ξn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 ξ1, ξ2 , … , ξn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解 系．

=-b1x,+1-b2x,+2-…一b h2 x,=-b, b,2x+2 I,I- 线性方程组 的通解 合x+ r+2 ,xn=Cnr,则 b .I-r x b,1C1 ,n-厂"n-r b rI r,ll-I r+1 +c 0 0 0 记作x=c11+c252+…+cnnr.(满足基础解系②)

1 11 1 1,n r n r x b c b c − − − − −                 − − − L M M 令 xr+1 = c 1, xr+2 = c 2, …, xn = cn-r ，则 11 12 1,n r b b b − − − −                         M M M 线性方程 组 的通解 1 11 1 12 2 1, 2 21 1 22 2 2, 1 1 2 2 , , , . r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x + + − + + − + + −  = − − − −  = − − − −  = − − − −  LL LL L 1 1 , 1 1 2 2 r r r n r n r r r n n r x b c b c x c x c x c − − ++ −         − − −     =                         L M M 1 2 , 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 r r r n r n r b b b c c c − −             − − −       = + + +                                     L M M M 记 作 x = c 1ξ1 + c 2ξ2 + … + c n-rξn-r ．（ 满足基 础解系 ② ）