线性代数 第二章矩阵 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-3-19
线性代数 第二章 矩阵 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-3-19
几种特殊矩阵 对角形矩阵 数量矩阵 单位矩阵 三角形矩阵 对称矩阵与反对称矩阵 正交矩阵
对角形矩阵 数量矩阵 单位矩阵 三角形矩阵 对称矩阵与反对称矩阵 正交矩阵
对角矩阵( diagona1) 4 22 0(i≠j) 注 记为:A=lig(a1,a2 1000 0200不是对角阵 0030
对角矩阵(diagonal) = ann a a A O22 11 a 0 (i j) ij = ≠ 注 ann ( ) 记为：A = diag a11， a22， L ann 不是对角阵 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
性质(1)A,B为n阶对角阵,k为常数 →kA,A+B,AB,BA仍为对角阵,且AB=BA 因 a,b AB= E BA b 2)A=A (3)|4|= (4)若A可逆,则A-=dhag(a2) (5)若设C=(a1,a2…,an)=(阝1B2…,阝n),则 a2B Ac CA=a,a a2a2 [
性质 （1）A,B为n阶对角阵，k为常数 ⇒ kA, A+ B, AB,BA仍为对角阵，且 AB = BA. 因 = nn bnn b b a a a AB O O22 11 22 11 A A T (2) = nn A a a La 11 22 (3) | |= = nn nn a b a b a b O 22 22 11 11 = BA (2) A = A nn A a a La 11 22 (3) | |= ( ) −1 −1 （4）若A可逆，则 A = diag ai （5）若设 C = (α1,α2 ,L,αn ) = (β1,β2 ,L,βn )T , 则 = n n aaa AC βββM2 2 1 1 [ ] CA = a1α1 a2α2 L anαn
巨阵 (二)数量矩 对角元素相等;对角阵的 特别情形 性质: ab. ab ab e1 ab AB= b b ab, abm b 2 nl aB [
（二）数量矩阵 = a a a A O 对角元素相等；对角阵的 特别情形 性质： n n nl n l l l n n b b b b b b b b b a a a AB × × = L LLLL O 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nl n l ll ab ab ab ab ab ab ab ab ab × = L LL LL 1 2 21 22 2 11 12 1 = aB
单位阵 A=1-→A=I反例:A A2=Ⅰ-A=I 反例:A 2 2 2 (A+n)2?42+24I+12 等式成立 22(4+D)(4-D) 推广 [
单位阵 A = → A = I ? | | 1 A = I → A = I 2 ? = 1 2 1 1 反例：A − = 2 1 2 1 2 1 2 1 反例：A ? ( )( ) ( ) ? 2 2 2 2 2 2 A I A I A I A I A AI I − + − + + + 2 2 等式成立 推广… …
例设 计算 解法二 100)(100)(000 A=110=010+100=I+B 001)(110 00 B2=0 000 0 B=O 10 n(n+ ∴A"=(I+B)”=B″+…+ n(n-1) BtnB+I (n一 B+nb+l 2
例 设 n A ，计算A = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 解法二 + = = 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 Q A = I + B B = O 3 n n ∴ A = ( I + B ) B nB I n n B n + + − = + + 2 2 ( 1 ) L = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 B B nB I n n + + − = 2 2 ( 1 ) + = 1 2 ( )1 1 0 1 0 0 n n n A n n
单位矩阵的妙用 例设A、B、C为n阶方阵,且AB=BC=CA=I, 求A2+B2+C2 解=AMA4=4(BC)4=(AB)(C4)=ⅠI=I B2=BIB= B(CA)B=(BC)(AB)=1I=I 练习: 求C2 C2=CIC =C(AB)C=(CA)(BC) 所以 42+B2+C2=3 [
例 . , 2 2 2 A B C A B C n AB BC CA I + + = = = 求 设 、 、 为 阶方阵，且 解 A = AIA 2 = A(BC)A= (AB)(CA) = I I = I B = BIB 2 = B(CA)B = (BC)(AB) = I I = I 单位矩阵的妙用 练习： C2 = CIC = C(AB)C = (CA)(BC) = I I = I 所以 A B C 3I 2 2 2 + + = 2 求C
矩阵多项式 设A是n阶方阵 ∫(x)=x2+2x-8 则f(4)=A2+2A-81 (f(A)=42+2A8) 称为矩阵A的一个多项式。 矩阵多项式的分解 分解*式 因x2+2x-8=(x-2)(x+4 所以A2+2A-8I=(4-2D(A+4D) [
例 设 A 是n阶方阵， ( ) 2 8 2 f x = x + x − ( ) 2 8 2 则 f A = A + A− I 称为矩阵A的一个多项式。 矩阵多项式 ( ( ) 2 8 ) 2 f A = A + A− * 称为矩阵A的一个多项式。 2 8 ( 2)( )4 2 因 x + x − = x − x + 2 8 ( 2 )( 4 ) 2 所以 A + A− I = A− I A+ I 矩阵多项式的分解： 分解*式
三角矩阵 an0 0 0 22 00 性质 A、B同阶、同型的三角形矩阵 →kA,A+B,AB仍是同阶同型三角形矩阵。 角阵的逆矩阵为同型三角阵 [
三角矩阵 nnnn a a a a a a L M M M M LL 0 0 0 22 2 11 12 1 an an ann a a a L M M O 1 2 21 22 11 0 0 0 0 0 0 性质: A、B是同阶、同型的三角形矩阵 ⇒ kA, A+B, AB 仍是同阶同型三角形矩阵。 三角阵的逆矩阵为同型三角阵