复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）2.6 矩阵的初等变换与初等矩阵

(後只人季 2.6矩阵的初等变换与初等矩阵

2.6矩阵的初等变换与初等矩阵

(後只人季 矩阵的初等变换与矩阵的标准形 定义2.15:矩阵的初等行(列)变换是指对矩阵作如下三种 变换的任何一种: (1)互换矩阵中任意两行(列)的位置;记为Ru(Cui) (2)以一个非零数乘矩阵的某一行(列);记为kRt(kC1) (3)将矩阵的某一行(列)乘以一个常数加到另一行(列 对应元素上。记为Rt+kR;(Ct+kC1) 矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的初等变换

矩阵的初等变换与矩阵的标准形

()後大手 定理23:任意一个非零矩阵阵A=an]可经初等变换 化为下面形式的矩阵: Er O 00 (1≤r≤min(m,n)) 该矩阵称为A的标准形。 证明:因A≠0,不妨设a1≠0。对A进行初等变换: 11 12 1n1 1 R A 2122 2na11 21 22 2n am1am2…amn 1 m2 mn 12 In Ri-ailri o b 22 b 2 0 b m2 mn

(後只人季 0 Ci-biiC1 0 b 22 2n B 0 b m2 mn 22 2n 令A1 ,如果A1=0,则B已经是标准形 m2 mn 否则不妨设b22≠0,继续对B进行初等变换 R 2 01 23 C 2n 2 B 32b 33 3n 0 5m2 b 3 nnnn

()後大手 100 0 010 Ri-bir 0 00 33 3n C Ci-C2jC2 00c mn 33 3n 2 mn 如果A2=0,则C已经是标准形,否则重复上述步骤即可。 当r=m<n时,标准形为:[Em,0 当r=n<m时,标准形为:|En 0 当r=m=n时,标准形为:En

(後只人季 初等矩阵 定义2.16:对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的方阵称 为初等矩阵 (1)互换单位矩阵E中两行(列)的位置后可得 i行 记为 0 府行

初等矩阵 定义2.16: 对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的方阵称 为初等矩阵 （1）互换单位矩阵E中两行（列）的位置后可得 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 Fij j     =   记为 i行 行

(後只人季 (2)以一个非零数乘单位矩阵E的第i行(列)后可得 记为 F;(k)

（2）以一个非零数乘单位矩阵E的第 i 行(列)后可得 1 1 ( ) 1 1 F k i k     =   记为

()後大手 (3)将单位矩阵E的第而(列)乘以一个常数加到第祈(列 对应元素上后得 k 记为 (k) 府 初等矩阵是可逆矩阵,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵: Fi(k)= Fi Fi71(k)=F1(-k)

1 1 ( ) 1 1 ij i k F k j     =   记为 行 行

()後大手 定理24:对矩阵Amxn实行一次初等行变换,相当于在 Amxn的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵;对矩阵Anxn 施行一次初等列变换,相当于在Amxn的右边乘上一个相 应的n阶初等矩阵。 证明:考虑初等行变换。将矩阵A按行分块 (1)在A的左边乘以F

1 2 m a a A a       =      

(後只人季 (1)在A的左边乘以Fr:

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 i j ij j i m m a a a a F A a a a a                         = =                          