线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
§1.3行列式的基本性质 》根据定义计算行列式非常麻烦 1a12…a1 202…a2n\≠ ∑(-1) r(2…n)+r(h12…n) h1l2∵"ln J2∵Jn 每项是n个数相乘,要做(n-1)次乘法 行列式总共有n!项,需要做n!(n-1)次乘法 n=20 20!×19≈462×103 》我们需要继续深入研究行列式的性质=>更简便的方法
§ 1.3 行列式的基本性质 行列式的基本性质 根据定义计算行列式非常麻烦 根据定义计算行列式非常麻烦 ∑ + = − n n n n n n j j j i i i i j i j i j i i i j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1)τ τ 每项是 n 个数相乘,要做(n-1)次乘法 行列式总共有 n! 项，需要做 n!(n-1)次乘法 13 n = 20 ⇒ 20!×19≈ 4.62×10 我们需要继续深入研究行列式的性质 我们需要继续深入研究行列式的性质=>更简便的方法
口行列式的转置 定义:将n阶行列式的行变为列,得到一个新的 行列式 则|AT|称为|A的转置行列式 (transposed determinant) 口性质1行列式|A与它的转置行列式AT相等
行列式的转置 定义: 将 n 阶行列式的行变为列，得到一个新的 阶行列式的行变为列，得到一个新的 行列式 n n nn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n T a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 12 22 2 11 21 1 = ¾ 则 |AT| 称为 |A| 的转置行列式 (transposed determinant) (transposed determinant) 性质1 行列式|A|与它的转置行列式|AT|相等
几何解释 左 ab-ab 沿着y=x b2 镜像对折 b2 面积之差不变
¾ 几何解释： 沿着 y=x 镜像对折 1 2 2 1 2 2 1 1 b b a b a a b a S 左 = = − 1 2 2 1 1 2 1 2 b b a b a b a a S 右 = = − ¾ 面积之差不变
bu b b 证明:记A 16. b b2 于是有b |AT按行标自然排列展开 =∑(-1) r(i2…in) 1i102i2 712 ∑(-1) 4证毕(也可如课本按列标自然排列展开) 说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立
证明： n n nn n n T b b b b b b b b b A L LLLLLLL L L 1 2 21 22 2 11 12 1 记 = ¾ 于是有 b a (i, j 1,2, , n) i j = j i = L ¾ |AT|按行标自然排列展开 = ∑ − n n n i i i i i n i T i i i A b b b L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)τ = ∑ − n n n i i i i i i n i i i a a a L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)τ = A. 证毕(也可如课本按列标自然排列展开) ¾ 说明：行列式中 说明：行列式中行与列具有同等的地位 行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立 凡是对行成立的对列也同样成立
口性质2互换行列式任意两行列,行列式变号。 若设4 则|A|=-A1>几何解释:交换叉乘次序 证明:|A展开式的通项为a1a2/2…an;…,…an 行标是自然顺序12…1……n 列标顺序是方2…j…j…j
性质2 互换行列式任意两行(列), 行列式变号。 n n nn s s s n t t t n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 若设 = ¾ 则 |A|= -|A1| n n nn t t t n s s s n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = 证明：|A|展开式的通项为 t s n a1 j a2 j2Lat j Las j Lan j 1 ¾ 行标是自然顺序 行标是自然顺序 1 2LtLsLn ¾ 列标顺序是 t s n j j L j L j L j 1 2 ¾ 几何解释：交换叉乘次序 几何解释：交换叉乘次序
将|A|按行标自然排列展开 ∑(-1)ana21…a,1…a,1…a J2Jt…Js"Jn 第t行和第s行交换后,行标变为 n2 s…t…nl 即行标进行了一次对换,其逆序数变为奇数(a“an z(12…s…t…n)=奇数 2 两行交换后列标顺序保持不变,仍为A4 J1 52".J, 12 将|A1|按第三种定义展开 2 4|=∑(-1)2a1a21 12….st…n J1/2…Jt∵…JxJn ∑ (-1(-1)外“…0…∴an= 12……s…tn JJ2…Jt…Js'Jn
¾ 将|A|按行标自然排列展开 = ∑ − t s n t s n t s n j j j j j j j t j s j n j j j j j j A a a a a a L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)τ ¾ 第 t 行和第 s 行交换后，行标变为 行交换后，行标变为 ∑ + = − t s n t s n t s n j j j j j s t n j j s j t j n j s t n j j j j j A a a a a a L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 2 ) ( ) 1 ( 1)τ τ n n nn s s s n t t t n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = 1 2LsLtLn ¾ 即行标进行了一次对换，其逆序数变为奇数 即行标进行了一次对换，其逆序数变为奇数 τ (1 2LsLtLn) = 奇数 ¾ 两行交换后列标顺序保持不变，仍为 顺序保持不变，仍为 t s n j j L j L j L j 1 2 n n nn t t t n s s s n n a a a a a a a a a a a a A L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 1 = ¾ 将|A1|按第三种定义展开 按第三种定义展开 a a a a a A t s n t s n t s n j j j j j s t n j j s j t j n j j j j j j ∑ ⋅ − = − L L L L L L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) -1 ( 1) （ ） τ
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则 此行列式为零 证明互换相同的两行,有 A4=-4 ∴|A=0
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ∴ A = 0. A = − A
性质3行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 12 12 k i2 k k a a i2 2 12 推论1行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 数K,等于用数K乘此行列式。 推论2行列式的某一行(列)中所有的元素全 为零时,则此行列式的值等于零 几何解释:数k乘以平行四边形的一边, 面积S增大k倍
推论1 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数 K ，等于用数 K 乘此行列式。 n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a L LLLLLLL L LLLLLLL L 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k L LLLLLLL L LLLLLLL L 1 2 1 2 11 12 1 = 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面． 推论2 行列式的某一行（列）中所有的元素全 为零时，则此行列式的值等于零。 ¾ 几何解释：数 k 乘以平行四边形的一边， 乘以平行四边形的一边， 面积 S 增大 k 倍
3-53 例计算三阶行列式|4=0-10 解:按定义计算,得4=?=27 验证:第一行乘以k,k=2 6-106 A=0 10|=12+42=54 验证:第一行乘以kk=04|=0
例 计算三阶行列式 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − A = 解: 按定义计算，得 A = ? = 27 验证：第一行乘以k, k=2 12 42 54 7 7 2 0 1 0 6 10 6 − = + = − − A = 验证：第一行乘以k, k=0 A = 0