线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
教学安排 上课时间 每周四第68节 双周周二第8-9节 丶周四第8节课:习题课/课堂演示/讨论
教学安排 上课时间： 每周四 第6-8节 双周周二 第 8-9节 周四 第8节课： 习题课 / 课堂演示 / 讨论
课程简介 理论抽象 线性变换线性代数[线性空间与欧氏空间 行列式 矩阵线性方程组二次型 解决工程实际问题
3 课程简介 线性变换 行列式 矩阵 线性方程组 二次型 线性代数 线性空间与欧氏空间 理论抽象 解决工程实际问题
什么是线性代数? Algebra(数学中最重要的、基础的分支之一。源于九世纪阿 拉伯数学家花拉子米的著作;1859年,我国数学家李善兰首次 把“ algebra”译成“代数”) 代数:用符号(字母、记号研究数的科学 算术-代数(引入未知数 初等代数研究对象: 代数式运算(四则、分式、乘方、根式、交换律、结 合律、分配率 解方程(是否可解,怎样求根(包括近似根)、根的 性质副产品一发现了无理数、复数)
什么是线性代数？ 什么是线性代数？ Algebra (数学中最重要的、基础的分支之一。源于九世纪阿 拉伯数学家花拉子米的著作； 1859年，我国数学家李善兰首次 把“algebra”译成“代数”) 代数：用符号(字母、记号)研究数的科学 算术-代数(引入未知数) 初等代数研究对象： 初等代数研究对象： 代数式运算(四则、分式、乘方、根式、交换律、结 四则、分式、乘方、根式、交换律、结 合律、分配率) 解方程(是否可解，怎样求根（包括近似根）、根的 是否可解，怎样求根（包括近似根）、根的 性质(副产品—发现了无理数、复数 发现了无理数、复数)
多未知量一次方程组线性方程组)→线性代数 高等代数一f 单未知量高次方程→抽象代数(群论) 线性的含义:未知量的一次式 y=2x+3z→y是x、z的线性组合 y=2x2-3√z→y与x、z是非线性关系 在科学与工程实践中,许多变量之间的关系 均可直接或间接地表示为线性函数。 因此《线性代数》是一门数学基础课, 其实用性媲美高数。 《线性代数》研究的主要对象:行列式、矩阵、线性 方程组、线性空间、线性函数和线性变换理论
多未知量一次方程组(线性方程组) →线性代数 高等代数 — ↨ 单未知量高次方程 →抽象代数 (群论) ) 线性的含义：未知量的一次式 线性的含义：未知量的一次式 在科学与工程实践中，许多变量之间的关系 均可直接或间接地表示为线性函数。 因此《线性代数》是一门数学基础课， 其实用性媲美高数。 ¾ 《线性代数》研究的主要对象：行列式、矩阵、 线性 方程组、线性空间、线性函数和线性变换理论. 与 、 是非线性关系 是 、 的线性组合 y x z y x z y x y x z = − ⇒ = + ⇒ 2 3 2 3z 2
线性代数的应用 广泛应用于以下学科 数学、计算机科学、物理学、化学、信息科 学、生物、经济、统计、力学、信号处理,自 动控制、航空航天等等 ◆广泛应用于以下理工类课程 电路、光学、计算机图形学、信号与系统、数 字信号处理、通信、数值分析·
线 性 代 数的应用 广泛应用于以下学科 广泛应用于以下学科 数学、计算机科学、物理学、化学、信息科 学、生物、经济、统计、力学、信号处理，自 动控制、航空航天等等 广泛应用于以下理工类课程 广泛应用于以下理工类课程 电路、光学、计算机图形学、信号与系统、数 字信号处理、通信、数值分析…
第一章行列式 线性代数方程组(每天无数科学家和工程师在求解) X aux,+anrx2+.+a,nxn=b, 21x1+a22+…+a2nxn=b2 》其完整形式为 xamax 其完整矩阵形式为a C
第一章 行 列 式 线性代数方程组(每天无数科学家和工程师在求解) Ax=b 其完整形式为 其完整矩阵形式为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L LLLLLLLLLLLLL L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ m m mn n m nn bbb xxx a a a a a a a a a M M L L L L L LL 21 21 1 2 21 22 2 11 12 1
§1.1二阶、三阶行列式 行列式(来源:求解线性方程组) 设含有两个未知量的二元线性方程组 ax+ax b1(1) a211+a22x,=6 用消元法求解,a2×(1)-a12×(2),得 b ba (a1a2-a2112)x1=ba2-b2a12 XI 12 a1×(2)-a21×(1),得 b a c1a22-a2112)x c1a2-4211 其中分母a122-a21212≠0
§ 1.1 二阶、三阶行列式 行列式 (来源：求解线性方程组) 设含有两个未知量的二元线性方程组 用消元法求解， a22×(1)- a12 ×(2)，得 a11×(2)- a21 ×(1)，得 ⎩⎨⎧ + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 11 22 21 12 1 1 22 2 12 (a a − a a )x = b a −b a 11 22 21 12 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x − − ∴ = 11 22 21 12 2 2 11 1 21 (a a − a a )x = b a −b a 11 22 21 12 2 11 1 21 2 a a a a b a b a x − − ∴ = 其中分母 a11a22－a21a12≠0
b,a22-b,a b,au-b,a2l 21012 1412 可见,公式不便记忆 不便书写→引进记号 2112 21a >|A|称为二阶行列式( determinant an为行列式第i行第j列的元素( element >右端项称为行列式的展开式( expansion) >x1与x2的分子可用行列式表示为 C ba2-b2a124 ba-ba XI 2
¾ 可见，公式不便记忆， 不便书写 → 引进记号 11 22 21 12 2 11 1 21 2 11 22 21 12 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x − − = − − = 11 22 21 12 21 22 11 12 a a a a a a a a A = = − ¾ |A| 称为二阶行列式(determinant) ¾ aij 为行列式第 i 行第 j 列的元素(element) ¾ 右端项称为行列式的展开式(expansion ) ¾ x1 与 x2 的分子可用行列式表示为 1 22 2 12 2 22 1 12 1 b a b a b a b a A = = − 2 11 1 21 21 2 11 1 2 b a b a a b a b A = = − A A x A A x 2 2 1 ∴ 1 = =
行列式展开式的计算:对角线法则 乘积:主对角线-次(反)对角线 a121=a122 >例如 =4-6=-2 =8-3=5 所以,行列式形式上是数字的排列,实质上是 一个数 日本数学家矢孝和提出了行列式概念:1683《解伏 题之法》, Vandermonde将行列式理论系统化
行列式展开式的计算： 对角线法则 乘积：主对角线 - 次 ( 反 )对角线 ¾ 例如 4 6 2 3 4 1 2 = − = − 8 3 5 3 4 2 1 = − = 11 22 21 12 21 22 11 12 a a a a a a a a = − ¾ 所以，行列式形式上是数字的排列，实质上是 一个数 。 ¾ 日本数学家关孝和提出了行列式概念：1683《解伏 题之法》，Vandermonde将行列式理论系统化