复旦大学：《数学分析》讲稿_Euclid空间上微积分（高维微分学）_向量值映照微分学——无限小增量公式

高维微分学——无限小增量公式 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11按单参数直线化思想进行,可有结论: 按一维函数的无限小增量公式 定理1.1(一元函数的无限小增量公式).如果f(x)∈R在o∈R点具有直至p阶导数,则 有 ∫(a+)=f(a)+∑点正(a)+(4)∈R 可有多元函数的无限小增量公式 定理1.2(多元函数的无限小增量公式).如果f(x)∈R在。∈Rm点具有直至p阶沿e 的方向导数,则有 f(Eo+ Ae)=f(ao)+)1 a*(Eo)Ak+O(AP)ER k! a k=1 af 证明引入O)=f(ax+Ae),则有30)()=(x,故按一维函数的无限小增量公式 有 ()=(0)+2 o(0)x+o(P)∈R 为将上述表达式中的各阶方向导数由偏导数表示,可做如下考虑 1.如有f(x)在开线段(xo-6e,o-0e)上可微,则有 =∑ Va∈ 2.进一步,如有∫(x)的一阶偏导数在开线段(-6e,xo-6e)上可微,则有 ()= 02f i-l Origo(a)e 2e l, VaE(o-de, a-se

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——无限小增量公式 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 按单参数直线化思想进行，可有结论： 按一维函数的无限小增量公式 定理 1.1 (一元函数的无限小增量公式). 如果 f(x) ∈ R 在 xo ∈ R 点具有直至 p 阶导数, 则 有 f(xo + λ) = f(xo) +∑ p k=1 1 k! d kf dxk (xo)λ k + o(λ p ) ∈ R, 可有多元函数的无限小增量公式 定理 1.2 (多元函数的无限小增量公式). 如果 f(x) ∈ R 在 xo ∈ R m 点具有直至 p 阶沿 e 的方向导数, 则有 f(xo + λe) = f(xo) +∑ p k=1 1 k! ∂ kf ∂e k (x0)λ k + o(λ p ) ∈ R. 证明 引入 ϕ(λ) = f(xo + λe), 则有 ∃ ϕ (p) (0) = ∂ kf ∂e k (xo). 故按一维函数的无限小增量公式, 有 ϕ(λ) = ϕ(0) +∑ p k=1 1 k! ϕ (k) (0)λ k + o(λ p ) ∈ R. 为将上述表达式中的各阶方向导数由偏导数表示, 可做如下考虑 1. 如有 f(x) 在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 则有 ∂f ∂e (x) = ∑ M i1=1 ∂f ∂xi1 (x)e i1 , ∀ x ∈ (xo − δe, xo − δe). 2. 进一步, 如有 f(x) 的一阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 则有 ∂ 2f ∂e 2 (x) = ∑ M i2,i1=1 ∂ 2f ∂xi2 x i1 (x)e i2 e i1 , ∀ x ∈ (xo − δe, xo − δe). 1

高维微分学—无限小增量公式 谢锡麟 3.依次类推,如有f()的所有p-2阶偏导数在开线段(xo-6e,xa-6e)上可微,则有 (x)=∑ aP-f (a)e 2,Vc∈(xo-6e,o-6e) 另一方面,按可微性的定义,对开线段上的任意一点霆,都会存在对应的球形领域Bx2(x), 其上存在p-2阶偏导数且都在球心连续,按可微性的充分性条件,有p-3阶偏导数在 c点可微.由此,如有f(x)的所有p-2阶偏导数在开线段(x-6e,co-6e)上可微,对 应有∫(x)及其1,…,p-3阶偏导数在开线段(xo-6e,xo-be)上可微 4.最后,如有∫(x)的所有p-1阶偏导数在co点可微,则有 p 就混合偏导数是否可以交换次序,可做如下考虑 按条件,∫(x)的所有k阶偏导数(k=1,……,p-1)在开线段(xo-6e,o-e)上可微 按可微性的定义,对开线段上的任意一点c,都会存在对应的球形领域Bx-(x),其上存在k 阶偏导数且都在球心连续,由此在c点k阶偏导数(k=1,……,p-1)可以交换次序. 2.如进一步要求,对co点,存在对应的球形领域Bx(x),其上存在p阶混合偏导数且在球 心连续,则在co点p阶混合偏导数可以交换次序 综述所述,可得 定理1.3(多元函数沿某方向的无限小增量公式).设有包含x0的线段(xo-6e,o-be)c %x,满足条件:f(x)在(xo-6e,xo-6e)上具有p-2阶可微的偏导数;co点具有可微的p-1 阶偏导数;另在co的一个球形领域Bx(o)上存在p阶混合偏导数且在球心连续。则有 an+)=()+>∑,a akf (xol)ek…ex+o()∈R k=1 式中各阶混合偏导数都可交换次序。 可引入h=Ae=[4,…,Aey],上述展开式往往又表示为 f(a+b)=(a)+∑ a rir(ao )h…h2x+o(hlg 另,可引入更强的条件f(x)∈6P(Bx(xo);R)2,BA(x)CDx,则就x的各个方向都存在无 限小增量公式.但需指出,展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有 方向都有统一的“控制速度”,亦即并非存在对所有方向都适用的p阶无穷小量 ①因为p-2阶偏导数都在球心可微,而可微性对应连续性 ②指∫(x)在Bx(x)中存在p阶偏导数且都在球中每一点都连续

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 3. 依次类推, 如有 f(x) 的所有 p − 2 阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 则有 ∂ p−1f ∂e p−1 (x) = ∑ M ip−1,··· ,i1=1 ∂ p−1f ∂xip−1 · · · x i1 (x)e ip−1 · · · e i1 , ∀ x ∈ (xo − δe, xo − δe). 另一方面, 按可微性的定义, 对开线段上的任意一点 x，都会存在对应的球形领域 Bλx (x), 其上存在 p − 2 阶偏导数且都在球心连续➀. 按可微性的充分性条件, 有 p − 3 阶偏导数在 x 点可微. 由此, 如有 f(x) 的所有 p − 2 阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 对 应有 f(x) 及其 1, · · · , p − 3 阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微. 4. 最后, 如有 f(x) 的所有 p − 1 阶偏导数在 xo 点可微, 则有 ∂ pf ∂e p (xo) = ∑ M ip,··· ,i1=1 ∂ pf ∂xip · · · x i1 (x0)e ip · · · e i1 . 就混合偏导数是否可以交换次序，可做如下考虑 1. 按条件，f(x) 的所有 k 阶偏导数（k = 1, · · · , p − 1）在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微. 按可微性的定义, 对开线段上的任意一点 x, 都会存在对应的球形领域 Bλx (x), 其上存在 k 阶偏导数且都在球心连续, 由此在 x 点 k 阶偏导数（k = 1, · · · , p − 1）可以交换次序. 2. 如进一步要求, 对 xo 点, 存在对应的球形领域 Bλx (xo), 其上存在 p 阶混合偏导数且在球 心连续, 则在 xo 点 p 阶混合偏导数可以交换次序. 综述所述，可得 定理 1.3 (多元函数沿某方向的无限小增量公式). 设有包含 x0 的线段 (xo − δe, xo − δe) ⊂ Dx，满足条件：f(x) 在 (xo −δe, xo −δe) 上具有 p−2 阶可微的偏导数；xo 点具有可微的 p−1 阶偏导数；另在 xo 的一个球形领域 Bλ(xo) 上存在 p 阶混合偏导数且在球心连续。则有： f(xo + λe) = f(xo) +∑ p k=1 1 k!   ∑m ik,··· ,i1=1 ∂ kf ∂xik · · · ∂xi1 (xo)e ik · · · e i1   λ k + o(λ p ) ∈ R 式中各阶混合偏导数都可交换次序。 可引入 h := λe = [ λe1 , · · · , λem ]T , 上述展开式往往又表示为 f(xo + h) = f(xo) +∑ p k=1 1 k!   ∑m ik,··· ,i1=1 ∂ kf ∂xik · · · ∂xi1 (xo)h ik · · · h i1   λ k + o(|h|Rm). 另, 可引入更强的条件 f(x) ∈ C p (Bλ(x0); R) ➁,Bλ(xo) ⊂ Dx, 则就 xo 的各个方向都存在无 限小增量公式. 但需指出, 展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有 方向都有统一的 “控制速度”, 亦即并非存在对所有方向都适用的 p 阶无穷小量. ➀ 因为 p − 2 阶偏导数都在球心可微, 而可微性对应连续性. ➁ 指 f(x) 在 Bλ(xo) 中存在 p 阶偏导数且都在球中每一点都连续. 2

高维微分学—无限小增量公式 谢锡麟 12多项式逼近的唯一性 性质1.4(多项式逼近的唯一性).多项式逼近的唯一性可归纳为如下结论 1.设∑Ax2y2+on)=0(→0),此处P=v2+y,则有 A;=0,此处,j为非负整数而且i+j=0,1,2,…,n 2.设Pn(x)+o(p)=0(p→0),此处p=|algn,P(x)=∑akx,ak=ak2kn, k=∑k,x=2…x,k1,…,kn为非负整数,则有 0,因≤n 证明1.由∑Ay3+o(x2+y2)2)=0,即有 ∑Ar'y2+o(x2+y2))=0 取√2+y2→0,则有A0=0。再考虑 (A10x+40y)+∑Ary2+o(x2+y2)2)=0 所以有 A0/2+y2 +A A i x2+y2 x2+y2 +o(x2+y2)2)=0 取y=kx在令x→0,则有 A +Ao 0,Vk∈R √1+k2 故有A10=A01=0。设有 Aijz'y+o((z2+y2)2) 引入y=Ax,则有 ∑Ax++∑A1x++0(1+2)n2)=0 +i=k 由此有 Aii+ An+)-k+o(1+2)x-k) i+i=k i+j=k+1

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 1.2 多项式逼近的唯一性 性质 1.4 (多项式逼近的唯一性). 多项式逼近的唯一性可归纳为如下结论 1. 设 ∑n i+j=0 Aijx i y j + o(ρ n ) = 0(ρ → 0)，此处 ρ = √ x 2 + y 2, 则有 Aij = 0, 此处i, j为非负整数而且i + j = 0, 1, 2, · · · , n; 2. 设 Pn(x) + o(ρ n ) = 0(ρ → 0)，此处 ρ = |x|Rn，Pn(x) = ∑ |k|6n akx k，ak = ak1k2···kn， |k| = ∑n i=1 ki，x k = x k1 1 x k2 2 · · · x kn n ，k1, · · · , kn 为非负整数, 则有 ak = 0, |k| 6 n. 证明 1. 由 ∑n i+j=0 Aijx iy j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0，即有 A00 + ∑n i+j=1 Aijx i y j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0 取 √ x 2 + y 2 → 0，则有 A00 = 0。再考虑 (A10x + A01y) + ∑n i+j=2 Aijx i y j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0 所以有 A10 x √ x 2 + y 2 + A01 y √ x 2 + y 2 + ∑n i+j=2 Aij x iy j √ x 2 + y 2 + o((x 2 + y 2 ) n−1 2 ) = 0 取 y = kx 在令 x → 0，则有 A10 1 √ 1 + k 2 + A01 k √ 1 + k 2 = 0, ∀ k ∈ R 故有 A10 = A01 = 0。设有 ∑ i+j=k Aijx i y j + ∑n i+j=k+1 Aijx i y j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0 引入 y = λx，则有 ∑ i+j=k Aijλ jx i+j + ∑n i+j=k+1 Aijλ jx i+j + o((1 + λ 2 ) n 2 x n ) = 0 由此有 ∑ i+j=k Aijλ j + ∑n i+j=k+1 Aijλ jx i+j−k + o((1 + λ 2 ) n 2 x n−k ) = 0 3

高维微分学一无限小增量公式 谢锡麟 取x→0可有 ∑A1=∑ 用矩阵可以表示为 Ako 0 Aok 将A分别取为1,2,…,k+1,即有 A 0∈R k+1 (k+1)k 此处系数矩阵为范德蒙行列式非奇异,故有A0=Ak-11=…=Aok=0 2.考虑高维情形 Ak1knx2…x+O(z x2)5)=0.p∈N k1+…+kn=0 则有 A0.0+ A3knx1…x+o(x2+…+x2) ∈N k1+…+kn=1 x1=A16 引入 则有 A0.0+ Ak o()=0 取θ→0,则有A0.0=0。由此可有 (A10-x1+…+A0.01xn)+ Akil o(x2+…+x2)5)=0 x1=A10 同样引入 则有 (A10.0A1+……+A0-01An)6+ Ak2kn(2…)0++km+o(0)=0 k1+…+kn=2

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 取 x → 0 可有 ∑ i+j=k Aijλ j = ∑ k j=0 Ak−j,jλ j = 0 用矩阵可以表示为 [ λ 0 , λ1 , · · · , λk ]        Ak0 Ak−1,1 . . . A0k        = 0 将 λ 分别取为 1, 2, · · · , k + 1，即有        1 1 · · · 1 1 2 · · · 2 k . . . . . . . . . . . . 1 k + 1 · · · (k + 1)k               Ak0 Ak−1,1 . . . A0k        = 0 ∈ R k+1 此处系数矩阵为范德蒙行列式非奇异，故有 Ak0 = Ak−1,1 = · · · = A0k = 0。 2. 考虑高维情形 ∑ p k1+···+kn=0 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0, p ∈ N 则有 A0···0 + ∑ p k1+···+kn=1 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0, p ∈ N 引入    x1 = λ1θ · · · xn = λnθ 则有 A0···0 + ∑ p k1+···+kn=1 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn + o(θ p ) = 0 取 θ → 0，则有 A0···0 = 0。由此可有 (A10···0x1 + · · · + A0···01xn) + ∑ p k1+···+kn=2 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0 同样引入    x1 = λ1θ · · · xn = λnθ 则有 (A10···0λ1 + · · · + A0···01λn) θ + ∑ p k1+···+kn=2 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn + o(θ p ) = 0 4

高维微分学一无限小增量公式 谢锡麟 由此有 (A10.0A1+……+A0.01An)+ o(-1)=0 取θ→0,则有A10.0 A0.01Mn=0,亦即 0 可有A10.0=…=A001=0。设有 A xn+o(1+…+ k1+…+kn=q 引入 则有 Ak xn)0+ +…+k +o(6)=0 k1+…+kn=q k1+…+kn=q+1 可以得到 考虑 可有 m1=0,Vkn=0,1 再考虑 以此类推至二次式,即 Ak1k22=0 k1+k+2=q-(kn+kn-1+…+k3) 按(1)中分析即可得所有系数均为零

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 由此有 (A10···0λ1 + · · · + A0···01λn) + ∑ p k1+···+kn=2 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn−1 + o(θ p−1 ) = 0 取 θ → 0，则有 A10···0λ1 + · · · + A0···01λn = 0，亦即 [λ1, · · · , λn]     A10···0 . . . A0···01     = 0 可有 A10···0 = · · · = A0···01 = 0。设有 ∑ k1+···+kn=q Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + ∑ p k1+···+kn=q+1 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0 引入    x1 = λ1θ · · · xn = λnθ 则有 ∑ k1+···+kn=q Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ q+ ∑ p k1+···+kn=q+1 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn+o(θ p ) = 0 可以得到 ∑ k1+···+kn=q Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) = 0 考虑 ∑ q kn=0   ∑ p k1+···+kn−1=q−kn Ak1···kn−1kn λ k1 1 · · · λ kn−1 n−1   λ kn n = ∑ q kn=0 Ckn λ kn n = 0 可有 ∑ k1+···+kn−1=q−kn Ak1···kn−1kn λ k1 1 · · · λ kn−1 n−1 = 0, ∀ kn = 0, 1, · · · , q 再考虑 q ∑−kn kn−1=0   ∑ p k1+···+kn−2=q−kn−kn−1 Ak1···kn−2kn−1kn λ k1 1 · · · λ kn−2 n−2   λ kn−1 n−1 = 0 以此类推至二次式，即 ∑ k1+k+2=q−(kn+kn−1+···+k3) Ak1k2 λ k1 1 λ k2 2 = 0 按 (1) 中分析即可得所有系数均为零。 5

高维微分学—无限小增量公式 谢锡麟 13多元函数多项式逼近的实际获得方法 131乘积函数的多项式逼近 如有 f(x,y)=Ao+(A10x+A1y)+(A20x2+A1y+A2y2)+o(x2+y2) 9(x,y)=B00+(B0x+Boy)+(B20x2+B1xy+B2y2)+o(x2+y2) 则有 (f9)(x,y)=[4+(A10x+Ao1y)+(420x2+A1y+Amy2)+o(x2+y2) [Bo0+(B10x+Bo1y)+(B20x2+B1y+Bm2y2)+o(x2+y2) A000+[(40030+Bo0410)x+(B01+AoBo1)y +[(A0020+40B10+B0420)x2+(A0Bn+Boon)xy +(Aoo Bo2+Ao1 Bo1+ BooA02)y2+o(a2+y2) 1关分析中,利用关系式 P+g-1 Vp,q∈N 分析:考虑到 g(x2+y2)≤(x2+y2) (x2+y2) (x2+y2)5(x2+y2) 132除法函数的多项式逼近 )(x,y)=4+(4ax+Auy)+(4x0x2+Anxy+Ay2)+o(x2+y2) Boo +(B1oc+ Bo1g)+(B20 2+Bllry+B02y2)+o(r2+y2 40+(A10x+Ay)+(20x2+A1xy+A02y2)+o(x2+y2 Boo1_(B1oz+Bo1y)+(B202+Buay+ Bo2y2)+o(22+y2) A0+(10x+A1y)+(A20x2+A1y+A02y2)+o(x2+y2) Boo[1+e(, y) 而 1+(x0)1=1+∑())+((,) 133复合函数的多项式逼近 如有 f(x,y)=(410x+A01y)+(A20x2+A1xy+A2y2)+o(x2+y o(zP)

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 1.3 多元函数多项式逼近的实际获得方法 1.3.1 乘积函数的多项式逼近 如有    f(x, y) = A00 + (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) g(x, y) = B00 + (B10x + B01y) + (B20x 2 + B11xy + B02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) 则有 (fg)(x, y) = [ A00 + (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) ] · [ B00 + (B10x + B01y) + (B20x 2 + B11xy + B02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) ] = A00B00 + [ (A00B10 + B00A10)x + (B00A01 + A00B01)y ] + [ (A00B20 + A10B10 + B00A20)x 2 + (A10B01 + B10A01)xy + (A00B02 + A01B01 + B00A02)y 2 ] + o(x 2 + y 2 ) 相关分析中，利用关系式 x p y q = o ( ( x 2 + y 2 ) p+q−1 2 ) , ∀ p, q ∈ N 分析：考虑到 |x py q | (x 2 + y 2) p+q−1 2 = |x p | (x 2 + y 2) p 2 |y q | (x 2 + y 2) q 2 (x 2 + y 2 ) 1 2 6 (x 2 + y 2 ) 1 2 1.3.2 除法函数的多项式逼近 ( f g ) (x, y) = A00 + (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) B00 + (B10x + B01y) + (B20x 2 + B11xy + B02y 2) + o(x 2 + y 2) = A00 + (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) B00 [ 1 + (B10x + B01y) + (B20x 2 + B11xy + B02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) B0 ] = A00 + (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) B00 [1 + θ(x, y)] 而 [1 + θ(x, y)]−1 = 1 +∑ p k=1 1 k! (p k ) θ k (x, y) + o(θ p (x, y)) 1.3.3 复合函数的多项式逼近 如有    f(x, y) = (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) Θ(z) = C0 + ∑p k=1 Ckz k + o(z p ) 6

高维微分学一无限小增量公式 谢锡麟 则有 e(f(x,y)=C0+∑C[(4n+4ay)+(4x2+41y+4y)+o(x2+y2 k=1 2应用事例 3建立路径 多元函数无限小增量公式的获得基于单参数直线化的基本思想,由此利用一维函数的无限 小增量公式. 类同于一维函数的无限小增量公式,多元函数的无限小增量公式提供了利用多项式局部逼 近原函数的基本方法.当限定误差为二阶无穷小量,则对于二维函数局部逼近为二次曲线 而对三维函数局部逼近可为二次曲面,便于把握多元函数的局部特征

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 则有 Θ(f(x, y)) = C0 + ∑ p k=1 Ck [ (A10x + A01y) + (A20x 2 + A11xy + A02y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) ]k + o ( (x 2 + y 2 ) p 2 ) 2 应用事例 3 建立路径 • 多元函数无限小增量公式的获得基于单参数直线化的基本思想, 由此利用一维函数的无限 小增量公式. • 类同于一维函数的无限小增量公式, 多元函数的无限小增量公式提供了利用多项式局部逼 近原函数的基本方法. 当限定误差为二阶无穷小量, 则对于二维函数局部逼近为二次曲线, 而对三维函数局部逼近可为二次曲面, 便于把握多元函数的局部特征. 7