赋范线性空间上微分学——空间的完备性 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 定义1.1(基本点列),{xn}neN称为基本点列或 Cauchy点列,如果 VE>0,3N∈N,成立d(xn,xm)=|xn-rml|xNe 定义1.2(完备赋范线性空间).赋范线性空间(X,|·|x)称为完备的赋范线性空间,如果其 中的所有基本点列均收敛 分析上易获得下述定理 定理1.1(基本点列收敛的充分性条件).如某一基本点列存在一个收敛子列,则此基本点列 收敛 定理12.当(Y,|·y)为完备赋范线性空间时,则有(x(x;Y),·|x(x)为完备赋范线性 空间.此处,V∈(X;Y),1(xy)全sup d(aly x≠o|lx 证明为证明(2(X;Y),|·|x(x:y))的完备性,考虑Ⅴ{ ennen g(X:;Y)为基本点列,亦 ve>0.,3N∈N,成立mn-mhny(x:)N 以下需证彐∞6∈x(X;Y),有mn→∈(X;Y)(n→∞). 考虑对vx∈X,有{n(x)} neN CY为基本点列,由(Y,·|)的完备性,有{n(x)hner 收敛.故可定义 6(x):= lim dn(x)∈Y. n→ 易见,有 6(a+B分):= lim dn(a+B)=a()+36(分),a,B∈R,元,∈X, 由|mnlx(x:)-| nls(xy)≤|ahn-硎(x:Y),则{n|(x) fneN C R为基本点列,故 3lim|hnly(xy)∈R.由此可得{ale(x)}有界.再考虑到 an(x)y≤|anlx(x:)lrlx≤ sup only(x:y)|rlx
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——空间的完备性 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 定义 1.1 (基本点列). {xn}n∈N 称为基本点列或 Cauchy 点列, 如果 ∀ ε > 0, ∃ Nε ∈ N, 成立 d(xn, xm) = |xn − xm|X Nε. 定义 1.2 (完备赋范线性空间). 赋范线性空间 (X, | · |X) 称为完备的赋范线性空间, 如果其 中的所有基本点列均收敛. 分析上易获得下述定理. 定理 1.1 (基本点列收敛的充分性条件). 如某一基本点列存在一个收敛子列, 则此基本点列 收敛. 定理 1.2. 当 (Y, | · |Y ) 为完备赋范线性空间时, 则有 (L (X; Y ), | · |L (X;Y ) ) 为完备赋范线性 空间. 此处, ∀ A ∈ L (X; Y ), |A |L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |A (x)|Y |x|X . 证明 为证明 (L (X; Y ), | · |L (X;Y ) ) 的完备性, 考虑 ∀ {An}n∈N ⊂ L (X; Y ) 为基本点列, 亦 即 ∀ ε > 0, ∃ Nε ∈ N, 成立|Am − An|L (X;Y ) Nε. 以下需证 ∃ A0 ∈ L (X; Y ), 有 An → A0 ∈ L (X; Y )(n → ∞). 考虑对 ∀ x ∈ X, 有 {An(x)}n∈N ⊂ Y 为基本点列, 由 (Y, | · |Y ) 的完备性, 有 {An(x)}n∈N 收敛. 故可定义 A0(x) := limn→∞ An(x) ∈ Y. 易见, 有 A0(αx˜ + βxˆ) := limn→∞ An(αx˜ + βxˆ) = αA0(˜x) + βA0(ˆx), ∀ α, β ∈ R, x, ˜ xˆ ∈ X, 由 ||Am|L (X;Y ) − |An|L (X;Y ) | 6 |Am − An|L (X;Y ) , 则 {|An|L (X;Y )}n∈N ⊂ R 为基本点列, 故 ∃ limn→∞ |An|L (X;Y ) ∈ R. 由此可得 {|An|L (X;Y )} 有界. 再考虑到 |An(x)|Y 6 |An|L (X;Y ) |x|X 6 sup n∈N |An|L (X;Y ) |x|X, 1
赋范线性空间上微分学一一空间的完备性 谢锡麟 现有|6(x)y=lim|n(x)y,按极限的保号性,有 ∞6(x)y≤ sup. s(x:)llx n∈N 即有 o6l(xy)会su x|x≠0 a)y≤ sup lanIs(x x 由此可证得函∈x(X;Y).最后证mn→∞(m→∞).由 ldm(a)-dn(aly NE, VEEX, 对上式,取m→∞,并考虑到 lim g.(x)=0(x)∈Y,可有 n→0 ∞(x)-ahn(x)y≤ Earl,n>Ne,r∈X 即有 -ahlx(x:y)≤E,vn>N 定理1.3(映照极限的 Cauchy收敛原理).当(Y,|·|y)为完备的赋范线性空间时,则 彐lim,f(x)=y∈Y 等价于 >0,彐6>0,成立f(x)-f()}y0,36>0,成立f(x)-oy0,365>0成立(2)-f(G)yNb, 故有 If()-f(amly N5 亦即{f(xn)} nEN C Y为基本点列,再由(Y|·ly)为完备的赋范线性空间,因此{f(xn)} nEN C Y 收敛.再考虑 {an}CDn\{xo},mn→x0∈X有f(n)→i∈Y, V{n}CD2\{xo},xn→0∈X有f(an)→∈Y
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 空间的完备性 谢锡麟 现有 |A0(x)|Y = limn→∞ |An(x)|Y , 按极限的保号性, 有 |A0(x)|Y 6 sup n∈N |An|L (X;Y ) |x|X, 即有 |A0|L (X;Y ) , sup |x|X̸=0 |A0(x)|Y |x|X 6 sup n∈N |An|L (X;Y ) ∈ R +, 由此可证得 A0 ∈ L (X; Y ). 最后证 An → A0 (n → ∞). 由 |Am(x) − An(x)|Y Nε, ∀ x ∈ X, 对上式, 取 m → ∞, 并考虑到 limn→∞ Am(x) = A0(x) ∈ Y , 可有 |A0(x) − An(x)|Y 6 ε|x|X, ∀ n > Nε, ∀ x ∈ X, 即有 |A0 − An|L (X;Y ) 6 ε, ∀ n > Nε. 定理 1.3 (映照极限的 Cauchy 收敛原理). 当 (Y, | · |Y ) 为完备的赋范线性空间时, 则 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y 等价于 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立|f(xe) − f(xb)|Y 0, ∃ δε > 0, 成立|f(x) − y0|Y 0, ∃ δε > 0 成立 |f(xe) − f(xb)|Y Nδε , 故有 |f(xn) − f(xm)|Y Nδε , 亦即 {f(xn)}n∈N ⊂ Y 为基本点列, 再由 (Y, |·|Y ) 为完备的赋范线性空间, 因此 {f(xn)}n∈N ⊂ Y 收敛. 再考虑 ∀ {xen} ⊂ Dx\{x0}, xen → x0 ∈ X 有 f(xen) → ye0 ∈ Y, ∀ {xbn} ⊂ Dx\{x0}, xbn → x0 ∈ X 有 f(xbn) → yb0 ∈ Y, 2
赋范线性空间上微分学一一空间的完备性 谢锡麟 需证=0∈Y.就此作 有{zn}cD\{xo},满足xn→mo∈X.故有f(mn)→∈Y.由于收敛点列的所有子列 均收敛且极限相同,以及点列极限的唯一性,有v=如0=按映照极限的 Heine叙述,即有 彐lim,f(x) r∈X 2应用事例 命题2.1.设(X,|·|x)为完备的赋范线性空间,则有 3(-)=1+∑=1+m∑)∈2(x,x,ox< k=1 证明首先证明3m(∑)记S=∑估计 k=1 k=1 ntp ≤ ≤ k=n+112(x:x)k=n+1 由于Ux(x:x)<1,故有3∑|U(xx)·按上述估计,则有{Sn}neNc(x;x)为x中 Cauchy点列.由于(x,|·|x)是完备的赋范线性空间,因此(x(x;X)|·|(xx)也是完备的 所以 3imSn=∑U∈(x;X k=1 现在证明(I-U)。(I+∑Uk)=(1+∑Uk)。(-U)=L.为此,估计 k=1 k=1 (I-U)°I+ k=1 2(X;X) k=1 k=2 ZX →∞ 同理,有 ≤|2xx)→0(n→∞)
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 空间的完备性 谢锡麟 需证 ye0 = yb0 ∈ Y. 就此作 xn = xe2k, n = 2k, xb2k−1, n = 2k − 1, 有 {xn} ⊂ Dx\{x0}, 满足 xn → x0 ∈ X. 故有 f(xn) → y0 ∈ Y . 由于收敛点列的所有子列 均收敛且极限相同, 以及点列极限的唯一性, 有 ye0 = yb0 = y0 . 按映照极限的 Heine 叙述, 即有 ∃ lim x→x0∈X f(x) = y0 ∈ Y . 2 应用事例 命题 2.1. 设 (X, | · |X) 为完备的赋范线性空间, 则有 ∃ (I − U) −1 = I + ∑∞ k=1 U k = I + limn→∞ (∑n k=1 U k ) ∈ L (X; X), ∀ |U|L (X;X) < 1. 证明 首先证明 ∃ limn→∞ (∑n k=1 U k ) . 记 Sn = ∑n k=1 U k , 估计 |Sn+p − Sn|L (X;X) = n∑ +p k=n+1 U k L (X;X) 6 n∑ +p k=n+1 |U k |L (X;X) 6 n∑ +p k=n+1 |U| k L (X;X) . 由于 |U|L (X;X) < 1, 故有 ∃ ∑∞ k=1 |U| k L (X;X) . 按上述估计, 则有 {Sn}n∈N ⊂ L (X; X) 为 X 中 Cauchy 点列. 由于 (X, | · |X) 是完备的赋范线性空间, 因此 (L (X; X), | · |L (X;X) ) 也是完备的. 所以 ∃ limn→∞ Sn = ∑∞ k=1 U k ∈ L (X; X). 现在证明 (I − U) ◦ ( I + ∑∞ k=1 U k ) = ( I + ∑∞ k=1 U k ) ◦ (I − U) = I. 为此, 估计 (I − U) ◦ ( I + ∑n k=1 U k ) − I L (X;X) = −U + ∑n k=1 U k − ∑n k=1 U k+1 L (X;X) = ∑n k=2 U k − n∑ +1 k=2 U k L (X;X) = U n+1 L (X;X) 6 |U| n+1 L (X;X) → 0 (n → ∞). 同理, 有 ( I + ∑n k=1 U k ) ◦ (I − U) − I L (X;X) = U n+1 L (X;X) 6 |U| n+1 L (X;X) → 0 (n → ∞). 3
赋范线性空间上微分学一一空间的完备性 谢锡麟 命题22.VA∈x(X;Y),彐A-∈x(Y;X),当(Y,|·|y)为完备的赋范线性空间时,有 3(4+U)-1=1+∑(-1(4-1ony VArUs k=1 证明考虑到|A-1oU|x(xx)<1,所以有 (A+U)-1=[Ao(I+A-1oU)]-=(r+A-1oU)-oA-1 ∑(-1)(A-2on)A k=1 进一步可以看到|A-1oUlx(xx)≤|A-1(y;x)|Ul(x),即当 IUl(x Y)A-IL(Y: X 时,上述关系式成立 3建立路径
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 空间的完备性 谢锡麟 命题 2.2. ∀ A ∈ L (X; Y ), ∃ A−1 ∈ L (Y ; X), 当 (Y, | · |Y ) 为完备的赋范线性空间时, 有 ∃ (A + U) −1 = [ I + ∑∞ k=1 (−1)k (A −1 ◦ U) k ] ◦ A −1 , ∀ |A −1 ◦ U|L (X;X) < 1. 证明 考虑到 |A−1 ◦ U|L (X;X) < 1, 所以有 (A + U) −1 = [ A ◦ (I + A −1 ◦ U) ]−1 = ( I + A −1 ◦ U )−1 ◦ A −1 = ( I + ∑∞ k=1 (−1)k (A −1 ◦ U) k ) ◦ A −1 . 进一步可以看到 |A−1 ◦ U|L (X;X) 6 |A−1 |L (Y ;X) |U|L (X;Y ) , 即当 |U|L (X;Y ) < 1 |A−1|L (Y ;X) 时, 上述关系式成立. 3 建立路径 4
