教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 课程:《数学分析(Ⅰ)》(一年制,面对力学类等 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:平面运动方程及应用。主要内容为基于一维 Euclid空间上微分学,获得平面 轨迹的速度及加速度在自然基下的表达形式,并应用于高架匝道或弯曲轨道设计等实际问题。 理论分析,可作为一维 Euclid空间上微分学的综合应用,涉及基于无限小增量公式处理 复杂函数极限,复合函数链式求导法则,分段函数求导,局部微分同胚存在性定理(反函数 定理),凹凸性,曲率半径及曲率等。实际应用,展现数学在认识自然世界过程中的作为 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素: ①R2的几何化认识 Ra axel(=12中任一元素x可以表示为:x-x-[小=x+x, 此处{满足[可]=12,称为典则基( canonical basis)3上述xeR2的“列矩阵表示” 和“向量表示”一一对应,我们将此称为“R2的几何化”。 按线性代数有关概念,我们又可有 [] 此处{2,2}满足[,已]非奇异,称为一般基。由此可见,R2的几何化可以基于不同的基,且 非仅限于典则基。 典则基可认为是“最简单的基”而非“最适合的基”;我们应该针对具体问题而选择适合 的基。例如:如下图所示,R2中一块平面四边形的几何表示,选择适当的基可使得坐标取值 按现有认识,我们按“知识点及知识要素”构建知识体系,并决定教学内容及进度,对于各门知识体系,我们先将其归类 成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识点又由若干“知识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或 处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合,具有一定独立性或功用性;知识要素即为上述知识集 合的核心内容,以“知识点+知识要素”组织知识体系,有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征 ↑我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法,而非仅是逻辑过程 第1页共6页
教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 1 页 共 6 页 教案* ：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：平面运动方程及应用。主要内容为基于一维 Euclid 空间上微分学，获得平面 轨迹的速度及加速度在自然基下的表达形式，并应用于高架匝道或弯曲轨道设计等实际问题。 理论分析，可作为一维 Euclid 空间上微分学的综合应用，涉及基于无限小增量公式处理 复杂函数极限，复合函数链式求导法则，分段函数求导，局部微分同胚存在性定理（反函数 定理），凹凸性，曲率半径及曲率等。实际应用，展现数学在认识自然世界过程中的作为 。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： ① 2 的几何化认识 1 2 2 1,2 i x x i x 中任一元素 x 可以表示为： 1 1 1 2 2 2 12 1 2 , x x x i i xi xi x x ， 此处i i 1 2 , 满足 12 2 ii I , ，称为典则基（canonical basis）。上述 2 x 的“列矩阵表示” 和“向量表示”一一对应，我们将此称为“ 2 的几何化”。 按线性代数有关概念，我们又可有： 11 1 22 2 12 1 2 ˆ , , ˆ x x x x ii ee x x x 此处e e 1 2 , 满足e e 1 2 , 非奇异，称为一般基。由此可见， 2 的几何化可以基于不同的基，且 非仅限于典则基。 典则基可认为是“最简单的基”而非“最适合的基”；我们应该针对具体问题而选择适合 的基。例如：如下图所示， 2 中一块平面四边形的几何表示，选择适当的基可使得坐标取值 * 按现有认识，我们按“知识点及知识要素”构建知识体系，并决定教学内容及进度。对于各门知识体系，我们先将其归类 成若干“知识点”（knowledge point），而每个知识点又由若干“知识要素”（knowledge element）组成。知识点为认识或 处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集 合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 † 我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程
教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 范围规整 S={元+元已2 ∈0d ∈[0,b ②R2中曲线(轨迹)的参数表示及自然基 n()会kx() (x()() Trajectory x-1b→ 如上图所示,R2中曲线(轨迹)的刻画,需要两个一元函数,亦即对应于某个基的二个 坐标函数。取基为典则基,则有 F()a,]3110()=x()7+y()j∈R 结合轨迹运动特征,引入自然基,包括 单位切向量 0),单位法向量:()=[小 G[Flo) ③曲率半径及曲率 类比于圆周直径的几何意义,引入曲线局部曲率半径的定义 (x(+△)=x()+(y(+△)=y() p(4=lim (+△)-0() 式中θ()为斜率角,满足 第2页共6页
教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 2 页 共 6 页 范围规整。 1 i 2 i 1 x 2 x o 1 e 2 e a b 1 11 2 2 2 ˆ [0, ] ˆ ˆ ˆ [0, ] x a S xe xe x b ② 2 中曲线（轨迹）的参数表示及自然基 x y o t xt yt , t t nt k t Trajectory 如上图所示， 2 中曲线（轨迹）的刻画，需要两个一元函数，亦即对应于某个基的二个 坐标函数。取基为典则基，则有： 2 : , x rt t t xti yt j y 结合轨迹运动特征，引入自然基，包括： 单位切向量： 2 2 1 , x t ij t x y y ，单位法向量： 2 2 1 , y nt i j t x y x ， ③ 曲率半径及曲率 类比于圆周直径的几何意义，引入曲线局部曲率半径的定义： 2 2 0 limt x t t xt yt t yt t tt t 式中 t 为斜率角，满足：
教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 秒=/(x()m(0)≠0=x(0=c(2(),(2( (1)“()≠0=yeC"(B(0,(B(O) 此处需说明,局部微分同胚的存在性,由此可有曲线的局部 Monge表示°,籍此可定义斜率 角 按 Landau的局部分析(基于无限小增量公式的分析¨),推导得:曲率半径计算式 + y p(t)= ().进一步,引进曲率:(以):1 ()(x2+i().可见,曲率 在速度不为零的点都有定义,而曲率半径则不一定 ④平面运动方程推导 按现有程度,在典则基下,我们有如下速度及加速度定义 70=[ o=(a()[il3 由典则基的定义 ,()年 可得 代入速度及加速度在典则基的表示,通过矩阵运算,即得 [d小()=[7 ()=[,示 +yx·x+yy ￥2+21-yxLy 22+i20 ji-ii 进一步分析得: 局部微分同胚指当函数的定义域展制于某个开区间,则其对应的值域也为开区间;函数实现两者间的一一对应,且反函数 具有同原函数一致的正则性(直至某阶导数连续可微) , Monge表示指以某个坐标作为参数 无限小增量公式,即为带 Peano余项的 Taylor展开 艹可按矩阵求逆或线性方程组求解,可结合解析几何或线性代数相关内容 第3页共6页
教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 3 页 共 6 页 0 , 0 , p p dy x t as x t x t C B t x B t dx tg t dx y t as y t y t C B t y B t dy 此处需说明，局部微分同胚 的存在性，由此可有曲线的局部 Monge 表示§ ，籍此可定义斜率 角。 按 Landau 的局部分析（基于无限小增量公式的分析**），推导得：曲率半径计算式 3 2 2 2 x y t t yx xy 。进一步，引进曲率： 3 2 2 2 1 yx xy t t t x y 。可见，曲率 在速度不为零的点都有定义，而曲率半径则不一定。 ④ 平面运动方程推导 按现有程度，在典则基下，我们有如下速度及加速度定义： , , ,, x xx rt i j t va t i j t y yy 由典则基的定义： 2 2 1 , , x y nt ij t x y y x 可得†† ： 2 2 1 , , x y ij t n t x y y x 代入速度及加速度在典则基的表示，通过矩阵运算，即得： 2 2 22 22 , , 1 1 , , 0 x x va t i j t y y x y xx x y xx yy n tn t xy xy yx yy yx xy 进一步分析得： ‡ 局部微分同胚指当函数的定义域限制于某个开区间，则其对应的值域也为开区间；函数实现两者间的一一对应，且反函数 具有同原函数一致的正则性（直至某阶导数连续可微）。 § Monge 表示指以某个坐标作为参数。 ** 无限小增量公式，即为带 Peano 余项的 Taylor 展开。 †† 可按矩阵求逆或线性方程组求解，可结合解析几何或线性代数相关内容
教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 a(0)=71(+到()=F+F(),即:切向加速度为速率的变化率 g+2(x()()/()()a(0 (x()()x()F()as()≠0 可见:法向加速度的大小为曲率半径同速率平方的乘积;而指向总是指向曲率中心(仅由凹 凸性决定),对此可按枚举说明。 平面运动方程应用 个案研究(一):聪明的列车售货员 n 基于平面运动方程,如上图所示:(a)列车在翻越山峰(对应上凸函数)时,台秤的读 数将减小;(b)经过山谷(对应下凸函数)时,台秤的读数将增大 个案研究(二):变轨设计 以曲率(对应二阶导数)连续为原则 对上图所示的变轨,可有如下设计方案 0-0)=0 0 asx≤0 方案1:f(x)= 有 R-√R2-x2asx>0 a0少(0),故在o点将“感受跳跃 #本事例借鉴于(俄)菲赫金哥尔茨著《微积分教程》中相关事例 第4页共6页
教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 4 页 共 6 页 2 2 2 2 1 d a t xx yy t x y t x y dt ，即：切向加速度为速率的变化率。 2 2 2 2 2 2 2 2 sgn 0 1 sgn 0 n d y x t x t t v t as x t dx a t yx xy t x y d x x t y t t v t as y t dy 可见：法向加速度的大小为曲率半径同速率平方的乘积；而指向总是指向曲率中心（仅由凹 凸性决定），对此可按枚举说明。 ⑤ 平面运动方程应用 个案研究（一）：聪明的列车售货员 x y o n n mg N 2 v m mg 2 N v m 基于平面运动方程，如上图所示：（a）列车在翻越山峰（对应上凸函数）时，台秤的读 数将减小；（b）经过山谷（对应下凸函数）时，台秤的读数将增大。 个案研究（二）：变轨设计 —— 以曲率（对应二阶导数）连续为原则 x y o n n 对上图所示的变轨，可有如下设计方案： 方案 1： 2 2 0 0 0 as x f x R R x as x ，有： 2 00 0 0 0 0 n n a v a R ，故在o 点将“感受跳跃”。 ‡‡ 本事例借鉴于（俄）菲赫金哥尔茨著《微积分教程》中相关事例
教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 0 as x2时 jan(0-0)=0 故在O点将“连续过渡 ·xasx>0 1a1(0+0)=0 探究性学习与研究 参照上述分析,学生可研究平面极坐标基下的运动方程;基本思想及方法完全一致,无 原则上困难。在后续课程中,我们将研究 Kepler行星运动定律同 Newton万有引力定律之间 的相互推演;对此过程适合采用极坐标基下的运动方程 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第1课时:①R2的几何化认识;②R2中曲线(轨迹)的参数表示及自然基; ③曲率及曲率半径 第2课时:④平面运动方程推导;平面运动方程应用 4.讲述特点及追求效果 ◆本知识点的主要内容为对平面运动方程的研究,对此理论发展过程体现“问题驱动”的 思维过程。对此过程,一般先按实际需要(对事物所需的刻画)产生数学定义,然后再 进行数学分析¨ ◇数学分析过程,务求严格精确;并且注重数学分析结论所解释的自然机制。按自身现有 体会,建议学生关注“力学或物理等过程往往紧密联系于几何”,如我们所见到的法向加 速度其大小联系于曲率,其指向联系于凹凸性。 ◇建议学生体会“数学在揭示自然机制中的作为”。我们已认识到,二阶导数连续(对应法 向加速度连续)是转轨设计的原则。然而,我们肉眼可以“察觉”连续性(图像无间断), 阶导数连续性(切线连续变化),但对二阶导数连续性似乎“无能为力”;我们似乎也 无法“察觉”幂函数λ·x”对应p≤2和p>2的区别。籍此,我们可以通过数学获得对自 然深层机制的认识 ◇我们现将研究方法分成三类:真实实验、数值实验以及数学实验。数学实验理解为数学 §注:为反映相关叙述的完整性,本教案涉及内容需安排2课时, 自身的教学研究与实践,紧密联系于学习和科学技术研究,籍此尽力提升自身的知识体系水平,并追求数理知识体系在认 识自然及非自然世界中的作为;通过教学亦即时地将自身的理解和体会传递给学生,以供学习和借鉴。总体上而言,在研习 相关教程基础上,现微积分知识体系的叙述反映较为系统的自身理解和体会。教学中极力向学生叙述清晰的知识体系;学术 上可以风格各异,故自身的理解和体会也供学生学习和借鉴;重要的是帮助学生建立坚实的、有效的适合自身自我学习和发 展的知识体系 第5页共6页
教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 5 页 共 6 页 方案 2： 0 0 0 p as x f x x as x ，有：当 p 2 时， 00 0 00 0 n n a a ，故在o 点将“连续过渡”。 探究性学习与研究 参照上述分析，学生可研究平面极坐标基下的运动方程；基本思想及方法完全一致，无 原则上困难。在后续课程中，我们将研究 Kepler 行星运动定律同 Newton 万有引力定律之间 的相互推演；对此过程适合采用极坐标基下的运动方程。 3. 课时安排§§ 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：① 2 的几何化认识；② 2 中曲线（轨迹）的参数表示及自然基； ③曲率及曲率半径。 第 2 课时：④平面运动方程推导；⑤平面运动方程应用。 4. 讲述特点及追求效果 本知识点的主要内容为对平面运动方程的研究，对此理论发展过程体现“问题驱动”的 思维过程。对此过程，一般先按实际需要（对事物所需的刻画）产生数学定义，然后再 进行数学分析*** 。 数学分析过程，务求严格精确；并且注重数学分析结论所解释的自然机制。按自身现有 体会，建议学生关注“力学或物理等过程往往紧密联系于几何”，如我们所见到的法向加 速度其大小联系于曲率，其指向联系于凹凸性。 建议学生体会“数学在揭示自然机制中的作为”。我们已认识到，二阶导数连续（对应法 向加速度连续）是转轨设计的原则。然而，我们肉眼可以“察觉”连续性（图像无间断）， 一阶导数连续性（切线连续变化），但对二阶导数连续性似乎“无能为力”；我们似乎也 无法“察觉”幂函数 p x 对应 p 2和 p 2 的区别。籍此，我们可以通过数学获得对自 然深层机制的认识。 我们现将研究方法分成三类：真实实验、数值实验以及数学实验。数学实验理解为数学 §§ 注：为反映相关叙述的完整性，本教案涉及内容需安排 2 课时。 ***自身的教学研究与实践，紧密联系于学习和科学技术研究，籍此尽力提升自身的知识体系水平，并追求数理知识体系在认 识自然及非自然世界中的作为；通过教学亦即时地将自身的理解和体会传递给学生，以供学习和借鉴。总体上而言，在研习 相关教程基础上，现微积分知识体系的叙述反映较为系统的自身理解和体会。教学中极力向学生叙述清晰的知识体系；学术 上可以风格各异，故自身的理解和体会也供学生学习和借鉴；重要的是帮助学生建立坚实的、有效的适合自身自我学习和发 展的知识体系
教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 建模、数学分析以及数学结论(数学实验结果)。有些数学实验结果是确定的,有些则不 确定,甚至有些情况数学实验无法涉及。如转轨研究中,某点速率为零则自然基就无法 建立;某点二阶导数不连续则法向加速度就无法确定。对此,我们可以通过真实实验获 得对问题的认识。 ◇对于综合性应用,我们既展现相关知识的灵活应用,也通过应用体验对所学知识的“温 故而知新”。 ◆相关叙述中,注重结合和引入其它课程的有关知识,以促进不同课程(知识体系)间的 融合。我们认为,这样有助于整个知识系统间的“融会贯通、触类旁通”。 5.教学方式 全程脱稿板书。 第6页共6页
教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 6 页 共 6 页 建模、数学分析以及数学结论（数学实验结果）。有些数学实验结果是确定的，有些则不 确定，甚至有些情况数学实验无法涉及。如转轨研究中，某点速率为零则自然基就无法 建立；某点二阶导数不连续则法向加速度就无法确定。对此，我们可以通过真实实验获 得对问题的认识。 对于综合性应用，我们既展现相关知识的灵活应用，也通过应用体验对所学知识的“温 故而知新”。 相关叙述中，注重结合和引入其它课程的有关知识，以促进不同课程（知识体系）间的 融合。我们认为，这样有助于整个知识系统间的“融会贯通、触类旁通”。 5. 教学方式 全程脱稿板书
