复旦大学：《数学分析》教案讲稿_平面运动方程及其应用.pdf_大学文库

教案:平面运动方程及其应用一维 Euclid空间上微分学综合应用之教案:平面运动方程及其应用一维 Euclid空间上微分学综合应用之课程:《数学分析(Ⅰ)》(一年制,面对力学类等 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:平面运动方程及应用。主要内容为基于一维 Euclid空间上微分学,获得平面轨迹的速度及加速度在自然基下的表达形式,并应用于高架匝道或弯曲轨道设计等实际问题。理论分析,可作为一维 Euclid空间上微分学的综合应用,涉及基于无限小增量公式处理复杂函数极限,复合函数链式求导法则,分段函数求导,局部微分同胚存在性定理(反函数定理),凹凸性,曲率半径及曲率等。实际应用,展现数学在认识自然世界过程中的作为 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素: ①R2的几何化认识 Ra axel(=12中任一元素x可以表示为:x-x-[小=x+x, 此处{满足[可]=12,称为典则基( canonical basis)3上述xeR2的“列矩阵表示” 和“向量表示”一一对应,我们将此称为“R2的几何化”。按线性代数有关概念,我们又可有 [] 此处{2,2}满足[,已]非奇异,称为一般基。由此可见,R2的几何化可以基于不同的基,且非仅限于典则基。典则基可认为是“最简单的基”而非“最适合的基”;我们应该针对具体问题而选择适合的基。例如:如下图所示,R2中一块平面四边形的几何表示,选择适当的基可使得坐标取值按现有认识,我们按“知识点及知识要素”构建知识体系,并决定教学内容及进度,对于各门知识体系,我们先将其归类成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识点又由若干“知识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合,具有一定独立性或功用性;知识要素即为上述知识集合的核心内容,以“知识点+知识要素”组织知识体系,有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征 ↑我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法,而非仅是逻辑过程第1页共6页

教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一第 1 页共 6 页教案* ：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述）本知识点：平面运动方程及应用。主要内容为基于一维 Euclid 空间上微分学，获得平面轨迹的速度及加速度在自然基下的表达形式，并应用于高架匝道或弯曲轨道设计等实际问题。理论分析，可作为一维 Euclid 空间上微分学的综合应用，涉及基于无限小增量公式处理复杂函数极限，复合函数链式求导法则，分段函数求导，局部微分同胚存在性定理（反函数定理），凹凸性，曲率半径及曲率等。实际应用，展现数学在认识自然世界过程中的作为。 2. 知识要素（教学内容细致目录）本知识点，包括如下知识要素： ① 2  的几何化认识   1 2 2 1,2 i x x i x                     中任一元素 x 可以表示为： 1 1 1 2 2 2 12 1 2 , x x x i i xi xi x x                  ，此处i i 1 2 ,    满足 12 2   ii I ,      ，称为典则基（canonical basis）。上述 2 x 的“列矩阵表示” 和“向量表示”一一对应，我们将此称为“ 2  的几何化”。按线性代数有关概念，我们又可有：   11 1 22 2 12 1 2 ˆ , , ˆ x x x x ii ee x x x                     此处e e 1 2 ,    满足e e 1 2 ,    非奇异，称为一般基。由此可见， 2  的几何化可以基于不同的基，且非仅限于典则基。典则基可认为是“最简单的基”而非“最适合的基”；我们应该针对具体问题而选择适合的基。例如：如下图所示， 2  中一块平面四边形的几何表示，选择适当的基可使得坐标取值 * 按现有认识，我们按“知识点及知识要素”构建知识体系，并决定教学内容及进度。对于各门知识体系，我们先将其归类成若干“知识点”（knowledge point），而每个知识点又由若干“知识要素”（knowledge element）组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集合的核心内容。以“知识点+知识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 † 我们始终将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程

教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一第 3 页共 6 页                           0 , 0 , p p dy x t as x t x t C B t x B t dx tg t dx y t as y t y t C B t y B t dy                   此处需说明，局部微分同胚的存在性，由此可有曲线的局部 Monge 表示§ ，籍此可定义斜率角。按 Landau 的局部分析（基于无限小增量公式的分析**），推导得：曲率半径计算式       3 2 2 2 x y t t yx xy           。进一步，引进曲率：         3 2 2 2 1 yx xy t t t x y             。可见，曲率在速度不为零的点都有定义，而曲率半径则不一定。 ④ 平面运动方程推导按现有程度，在典则基下，我们有如下速度及加速度定义：   , , ,,    x xx rt i j t va t i j t y yy                                    由典则基的定义：      2 2 1 , , x y nt ij t x y y x                              可得†† ：       2 2 1 , , x y ij t n t x y y x                               代入速度及加速度在典则基的表示，通过矩阵运算，即得：            2 2 22 22 , , 1 1 , , 0 x x va t i j t y y x y xx x y xx yy n tn t xy xy yx yy yx xy                                                                           进一步分析得： ‡ 局部微分同胚指当函数的定义域限制于某个开区间，则其对应的值域也为开区间；函数实现两者间的一一对应，且反函数具有同原函数一致的正则性（直至某阶导数连续可微）。 § Monge 表示指以某个坐标作为参数。 ** 无限小增量公式，即为带 Peano 余项的 Taylor 展开。 †† 可按矩阵求逆或线性方程组求解，可结合解析几何或线性代数相关内容

教案:平面运动方程及其应用一维 Euclid空间上微分学综合应用之 0 as x2时 jan(0-0)=0 故在O点将“连续过渡 ·xasx>0 1a1(0+0)=0 探究性学习与研究参照上述分析,学生可研究平面极坐标基下的运动方程;基本思想及方法完全一致,无原则上困难。在后续课程中,我们将研究 Kepler行星运动定律同 Newton万有引力定律之间的相互推演;对此过程适合采用极坐标基下的运动方程 3.课时安排本知识点,共计安排2课时第1课时:①R2的几何化认识;②R2中曲线(轨迹)的参数表示及自然基; ③曲率及曲率半径第2课时:④平面运动方程推导;平面运动方程应用 4.讲述特点及追求效果 ◆本知识点的主要内容为对平面运动方程的研究,对此理论发展过程体现“问题驱动”的思维过程。对此过程,一般先按实际需要(对事物所需的刻画)产生数学定义,然后再进行数学分析¨ ◇数学分析过程,务求严格精确;并且注重数学分析结论所解释的自然机制。按自身现有体会,建议学生关注“力学或物理等过程往往紧密联系于几何”,如我们所见到的法向加速度其大小联系于曲率,其指向联系于凹凸性。 ◇建议学生体会“数学在揭示自然机制中的作为”。我们已认识到,二阶导数连续(对应法向加速度连续)是转轨设计的原则。然而,我们肉眼可以“察觉”连续性(图像无间断), 阶导数连续性(切线连续变化),但对二阶导数连续性似乎“无能为力”;我们似乎也无法“察觉”幂函数λ·x”对应p≤2和p>2的区别。籍此,我们可以通过数学获得对自然深层机制的认识 ◇我们现将研究方法分成三类:真实实验、数值实验以及数学实验。数学实验理解为数学 §注:为反映相关叙述的完整性,本教案涉及内容需安排2课时, 自身的教学研究与实践,紧密联系于学习和科学技术研究,籍此尽力提升自身的知识体系水平,并追求数理知识体系在认识自然及非自然世界中的作为;通过教学亦即时地将自身的理解和体会传递给学生,以供学习和借鉴。总体上而言,在研习相关教程基础上,现微积分知识体系的叙述反映较为系统的自身理解和体会。教学中极力向学生叙述清晰的知识体系;学术上可以风格各异,故自身的理解和体会也供学生学习和借鉴;重要的是帮助学生建立坚实的、有效的适合自身自我学习和发展的知识体系第5页共6页

教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一第 5 页共 6 页方案 2：   0 0 0 p as x f x  x as x        ，有：当 p  2 时，     00 0 00 0 n n a a         ，故在o 点将“连续过渡”。探究性学习与研究参照上述分析，学生可研究平面极坐标基下的运动方程；基本思想及方法完全一致，无原则上困难。在后续课程中，我们将研究 Kepler 行星运动定律同 Newton 万有引力定律之间的相互推演；对此过程适合采用极坐标基下的运动方程。 3. 课时安排§§ 本知识点，共计安排 2 课时：第 1 课时：① 2  的几何化认识；② 2  中曲线（轨迹）的参数表示及自然基； ③曲率及曲率半径。第 2 课时：④平面运动方程推导；⑤平面运动方程应用。 4. 讲述特点及追求效果  本知识点的主要内容为对平面运动方程的研究，对此理论发展过程体现“问题驱动”的思维过程。对此过程，一般先按实际需要（对事物所需的刻画）产生数学定义，然后再进行数学分析*** 。  数学分析过程，务求严格精确；并且注重数学分析结论所解释的自然机制。按自身现有体会，建议学生关注“力学或物理等过程往往紧密联系于几何”，如我们所见到的法向加速度其大小联系于曲率，其指向联系于凹凸性。  建议学生体会“数学在揭示自然机制中的作为”。我们已认识到，二阶导数连续（对应法向加速度连续）是转轨设计的原则。然而，我们肉眼可以“察觉”连续性（图像无间断），一阶导数连续性（切线连续变化），但对二阶导数连续性似乎“无能为力”；我们似乎也无法“察觉”幂函数 p   x 对应 p  2和 p  2 的区别。籍此，我们可以通过数学获得对自然深层机制的认识。  我们现将研究方法分成三类：真实实验、数值实验以及数学实验。数学实验理解为数学 §§ 注：为反映相关叙述的完整性，本教案涉及内容需安排 2 课时。 ***自身的教学研究与实践，紧密联系于学习和科学技术研究，籍此尽力提升自身的知识体系水平，并追求数理知识体系在认识自然及非自然世界中的作为；通过教学亦即时地将自身的理解和体会传递给学生，以供学习和借鉴。总体上而言，在研习相关教程基础上，现微积分知识体系的叙述反映较为系统的自身理解和体会。教学中极力向学生叙述清晰的知识体系；学术上可以风格各异，故自身的理解和体会也供学生学习和借鉴；重要的是帮助学生建立坚实的、有效的适合自身自我学习和发展的知识体系