复旦大学：《数学分析》讲稿_Euclid空间上微积分（高维微分学）_向量值映照微分学——向量值映照的可微性

高维微分学——向量值映照的可微性 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11向量值映照的可微性定义 可微性作为映照的一种“局部行为”,指自变量变化所引起的因变量的变化可由自变量空间 至因变量空间之间的线性映照逼近,误差为一阶无穷小量,如图1所示 yo J(+h)-f(a)=Df(a)h a f(a +h) h f(a f(a+h) a+h f(a+h)-f(a)=Df(a)h a+h 图1:向量值映照可微性示意 定义1.1(向量值映照可微性).对一般向量值映照 f(x):R%x3T→f(a) t92①,有 f(o+h)-f(a)=Df(eo)(h)+o(hRm)ER, Df(ao)E Z(RR") 则称∫(x)在co点可微,可称Df(x0)(h)∈Rn为∫(x)在xo∈Rm点的微分 ①表示x0为定义域分x的内点

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——向量值映照的可微性 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 向量值映照的可微性定义 可微性作为映照的一种 “局部行为”, 指自变量变化所引起的因变量的变化可由自变量空间 至因变量空间之间的线性映照逼近, 误差为一阶无穷小量，如图1所示. x 1 x i x p O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx y 1 y α y q O f(x) f(x + hˆ) f(x + h˜) f(x + hˆ) − f(x) .= Df(x)hˆ f(x + h˜) − f(x) .= Df(x)h˜ f 图 1: 向量值映照可微性示意 定义 1.1 (向量值映照可微性). 对一般向量值映照 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R n , x0 ∈ intDx ➀, 有 f(x0 + h) − f(x) = Df(x0)(h) + o(|h|Rm) ∈ R n , Df(x0) ∈ L (R m; R n ) 则称 f(x) 在 x0 点可微, 可称 Df(x0)(h) ∈ R n 为 f(x) 在 x0 ∈ R m 点的微分. ➀ 表示 x0 为定义域 Dx 的内点 1

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 以下研究微分Df(xo)(h)的表达式由Df(xo)∈(Rmn;Rn)可有 Df(xoh)=Df(xo)(h2i1+…+h"im)=∑Df(xo)ai)h [Df(ao)(i1),., Df(eco)(im) 按可微性定义,特取h=λi∈Rm,有 f(ao+ Aii)-f(ao)=ADf(eo(ii)+O()ER 亦即,有 彐lim f(xo+Ai)-∫(xo) =Df(c0)(i)∈R 再由存在向量值映照极限等价于存在各分量的极限,则有 入→0∈R 入→0∈R 尸(xo+Ai1)-fn(xo) 定义向量值映照∫(x)在xo点相对于自变量第i个分量x2的变化率 0 全lim f(ao+ Aii)-f(ao) 入 以及∫(c)的第a个分量f(x)相对于x2的变化率 dzi(zo)4 lim fa(ao+xi)-foao eR, af 即有 「af1 Co= af Dnr(ao)∈ af 综上所述,有 0f1 0f1 a xm D f(ao) (x0) 0尸n axm

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 以下研究微分 Df(x0)(h) 的表达式. 由 Df(x0) ∈ L (R m; R n ) 可有 Df(x0)(h) = Df(x0)(h 1 i1 + · · · + h mim) = ∑m i=1 Df(x0)(ii)h i = [Df(x0)(i1), · · · , Df(x0)(im)]     h 1 . . . h m     . 按可微性定义, 特取 h = λii ∈ R m, 有 f(x0 + λii) − f(x0) = λDf(x0)(ii) + o(λ) ∈ R n . 亦即, 有 ∃ lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ = Df(x0)(ii) ∈ R n . 再由存在向量值映照极限等价于存在各分量的极限, 则有 lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ =              lim λ→0∈R f 1 (x0 + λii) − f 1 (x0) λ . . . lim λ→0∈R f α(x0 + λii) − f α(x0) λ . . . lim λ→0∈R f n (x0 + λii) − f n (x0) λ              定义向量值映照 f(x) 在 x0 点相对于自变量第 i 个分量 x i 的变化率 ∂f ∂xi (x0) , lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ ∈ R n , 以及 f(x) 的第 α 个分量 f α(x) 相对于 x i 的变化率 ∂fα ∂xi (x0) , lim λ→0∈R f α(x0 + λii) − f α(x0) λ ∈ R, 即有 ∂f ∂xi (x0) =             ∂f 1 ∂xi (x0) . . . ∂fα ∂xi (x0) . . . ∂fn ∂xi (x0)             ∈ R n . 综上所述，有 Df(x0) = [ ∂f ∂x1 , · · · , ∂f ∂xm ] (x0) =         ∂f 1 ∂x1 · · · ∂f 1 ∂xm . . . . . . . . . ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xm         (x0) 2

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 矩阵Df(x0)∈Rn×m称为 Jacobi矩阵 可定义在向量值映照在某点沿某方向的变化率 e)垒,imJ(x0+xe)-f(m0)∈R,vem=1. f 入→0∈R 按可微性的定义,易见当∫(c)在xo∈Rm点可微,有 (ao)=Df(eo)e, vleRm= 1 1.2复合向量值映照的可微性定理 定理1.1(复合向量值映照的可微性定理).向量值映射 R"2 e(c)∈R 在xo∈int%CRm点可微;向量值映射 e(y):Rn293y→6(y)∈ 在v0=0(x0)∈ inte CR"点可微.则有 1.在c0点局部存在向量值的复合eo(x) 2.白。0(c)在xo点可微,且有 e。θ(∞0+△x)=。0(co)+De((xo)·Dθ(xo)△x+o(|△xlam 证明证明复合向量值映照的局部存在性。由于,考虑到co∈int%和yo∈inte,以及 可微性保证连续性,则有 入,μ∈ e(B(Eo))CBu(yo) 且BA(x0)cm和B(v)c。由此可构造: oθ(x):Bx(xo)3 6(m)≡e(6(a)∈ 证明可微性。基于6(y)∈R4在yo=6(x0)∈Rn点的可微性,即有: 3o+△y)=6(o)+De(3o)△y+o(△ylRn) 引入 △y≠0∈R B(0) R △y=0∈R 则有 6(90+△y)=6(3)+Dev0)△y+重(△y)·|△y,,△y∈B(0)CRn

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 矩阵 Df(x0) ∈ R n×m 称为 Jacobi 矩阵。 可定义在向量值映照在某点沿某方向的变化率 ∂f ∂e (x0) , lim λ→0∈R f(x0 + λe) − f(x0) λ ∈ R n , ∀ |e|Rm = 1. 按可微性的定义，易见当 f(x) 在 x0 ∈ R m 点可微, 有 ∃ ∂f ∂e (x0) = Df(x0) e, ∀ |e|Rm = 1 1.2 复合向量值映照的可微性定理 定理 1.1 (复合向量值映照的可微性定理). 向量值映射 θ(x) : R m ⊃ Dθ ∋ x 7→ θ(x) ∈ R n 在 x0 ∈ intDθ ⊂ R m 点可微; 向量值映射 Θ(y) : R n ⊃ DΘ ∋ y 7→ Θ(y) ∈ R l 在 y0 = θ(x0) ∈ intDΘ ⊂ R n 点可微. 则有 1. 在 x0 点局部存在向量值的复合 Θ ◦ θ(x); 2. Θ ◦ θ(x) 在 x0 点可微，且有 Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(θ(x0)) · Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) 证明 证明复合向量值映照的局部存在性。由于，考虑到 x0 ∈ intDθ 和 y0 ∈ intDΘ，以及 可微性保证连续性，则有： ∃λ, µ ∈ R +, s.t. θ(Bλ(x0)) ⊂ Bµ(y0) 且 Bλ(x0) ⊂ Dθ 和 Bµ(y0) ⊂ DΘ。由此可构造： Θ ◦ θ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)) ∈ R l 证明可微性。基于 Θ(y) ∈ R l 在 y0 = θ(x0) ∈ R n 点的可微性，即有： Θ(y0 + △y) = Θ(y0) + DΘ(y0)△y + o(|△y|Rn ) 引入 Φ(△y) : R n ⊃ Bµ(0) ∋ △y 7→ Φ(△y) , { o(|△y|Rn ) |△y|Rn △y ̸= 0 ∈ R n 0 △y = 0 ∈ R n ∈ R l 则有 Θ(y0 + △y) = Θ(y0) + DΘ(y0)△y + Φ(△y) · |△y|Rn , , ∀△y ∈ Bµ(0) ⊂ R n 3

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 基于6(x)∈R在co∈Rm点的可微性,取 △y=0(xo+△x)-0(x0)=D0(x0)△x+0(△xgm),V△x∈B()cRm 带入上式,则有 e。θ(xo+△a)=6oθ(xo)+De(yo)·[D6(x0)△c+o(△ab 垂(D(x0)△x+04△mm)-D(x0)△x+0(△r)m,Y△x∈B2(O)cRm 考虑到 De):△rlg)∈Rl △x-0∈Rm △xlRm o2(△x|gm) =0∈R,a=1 △x-0∈Rm|△alRm o(△ lRm) 即有: D6(y0)·o(△xlm)=o(△x|gm)∈R 考虑到 lim De(xo)△x+o(|△rlm)=0∈R y)=0=亚(0)∈R4 以及包含性条件 D6(xo)△c+o(△ rm)∈B1(0)cRn,Vx∈Bx(0)cR 按复合向量值映照的极限定理有 △x+0∈R2(D(xo)△x+o(△xlm)=0∈R lim 考虑到 D6(x0)△x+o(△alkm)ln 1D(n)△a+lpa)lx< De(o)lxml△rkm+l△rln) △lRm △c|Rm △lRm ≤|D(x0)lnxm+1当:|△c|m≤1 此处D(xo) Rnm√/∑a=1∑m=1/2。故有: 分、MimD0(xo)△x+o(△akm)|D(x0)△x+o(|△am)Rn 0∈R 重(D(x0)△x+o(△lm)·|De(xo)△x+o(△xlgm)n=o(△cm)∈R

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 基于 θ(x) ∈ R n 在 x0 ∈ R m 点的可微性，取 △y := θ(x0 + △x) − θ(x0) = Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm), ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 带入上式，则有 Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(y0) · [Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)] + Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn , ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 考虑到： lim △x→0∈Rm DΘ(y0) · o(|△x|Rm) |△x|Rm ∈ R l ⇔ lim △x→0∈Rm 1 |△x|Rm · [ ∂Θα ∂y1 , · · · , ∂Θα ∂yn ] (y0) ·     o 1 (|△x|Rm) . . . o n (|△x|Rm)     = 0 ∈ R, α = 1, · · · , n 即有： DΘ(y0) · o(|△x|Rm) = o(|△x|Rm) ∈ R l 考虑到： lim △x→0∈Rm [Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)] = 0 ∈ R n , lim △y→0∈Rn Φ(△y) = 0 = Φ(0) ∈ R l 以及包含性条件： Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) ∈ Bµ(0) ⊂ R n , ∀ x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 按复合向量值映照的极限定理有 lim △x→0∈Rm Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) = 0 ∈ R l 考虑到： |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)△x|Rn |△x|Rm + |o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)|Rn×m · |△x|Rm |△x|Rm + |o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)|Rn×m + 1 当：|△x|Rm ≪ 1 此处 |Dθ(x0)|Rn×m , √∑n α=1 ∑m j=1 |∂θ α /∂xj | 2。故有： lim △x→0∈Rm Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm = 0 ∈ R l 即有： Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn = o(|△x|Rm) ∈ R l 4

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 综上所述,则有: e。0(x0+△x)=6o0(xo)+De((xo)·D(x0)△x+o(△akm)∈R,△x∈B1(0)<Rmn 如果g为向量值映射 gly 则g和∫复合成向量值映射 (go f)( gof:Rmn→→R →(gof)(x)= 按复合向量值映照的可微性定量,复合映照(g°∫)(x)的 Jacobi矩阵为 D(go f)(a)= Dg(f(e)). Df(a), 亦即为 9 afn f a(go f) af arl a fl 对于上述向量值映射的每个分量,即为多元函数 (gof)P(x)=gP(f(x)=gP(f(x2,…,xm),…,f(a2,…,xm)vp=1,…l, 向量值映射的每个分量遵循以下链式求导法则 a(go f)p 0f7 (f() axk 如有f(x)=f(m1(a),…,m(x)∈R式中1(x)∈R1,…,们2(x)∈Rv;∈Rm,则有 Df(x)=Dnf(m1(x)…;n(x)Dn1(x)+…+Dnf(m1(x),…,n(x)Dn(x)∈Rx(m++n) 分析 f(a):Rm3x→f(x)全∫(m1(x),…,n(m)=fon(x)∈R 此处 1(x) RehNa= ∈Rn++nq

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 综上所述，则有： Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(θ(x0)) · Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) ∈ R l , ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 如果 g 为向量值映射 g : R n −→ R l ; y =     y 1 . . . y n     7−→ g(y) =     g 1 (y 1 , · · · , yn ) . . . g l (y 1 , · · · , yn )     则 g 和 f 复合成向量值映射 g ◦ f : R m −→ R l ; x =     x 1 . . . x m     7−→ (g ◦ f)(x) =     (g ◦ f) 1 (x 1 , · · · , xm) . . . (g ◦ f) l (x 1 , · · · , xm)     . 按复合向量值映照的可微性定量, 复合映照 (g ◦ f)(x) 的 Jacobi 矩阵为 D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) · Df(x), 亦即为       ∂(g ◦ f) 1 ∂x1 · · · ∂(g◦f) 1 ∂xm . . . · · · . . . ∂(g ◦ f) l ∂x1 · · · ∂(g ◦ f) l ∂xm       l×m =        ∂g1 ∂f 1 · · · ∂g1 ∂fn . . . · · · . . . ∂gl ∂fl · · · ∂gl ∂fn        l×n ·       ∂f 1 ∂x1 · · · ∂f 1 ∂xm . . . · · · . . . ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xm       n×m . 对于上述向量值映射的每个分量，即为多元函数 (g ◦ f) p (x) = g p (f(x)) = g p (f 1 (x 1 , · · · , xm), · · · , fn (x 1 , · · · , xm)) ∀ p = 1, · · · l, 向量值映射的每个分量遵循以下链式求导法则： ∂(g ◦ f) p ∂xk (x) = ∑n j=1 ∂gp ∂fj (f(x)) · ∂fj ∂xk ∀ k = 1, · · · m; ∀ p = 1, · · · l. (1) 如有 fˆ(x) = f(η1 (x), · · · , ηq (x)) ∈ R l 式中 η1 (x) ∈ R n1 , · · · , ηq (x) ∈ R nq ; x ∈ R m，则有 Dfˆ(x) = Dη1 f(η1 (x), · · · , ηq (x))Dη1 (x)+· · ·+Dηq f(η1 (x), · · · , ηq (x))Dηq (x) ∈ R l×(n1+···+nq) 分析： fˆ(x) : R m ∋ x 7→ fˆ(x) , f(η1 (x), · · · , ηq (x)) ≡ f ◦ η(x) ∈ R l 此处 R m ∋ x 7→ η(x) =     η1 (x) . . . ηq (x)     ∈ R n1+···+nq 5

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 按复合映照可微性定理,则有 Df)=[Dnf…,D,(m() Dna(a) =Dnf(m(m)Dn1(x)+…+Dnf(m(m)Dn(x) 1.3高阶偏导数 无论对多元函数还是向量值映照,如有存在对自变量某个分量的一阶偏导函数,则可进一步 考虑其对自变量某个分量的偏导数,含有二次或二次以上的偏导数可统称为高阶偏导数 例如,对多元函数 f(x):R"%x3→f(a)∈R 存在关于x2的偏导函数 an(a):R%3→ar()∈R 则可进一步考虑(x)在x点关于m的变化率 diori(a)4 a axj(aril()4 +A2 可称abr(a)为f(x)在正点的二阶偏导数,如果i≠j又可称为混合偏导数 值得指出,一般情况混合偏导数并不一定相等,亦即 axia A-0∈R 品(+)数mn业(+)一是()全P 入→0∈R azOr(a) 2应用事例 21分片函数的偏导数 事例1(一阶偏导数都不连续,不可微). y2 (x,y)≠(0,0) , (x,y)=(0,0) 连续性:全空间连续 阶偏导数: 2a n(20)=(2+)2(0)≠00 (x,y)=(0,0) (x2+y2)2 (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0)

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 按复合映照可微性定理，则有 Dfˆ(x) = [ Dη1 f, · · · , Dηq f ] (η(x))     Dη1 (x) . . . Dηq (x)     = Dη1 f(η(x))Dη1 (x) + · · · + Dηq f(η(x))Dηq (x) 1.3 高阶偏导数 无论对多元函数还是向量值映照, 如有存在对自变量某个分量的一阶偏导函数, 则可进一步 考虑其对自变量某个分量的偏导数, 含有二次或二次以上的偏导数可统称为高阶偏导数. 例如, 对多元函数 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R 存在关于 x i 的偏导函数 ∂f ∂xi (x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ ∂f ∂xi (x) ∈ R. 则可进一步考虑 ∂f ∂xi (x) 在 x 点关于 x j 的变化率 ∂ 2f ∂xj∂xi (x) , ∂ ∂xj ( ∂f ∂xi ) (x) , lim λ→0∈R ∂f ∂xi (x + λij ) − ∂f ∂xi (x) λ . 可称 ∂ 2f ∂xj∂xi (x) 为 f(x) 在 x 点的二阶偏导数, 如果 i ̸= j 又可称为混合偏导数. 值得指出, 一般情况混合偏导数并不一定相等, 亦即 ∂ 2f ∂xi∂xj , lim λ→0∈R ∂f ∂xj (x + λii) − ∂f ∂xj (x) λ ̸= lim λ→0∈R ∂f ∂xi (x + λij ) − ∂f ∂xi (x) λ , ∂ 2f ∂xj∂xi (x). 2 应用事例 2.1 分片函数的偏导数 事例 1 (一阶偏导数都不连续，不可微). f(x, y) =    x 2 y x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 连续性：全空间连续 一阶偏导数： ∂f ∂x(x, y) =    2xy3 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∂f ∂y (x, y) =    x 2 x 2 − y 2 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 6

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 事例2(一阶偏导数都不连续,可微) f(a, y) 2+y2(x,y)≠(0,0) (x,y)=(0.,0) 连续性:全空间连续 阶偏导数 f y sin √a2+y2(x2+y2)32y2+y (x,y)≠(0,0) (x,y) rsin=/2⊥y2 Cos +y2) (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0) 事例3(一阶偏导数都连续,可微). f(x,y)=)叫P+y2(x,y)≠(0.0) (x,y)=(0,0) 连续性:全空间连续 一阶偏导数 x2-y2 4. 2 (x,3))9p+B+(2+)(x,y)≠(0,0) (x,y)=(0, 4 今(x,y)=-x2+y2“(2+y2)2(,列)≠(00) 0 (x,y)=(0,0) 3拓广深化 3.1单参数向量值映照的变化率 dA dB 性质31.设A(),B()∈R3为两个单参数向量值映照,如果彐a(t,()∈R,则有 1.3元(aA+BB)(t)=a(t)+B,(t)∈R3,Va,B∈R; 2.3a(A,B2()=(cMB()+(4(,(),∈R d dB 3.3(4×B)t)=dt10×B(t)+A(t)×mn()∈R3

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 事例 2 (一阶偏导数都不连续，可微). f(x, y) =    xy sin 1 √ x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 连续性：全空间连续 一阶偏导数： ∂f ∂x(x, y) =    y sin 1 √ x 2 + y 2 − x 2y (x 2 + y 2) 3/2 cos 1 √ x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∂f ∂x(x, y) =    x sin 1 √ x 2 + y 2 − xy2 (x 2 + y 2) 3/2 cos 1 √ x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 事例 3 (一阶偏导数都连续，可微). f(x, y) =    xy x 2 − y 2 x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 连续性：全空间连续 一阶偏导数： ∂f ∂x(x, y) =    y x 2 − y 2 x 2 + y 2 + xy 4xy2 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∂f ∂y (x, y) =    x x 2 − y 2 x 2 + y 2 − xy 4xy2 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 3 拓广深化 3.1 单参数向量值映照的变化率 性质 3.1. 设 A(t), B(t) ∈ R 3 为两个单参数向量值映照, 如果 ∃ dA dt (t), dB dt (t) ∈ R 3 , 则有 1. ∃ d dt (αA + βB)(t) = α dA dt (t) + β dB dt (t) ∈ R 3 , ∀ α, β ∈ R; 2. ∃ d dt (A, B)R3 (t) = ( dA dt (t), B(t) ) R3 + ( A(t), dB dt (t) ) R3 ∈ R; 3. ∃ d dt (A × B)(t) = dA dt (t) × B(t) + A(t) × dB dt (t) ∈ R 3 . 7

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 证明方法一按映照观点(aA+BB)(t)∈R3可理解为 A1+BB1)(t) R3t→(aA+B()=a42()+B|B2()=(aA2+BB2)t)∈R3 A3+BB3)(t) 由此,可有 dal dB dA dB dt (aA+BB(t) d A2 dB da (t)+B dB2 d a3 dB d A3 d B3 (t) dB dt (t)+B(t) ∈ dt 类似地,有 R彐t B)g(t)=(41B1)(t)+(A2B2)(t)+(A3B3)(t)∈R 由此,可有 (A,B)g3(t) (aB2)(0+(8B2)()+ dal das BI B3)()+ dt )(t) 3dB d (t) dA (t,B(t)+(A(t),(t)∈R 另有 A2B3-A3B R3t→(A×B)(t) A2A()=A3B1-4B3(t)∈R BI B2B B2-A2Bl 可有 da3 2dB dal d Bl d B3 (A×B)(t) B3()+|A dA1n,d∠ dB2 dBl BI dt dB (t)×B(t)+A(t)×=(t)∈R 方法二按极限分析.考虑到 dA 全im (t+△t)-A(t)

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 证明 方法一 按映照观点. (αA + βB)(t) ∈ R 3 可理解为 R ∋ t 7→ (αA + βB)(t) = α     A1 A2 A3     (t) + β     B1 B2 B3     (t) =     (αA1 + βB1 )(t) (αA2 + βB2 )(t) (αA3 + βB3 )(t)     ∈ R 3 . 由此, 可有 d dt (αA + βB)(t) =          ( α dA1 dt + β dB1 dt ) (t) ( α dA2 dt + β dB2 dt ) (t) ( α dA3 dt + β dB3 dt ) (t)          = α         dA1 dt dA2 dt dA3 dt         (t) + β         dB1 dt dB2 dt dB3 dt         (t) = α dA dt (t) + β dB dt (t) ∈ R 3 . 类似地, 有 R ∋ t 7→ (A, B)R3 (t) = (A 1B 1 )(t) + (A 2B 2 )(t) + (A 3B 3 )(t) ∈ R. 由此, 可有 d dt (A, B)R3 (t) = ( dA1 dt B 1 ) (t) + ( dA2 dt B 2 ) (t) + ( dA3 dt B 3 ) (t) + ( A 1 dB1 dt ) (t) + ( A 2 dB2 dt ) (t) + ( A 3 dB3 dt ) (t) = ( dA dt (t), B(t) ) R3 + ( A(t), dB dt (t) ) R3 ∈ R. 另有 R ∋ t 7→ (A × B) (t) ,         i j k A1 A2 A3 B1 B2 B3         (t) =     A2B3 − A3B2 A3B1 − A1B3 A1B2 − A2B1     (t) ∈ R 3 , 可有 d dt (A × B)(t) =         dA2 dt B3 − dA3 dt B2 dA3 dt B1 − dA1 dt B3 dA1 dt B2 − dA2 dt B1         (t) +         A2 dB3 dt − A3 dB2 dt A3 dB1 dt − A1 dB3 dt A1 dB2 dt − A2 dB1 dt         (t) = dA dt (t) × B(t) + A(t) × dB dt (t) ∈ R 3 . 方法二 按极限分析. 考虑到 ∃ dA dt (t) , lim ∆t→0 A(t + ∆t) − A(t) ∆t ∈ R 3 8

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 等价于 dA (t+△t)=A(t)+(t)△t+o(△t) 故有 (aA+BB)(t+△t)≡aA(t+△t)+BB(t+△t) dA dB =aA()+a(t)△t+o△t)+B|B()+可(t)△t+o(△) aA+BB)(t) da dB (t)+B-1(t) o(△t) 亦即3a(a4+BB)()=aa(t)+Bat() 类似地,有 (A,B)3(t+△t)≡(A(t+△t),B(t+△t)g3 dA A(t)+x(t)△t+o(△),B(t)+a(t)△t+o(△t dA =(A,B)3(t)+ dB (t),B(t)+(A(),=(t) (A×B)(t+△)≡A(t+△t)×B(t+△t) LA dB 4(t)+x()△t+o(△t) ()+x(t)△t+o(△t) dA dB (A×B)(1)+x()×B(t)+A(1)×x(t)△t+o(△) 由此即有彐(A,B)R(t) dB (t), B(t)+(A(t).at 另外,可有彐(A×B)(t)=-(t)×B(t)+A(t)×=(t) 性质3.2.1.设A∈Rm×n为常数矩阵,b(t)∈Rn,有 R3t++Ab(t)∈Rn 则有 (Ab)(t)=Ax(t)∈R 设A(t)∈Rmxn,b(t)∈Rn,有 IRt+(Ab)(t)= A(tb(t)ER 则有 dt (ab)(t)=dt(t)b(t)+A()d(ER 此处 dAl (t) da dA

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 等价于 A(t + ∆t) = A(t) + dA dt (t)∆t + o(∆t), 故有 (αA + βB)(t + ∆t) ≡ αA(t + ∆t) + βB(t + ∆t) = α [ A(t) + dA dt (t)∆t + o(∆t) ] + β [ B(t) + dB dt (t)∆t + o(∆t) ] = (αA + βB)(t) + [ α dA dt (t) + β dB dt (t) ] ∆t + o(∆t), 亦即 ∃ d dt (αA + βB)(t) = α dA dt (t) + β dB dt (t). 类似地, 有 (A, B)R3 (t + ∆t) ≡ (A(t + ∆t), B(t + ∆t))R3 = ( A(t) + dA dt (t)∆t + o(∆t), B(t) + dB dt (t)∆t + o(∆t) ) R3 = (A, B)R3 (t) + [(dA dt (t), B(t) ) R3 + ( A(t), dB dt (t) ) R3 ] ∆ + o(∆t) (A × B)(t + ∆t) ≡ A(t + ∆t) × B(t + ∆t) = [ A(t) + dA dt (t)∆t + o(∆t) ] × [ B(t) + dB dt (t)∆t + o(∆t) ] = (A × B)(t) + [ dA dt (t) × B(t) + A(t) × dB dt (t) ] ∆t + o(∆t), 由此即有 ∃ d dt (A, B)R3 (t) = ( dA dt (t), B(t) ) R3 + ( A(t), dB dt (t) ) R3 . 另外, 可有 ∃ d dt (A × B)(t) = dA dt (t) × B(t) + A(t) × dB dt (t). 性质 3.2. 1. 设 A ∈ R m×n 为常数矩阵, b(t) ∈ R n , 有 R ∋ t 7→ Ab(t) ∈ R m 则有 d dt (Ab)(t) = A db dt (t) ∈ R m. 2. 设 A(t) ∈ R m×n，b(t) ∈ R n , 有 R ∋ t 7→ (Ab)(t) = A(t)b(t) ∈ R m 则有 d dt (Ab)(t) = dA dt (t)b(t) + A(t) db dt (t) ∈ R m, 此处 dA dt (t) :=       dA11 dt · · · dA1n dt . . . . . . dAm1 dt · · · dAmn dt       (t). 9

高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 3.设A(t)∈Rmxn,B(t)∈Rnx,有 Rt→(AB)(t)=A(t)B(t)∈R 则有 dB AB (t)B(t)+A(t)-(t) 设A(t)∈Rmxn,B(1)∈Rnx,C(t)∈R×P,有 R3t(ABC)(t)=A(t)B(t)C(t)∈Rn×P 则有 d dA dB dc (ABC)(t)=(t)B(C(t)+A(t)()C()+A(t)B(t)x(t)∈R"× 证明1.考虑 A in (t) a 则有 (Ab)()=∑Ab(t) 所以 (Abi(t) ∑ 因此,有 db (Ab)(t)=A(t)∈R 2.由(Ab)(t)=∑A3(t)b(t),有 da d bs b()=∑(()+∑4()( 即有 dA Ab(t=(t)b(t)+A(t)-(t) 3.由 (AB)()=∑A(t)B8(t,1≤im,1≤j≤1 则有 dB AB)ii (t) (t)Bk; (t)+> Aik(

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 3. 设 A(t) ∈ R m×n，B(t) ∈ R n×l , 有 R ∋ t 7→ (AB)(t) = A(t)B(t) ∈ R m×l , 则有 d dt (AB)(t) = dA dt (t)B(t) + A(t) dB dt (t). 4. 设 A(t) ∈ R m×n , B(t) ∈ R n×l , C(t) ∈ R l×p , 有 R ∋ t 7→ (ABC)(t) = A(t)B(t)C(t) ∈ R m×p , 则有 d dt (ABC)(t) = dA dt (t)B(t)C(t) + A(t) dB dt (t)C(t) + A(t)B(t) dC dt (t) ∈ R m×p . 证明 1. 考虑 Ab(t) =           A11 · · · A1n . . . . . . Ai1 · · · Ain . . . . . . Am1 · · · Amn               b 1 . . . b n     (t) ∈ R m 则有 (Ab)i(t) = ∑n s=1 Aisb s (t) 所以 d dt (Ab)i(t) = ∑n s=1 Ais db s dt (t). 因此，有 d dt (Ab)(t) = A db dt (t) ∈ R n . 2. 由 (Ab)i(t) = ∑n s=1 Ais(t)b s (t), 有 d dt (Ab)i(t) = ∑n s=1 dAis dt (t)b s (t) +∑n s=1 Ais(t) d, bs dt (t) 即有 d dt (Ab)(t) = dA dt (t)b(t) + A(t) db dt (t) ∈ R n . 3. 由 (AB)ij (t) = ∑n k=1 Aik(t)Bkj (t), 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 l 则有 d dt (AB)ij (t) = ∑n k=1 dAik dt (t)Bkj (t) +∑n k=1 Aik(t) dBkj dt (t), 10