复旦大学：《数学分析》讲稿_赋范线性空间上微分学-03-映照可微性与高阶导数

赋范线性空间上微分学——映照可微性与高阶导数 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 11映照可微性 定义11(映照可微性).x0为D2CX的内点,如果彐Df(xo)∈(X;Y),满足 f(ao + h)-f(ro)= Df(ro)(h)+o(hIxEy 亦即,自变量的变化而引起的因变量的变化,可由自变量空间至因变量空间的线性变换近似,且 差为一阶无穷小量,一般称Df(x0)(h)为微分,Df(xo)的具体形式可称为导数,可以记作 Df(x0)=:(xo)∈x(x 性质11(导数存在的唯一性).如有a,∈2(X;Y),满足 f(ro +h-f(ro)=d(h)+o(heY f(ao+h)-f(ro)= 8()+O(heY, 则有m=团=(x;Y) 证明由 (h)-(h)=(a-涕)(h)=0(hx)∈Y, 可取h=λe,V|e|x=1,按a和团的线性性,有 ∈Y, 即有(e)=(e),Vlx=1,亦即有a(x)=(x),x∈X.因此有a=∈(X;Y).口 定义12(方向导数).Vh∈X,|H|x≠0,可定义 4(+M=1=D∈y 为X∈Dx点f(x)∈Y关于h∈X的方向导数 性质1.2.如果f(x)在x点可微,则 3Df(x)=()(h)∈Y,Vh∈x,x≠0

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——映照可微性与高阶导数 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 映照可微性 定义 1.1 (映照可微性). x0 为 Dx ⊂ X 的内点, 如果 ∃ Df(x0) ∈ L (X; Y ), 满足 f(x0 + h) − f(x0) = Df(x0)(h) + o(|h|X) ∈ Y, 亦即, 自变量的变化而引起的因变量的变化, 可由自变量空间至因变量空间的线性变换近似, 且 误差为一阶无穷小量, 一般称 Df(x0)(h) 为微分, Df(x0) 的具体形式可称为导数 , 可以记作 Df(x0) =: df dx (x0) ∈ L (X; Y ). 性质 1.1 (导数存在的唯一性). 如有 A , B ∈ L (X; Y ), 满足 f(x0 + h) − f(x0) = A (h) + o(|h|X) ∈ Y, f(x0 + h) − f(x0) = B(h) + o(|h|X) ∈ Y, 则有 A = B = L (X; Y ). 证明 由 A (h) − B(h) = (A − B)(h) = o(|h|X) ∈ Y, 可取 h = λe, ∀ |e|X = 1, 按 A 和 B 的线性性, 有 (A − B)(e) = o(λ) λ ∈ Y, 即有 A (e) = B(e), ∀ |e|X = 1, 亦即有 A (x) = B(x), ∀ x ∈ X. 因此有 A = B ∈ L (X; Y ). 定义 1.2 (方向导数). ∀ h ∈ X, |h|X ̸= 0, 可定义 lim λ→0∈R f(x + λh) − f(x) λ =: Dhf(x) ∈ Y 为 X ∈ Dx 点 f(x) ∈ Y 关于 h ∈ X 的方向导数. 性质 1.2. 如果 f(x) 在 x 点可微, 则 ∃ Dhf(x) = df dx (x)(h) ∈ Y, ∀ h ∈ X, |h|X ̸= 0. 1

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 证明由可微性,有估计 (x+Mb)-f(x)=x(x)(Mh)+o(Mhlx)=Ax(x)(h)+o(刘)∈Y, 即有 a lim f(az+ Ah)-f()=df (x)(h)∈Y 入→0∈R 性质13.对v{n}∈NCx(X;Y),mn→∈x(X;Y),则有 an(x)→∞0(x)∈Y,Vx∈X 证明有估计 an(a)-do(a)ly=l(dn-d)(a)lr <Ian -dole(x: r)lazlx 定理1.4(复合映照可微性定理).设有映照 e(a): XD Dx (x)∈ e(y):YDy3y+(y)∈Z, 如有 B(ro+h)=0(o)+(co(h)+o(hxEY e(90+b)=6(90)+x(9)(b)+o(by)∈Z,9o=(mo)∈Y 亦即(x)∈Y在点x0∈X可微,O(y)∈Z在点v∈Y可微,则有 e。6(xo+h)=6(mo)+x(6o6(mo)(h)+o(hx)∈z d()(a)=a(o)°a(20)∈x(x; 证明由e(y)∈Z在点犰∈Y的可微性,扩充可微性的关系式为 (30+k)=6(9)+x(0)(k)+v(k)ky∈Z, 此处 ∈Z,|y≠0, 0∈Z,|ky=0∈Y, 显见有,lim,v(k)=0=v(0)∈Z.扩充后的关系式同样适用于k=0∈Y的情形

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 证明 由可微性, 有估计 f(x + λh) − f(x) = df dx (x)(λh) + o(|λh|X) = λ df dx (x)(h) + o(λ) ∈ Y, 即有 ∃ lim λ→0∈R f(x + λh) − f(x) λ = df dx (x)(h) ∈ Y. 性质 1.3. 对 ∀ {An}n∈N ⊂ L (X; Y ), An → A0 ∈ L (X; Y ), 则有 An(x) → A0(x) ∈ Y, ∀ x ∈ X. 证明 有估计 |An(x) − A0(x)|Y = |(An − A0)(x)|Y 6 |An − A0|L (X;Y ) |x|X. 定理 1.4 (复合映照可微性定理). 设有映照 θ(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ θ(x) ∈ Y, Θ(y) : Y ⊃ Dy ∋ y 7→ Θ(y) ∈ Z, 如有 θ(x0 + h) = θ(x0) + dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ∈ Y, Θ(y0 + b) = Θ(y0) + dΘ dy (y0)(b) + o(|b|Y ) ∈ Z, y0 = θ(x0) ∈ Y, 亦即 θ(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ X 可微, Θ(y) ∈ Z 在点 y0 ∈ Y 可微, 则有 Θ ◦ θ(x0 + h) = Θ ◦ θ(x0) + d dx (Θ ◦ θ)(x0)(h) + o(|h|X) ∈ Z, 且 d dx (Θ ◦ θ)(x0) = dΘ dy (θ(x0)) ◦ dθ dx (x0) ∈ L (X;Z). 证明 由 Θ(y) ∈ Z 在点 y0 ∈ Y 的可微性, 扩充可微性的关系式为 Θ(y0 + k) = Θ(y0) + dΘ dy (y0)(k) + ψ(k)|k|Y ∈ Z, 此处 ψ(k) =    o(|k|Y ) |k|Y ∈ Z, |k|Y ̸= 0, 0 ∈ Z, |k|Y = 0 ∈ Y, 显见有 lim k→0∈Y ψ(k) = 0 = ψ(0) ∈ Z. 扩充后的关系式同样适用于 k = 0 ∈ Y 的情形. 2

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 可取k=(x0+h)-(xo)=x(xo)(h)+o(hlx)∈Y,则有 (30+6(x0+h)-6(x0))=日。(x0+h) =600(x0)+(0)(xo()+o(hkx) +v(x(x0)()+o(hx) o)(h)+o(hIx de =o(x0)+x(9)ox(xo)(h)+x(o)(o(hlx) +(d(0)()+(lx)a(x0(b)+a(lx 估计 (30)(o(hx) (o(laxly d 2(Y;z ThIx hx →0(h→0∈X), 则有 d (30)(o(hx))=o(h|x)∈Z. 估计 dr(to)(h)+o(hlx (ro)(h)+o(hIx hlx 16 (o(h)+o(h o(hx)lr 0(h→0∈X) 此处考虑到 hex dz(colh)+o(x=0EY (k)=0∈Z, 按复合映照可微性定理,有 de 彐,im(x(xo)(h)+o(hx)=0∈Z 综上有 e。6(mo+h)=6。6(xo)+x(6(xo)ox(xo)(h)+o(hlx)∈ 1.2有限增量估计 定理15(有限增量估计).设有函数f(x):XD3x+f(x)∈Y及闭线段[a,全 {a+t(b-a)∈Xt∈0,1}cDx,满足: 1.f(x)∈Ca,b,亦即∫(x)在闭线段[a,b上连续

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 可取 k = θ(x0 + h) − θ(x0) = dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ∈ Y , 则有 Θ (y0 + θ(x0 + h) − θ(x0)) = Θ ◦ θ(x0 + h) = Θ ◦ θ(x0) + dΘ dy (y0) [ dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ] + ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) )     dθ dx (x0)(h) + o(|h|X)     Y = Θ ◦ θ(x0) + dΘ dy (y0) ◦ dθ dx (x0)(h) + dΘ dy (y0) (o(|h|X)) + ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) )     dθ dx (x0)(h) + o(|h|X)     Y . 估计     dΘ dy (y0) (o(|h|X))     Z |h|X 6     dΘ dy (y0)     L (Y ;Z) |(o(|h|X))|Y |h|X → 0 (h → 0 ∈ X), 则有 dΘ dy (y0) (o(|h|X)) = o(|h|X) ∈ Z. 估计     ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) )    Z     dθ dx (x0)(h) + o(|h|X)     Y |h|X 6     ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) )    Z [    dθ dx (x0)     L (X;Y ) + |o(|h|X)|Y |h|X ] → 0 (h → 0 ∈ X), 此处考虑到    lim h→0∈X [ dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ] = 0 ∈ Y, lim k→0∈Y ψ(k) = 0 ∈ Z, 按复合映照可微性定理, 有 ∃ lim h→0∈X ψ ( dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ) = 0 ∈ Z. 综上有 Θ ◦ θ(x0 + h) = Θ ◦ θ(x0) + dΘ dy (θ(x0)) ◦ dθ dx (x0)(h) + o(|h|X) ∈ Z. 1.2 有限增量估计 定理 1.5 (有限增量估计). 设有函数 f(x) : X ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ Y 及闭线段 [a, b] , {a + t(b − a) ∈ X|t ∈ [0, 1]} ⊂ Dx , 满足: 1. f(x) ∈ C[a, b], 亦即 f(x) 在闭线段 [a, b] 上连续; 3

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 2.3(x)∈(X;Y),x∈(a,b),亦即f(x)在开线段(a,b)上可微, 则有估计 Jf(b)-f(a)y≤sup|(x) b-alx 证明先证明结论:V叵,c(a,b),Ve>0,成立 Jf(b)-f()≤|supl(x 2(X;Y 采用反证法.如果彐a*,b-]c(a,b),对>0,成立 1(6) -f(alr>sup(r) +E (a,b) 则任取∈(a…,b),成立估计式 If(e)-f(a)lr>sup(a) 或 (b)-f(a)lr>sup (a, b/dr (z) 因为如果同时成立 If(@)-f(a)lysupa() 2(X;Y) 再对分区间园a1,b],并记[a2,b2]为其中某一子区间,其上有估计 ∫(b2)-f(a2) a2

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 2. ∃ df dx (x) ∈ L (X; Y ), ∀ x ∈ (a, b), 亦即 f(x) 在开线段 (a, b) 上可微, 则有估计 |f(b) − f(a)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) |b − a|X . 证明 先证明结论: ∀ [˜a, ˜b] ⊂ (a, b), ∀ ε > 0, 成立 |f( ˜b) − f(˜a)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b − a˜    X . 采用反证法. 如果 ∃ [˜a∗, ˜b∗] ⊂ (a, b), 对 ∀ ε > 0, 成立 |f( ˜b∗) − f(˜a∗)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b∗ − a˜∗    X , 则任取 c˜ ∈ (˜a∗, ˜b∗), 成立估计式 |f(˜c) − f(˜a∗)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] |c˜− a˜∗|X , 或 |f( ˜b∗) − f(˜c)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b∗ − c˜    X . 因为如果同时成立 |f(˜c) − f(˜a∗)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] |c˜− a˜∗|X , |f( ˜b∗) − f(˜c)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b∗ − c˜    X , 则有 |f( ˜b∗) − f(˜a∗)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] ( |c˜− a˜∗|X +    ˜b∗ − c˜    X ) = [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b∗ − a˜∗    X . 故产生矛盾. 按上述分析, 取 c˜ 为 [˜a∗, ˜b∗] 的中点, 并记 [˜a1, ˜b1] 为其中某一子区间, 其上有估计 |f( ˜b1) − f(˜a1)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b1 − a˜1    X . 再对分区间 [˜a1, ˜b1], 并记 [˜a2, ˜b2] 为其中某一子区间, 其上有估计 |f( ˜b2) − f(˜a2)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜b2 − a˜2    X . 4

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 此过程可一直进行,故有 b]1,b2]2……→[an,bn]3…,且lim|bn-anly=0, f(bn)-f(an)>sup ar\uih + e 按闭区间套定理,三!∈叵n,bn],vn∈N,且有彐Iman= lim bn=∈X,另有成立 If(an)-f(E)lr>sup(a) (X;Y) f()-f()lr> sup dz (z) +E 考虑到∫(x)∈Y在∈X点上的可微性,即有 f(S+h)-f(s)s df ()(h)+o(h|x)∈Y, 可有 +b)-f()y≤/y hlx+Ehx, v0N故对 n>M,同时成女+0 df If(bn)-f(S)lr <sup dr larb +el lin-ilx 故得矛盾 考虑{an,bn]c(a,b),Vn∈N,且彐 lim an=a∈X,彐 lim bn=b∈X,则有 If(bn)-f(an)y≤/ 取n→∞,考虑到f(x)在a,b点的连续性,有 f(b)-fa)y≤|supa(x P(x:Y 故有 1f(b)-f(a)lr <sup(a) (b-alx 2(xr

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 此过程可一直进行, 故有    [˜a∗, ˜b∗] ⊃ [˜a1, ˜b2] ⊃ · · · ⊃ [˜an, ˜bn] ⊃ · · · , 且 limn→∞ | ˜bn − a˜n|Y = 0,   f( ˜bn) − f(˜an)    Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜bn − a˜n    X . 按闭区间套定理, ∃ ! ˜ξ ∈ [˜an, ˜bn], ∀ n ∈ N, 且有 ∃ limn→∞ a˜n = limn→∞ ˜bn = ˜ξ ∈ X, 另有成立 |f(˜an) − f( ˜ξ)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    a˜n − ˜ξ    X , 或 |f( ˜bn) − f( ˜ξ)|Y > [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ]    ˜bn − ˜ξ    X . 考虑到 f(x) ∈ Y 在 ˜ξ ∈ X 点上的可微性, 即有 f( ˜ξ + h) − f( ˜ξ) = df dx ( ˜ξ)(h) + o(|h|X) ∈ Y, 可有 |f( ˜ξ + h) − f( ˜ξ)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) |h|X + ε|h|X, ∀ 0 Nε. 故对 ∀ n > Nδε , 同时成立    |f(˜an) − f( ˜ξ)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] |a˜n − ˜ξ|X, |f( ˜bn) − f( ˜ξ)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] | ˜bn − ˜ξ|X. 故得矛盾. 考虑 [an, bn] ⊂ (a, b), ∀ n ∈ N, 且 ∃ limn→∞ an = a ∈ X, ∃ limn→∞ bn = b ∈ X, 则有 |f(bn) − f(an)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] |bn − an|X. 取 n → ∞, 考虑到 f(x) 在 a, b 点的连续性, 有 |f(b) − f(a)|Y 6 [ sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) + ε ] |b − a|X, ∀ ε > 0, 故有 |f(b) − f(a)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x)     L (X;Y ) |b − a|X. 5

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 推论15.1.按定理15中f(x)的条件,以及∈z(X;Y),有估计 1f(b)-f(a)-d(b-a)lY sup(a) 证明引入辅助函数 g()=f(a)-d(a), V. Dr, 则有 9(b-g(aly=f(b)-f(a)-d(b-a)ly 13高阶导数 设∫(x)在Bx(xo) C Dr C X上点点可微,则有 df (r): Dr D B(o)2(E(X; Y) 进一步,如有(x)∈x(X;Y)在Bx(xo)上点点可微,则有 d/df d 2 d r dr (a): Dr B(o)arrdx2(xE(X; g(x; Y)), 类似地,可有 dr3 (x)∈(X;z(X;z(X;Y) ax()∈x(x;2(x;,x(x;.2(x;Y) 以下研究如何表示高阶导数 定义1.3(抽象张量),设映照更 X x3{ p ∈Y, 满足对其所有变元的线性性,即对i=1,……,p,都有 +匝更(u1,…,t,…,tp),Va,B∈,wt;,t∈X, 则称φ为p阶多重线性映照,或者称为p阶张量. 记P(X;Y)=:x(X,…,X;Y)为所有p阶张量(或p阶多重线性映照)的全体,可在 (X;Y)上引入线性结构,即V更业∈P(X;Y),a,B∈,u1,…,vp∈X,定义 (+)(u1,…,v)哑重u1,…,up)+(u,…,up)∈Y

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 推论 1.5.1. 按定理1.5中 f(x) 的条件, 以及 ∀ A ∈ L (X; Y ), 有估计 |f(b) − f(a) − A (b − a)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x) − A     L (X;Y ) |b − a|X. 证明 引入辅助函数 g(x) = f(x) − A (x), ∀ x ∈ Dx, 则有 |g(b) − g(a)|Y = |f(b) − f(a) − A (b − a)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x) − A     L (X;Y ) |b − a|X. 1.3 高阶导数 设 f(x) 在 Bλ(x0) ⊂ Dx ⊂ X 上点点可微, 则有 df dx (x) : Dx ⊃ Bλ(x0) ∋ x 7→ df dx (x) ∈ L (X; Y ). 进一步, 如有 df dx (x) ∈ L (X; Y ) 在 Bλ(x0) 上点点可微, 则有 d 2f dx 2 (x) =: d dx ( df dx ) (x) : Dx ⊃ Bλ(x0) ∋ x 7→ d 2f dx 2 (x) ∈ L (X; L (X; Y )), 类似地, 可有 d 3f dx 3 (x) ∈ L (X; L (X; L (X; Y ))), d 4f dx 4 (x) ∈ L (X; L (X; L (X; L (X; Y )))). 以下研究如何表示高阶导数. 定义 1.3 (抽象张量). 设映照 Φ Φ(u1, · · · , up) : X × · · · × X | {z } p个 ∋ {u1, · · · , up} 7→ Φ(u1, · · · , up) ∈ Y, 满足对其所有变元的线性性, 即对 i = 1, · · · , p, 都有 Φ(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up) = αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up), ∀ α, β ∈ R, ∀ uei , ubi ∈ X, 则称 Φ 为 p 阶多重线性映照, 或者称为 p 阶张量. 记 T p (X; Y ) =: L (X, · · · , X | {z } p个 ; Y ) 为所有 p 阶张量 (或 p 阶多重线性映照) 的全体, 可在 T p (X; Y ) 上引入线性结构, 即 ∀ Φ, Ψ ∈ T p (X; Y ), ∀ α, β ∈ R, ∀ u1, · · · , up ∈ X, 定义 (αΦ + βΨ)(u1, · · · , up) , αΦ(u1, · · · , up) + βΨ(u1, · · · , up) ∈ Y, 6

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 (aφ+y)( 入u;+pui )+(u1,…,A2+pt;,…,up) =Na更(u1,…,i,…,up)+B(u1,…,1,…,p) +p{a更( , ui )+By(1 A(重+匝业)(u1,…,,…,up)+(a更+重)(u1,……,每,…,tp) 可有aφ+∈(X;Y) 定理1.6.x(X1,…,Xp;(Xp+1,……,Xp+q;Y)同(X1,…,Xp+q;Y)构成保范线性同 构 证明考虑映照 {重):2(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+q;Y)3更口重)∈(X1,……,Xp+q;Y) 此处 q)更( up)(u+1,…,up+q)∈Y i=1,……,P,可有 a()(u1,…,au+Bt, up+q) △ up)(u4p+1,…,tp+q) =a更(u1,…,i up)(p+1,…,up+q =a9(u1 )(up+1,……,up+q)+匝(ul, ,p+q (重)(u1 +Ba(重)(u1,…,,……,up,up+1,…,tp+q); 对i=p+1,…,p+q,可有 (重)(u1,…,up,p+1,…,au+Bt2,…,up+q) 更(u1,…,p)(up+1,…,au+Bt2,…,tp+q) =a更(u1, ,vp+q)+(u1,…,p)(up+1 =a(重)(u1,…,p,tp+1,…,a,…,up+q) +Ba(重)(u1,……,up,up+1, ,up-+q

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 由 (αΦ + βΨ)(u1, · · · , λuei + µubi , · · · , up) , αΦ(u1, · · · , λuei + µubi , · · · , up) + βΨ(u1, · · · , λuei + µubi , · · · , up) = λ[αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΨ(u1, · · · , uei , · · · , up)] + µ[αΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up) + βΨ(u1, · · · , ubi , · · · , up)] = λ(αΦ + βΨ)(u1, · · · , uei , · · · , up) + µ(αΦ + βΨ)(u1, · · · , ubi , · · · , up), 可有 αΦ + βΨ ∈ T r (X; Y ). 定理 1.6. L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 构成保范线性同 构. 证明 考虑映照 A (Φ) : L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) ∋ Φ 7→ A (Φ) ∈ L (X1, · · · , Xp+q; Y ), 此处 A (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) , Φ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) ∈ Y. 对 i = 1, · · · , p, 可有 A (Φ)(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up, up+1, · · · , up+q) , Φ(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = [αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up)](up+1, · · · , up+q) = αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up)(up+1, · · · , up+q) + βΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = αA (Φ)(u1, · · · , uei , · · · , up, up+1, · · · , up+q) + βA (Φ)(u1, · · · , ubi , · · · , up, up+1, · · · , up+q); 对 i = p + 1, · · · , p + q, 可有 A (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , αuei + βubi , · · · , up+q) = Φ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , αuei + βubi , · · · , up+q) = αΦ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , uei , · · · , up+q) + βΦ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , ubi , · · · , up+q) = αA (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , uei , · · · , up+q) + βA (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , ubi , · · · , up+q), 7

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 a(φ)为p+q阶张量.考虑 (ap+y)(u1,…,up,p+1,…,up+q) 会(a更+y)(u1 )( a更(u1,…,up)(vp+1,…,tp+q)+y(u1,…,up)(up+1,…,up+q) aa(重)(u1,……,p,up+1,…,up+q)+Bf(业)(u1,…,up,p+1,…,tp+q) =ao()+Ba(更)(u1,…,up,p+1,……,tp+q 故有{φ+)=aw()+B(业),亦即a(φ)为线性映照 以下说明x(为(X1,…,Xp;(Xp+1,…,Xp+q)上的单射.利用反证法.假设对于 更≠重∈(X1,…,Xp;(Xp+1,……,Xp+q)有a(更)=m(),所以对Vu1,…,tp,up+1,…,up+q∈ X,有 )(up+1,…,up+q) (业)(u1 则有 p)=y(uy p)∈x(Xp+1,…,Xp+q;Y), 即更=重∈(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+qY).故得矛盾 射.任取日∈2(X1,…,Xp+q;1),有e(u,…,,p+1,…,p+9)∈.;Y)之间的满 以下证明x为x(X1,…,Xp;z(Xp+1,…,Xp+q;Y)同x(X1,……,Xp 6( )∈x(Xx Xp+g: Y) 又考虑到对Va,B∈R,有 (u1,…,Qi2+t;,…,up)=a6( )+B6(u1 所 p}+(u 设∈2(X1,…,Xp;(Xp+1,…,Xp+q;Y),且有 q)e(u1,…,tp)(up+1 O(u1,…,tp,tp+1,…,p+q)∈Y, 亦即有a()=∈(X1,…,Xp+q;Y)

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 即 A (Φ) 为 p + q 阶张量. 考虑 A (αΦ + βΨ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) , (αΦ + βΨ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = [αΦ(u1, · · · , up) + βΨ(u1, · · · , up)](up+1, · · · , up+q) = αΦ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) + βΨ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = αA (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) + βA (Ψ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) = [αA (Φ) + βA (Φ)](u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q), 故有 A (αΦ + βΨ) = αA (Φ) + βA (Ψ), 亦即 A (Φ) 为线性映照. 以下说明 A (Φ) 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q)) 上的单射. 利用反证法. 假设对于 Φ ̸= Ψ ∈ L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q)) 有 A (Φ) = A (Ψ), 所以对 ∀ u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q ∈ X, 有 A (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) = Φ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = Ψ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = A (Ψ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q), 则有 Φ(u1, · · · , up) = Ψ(u1, · · · , up) ∈ L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y ), ∀ u1, · · · , up, 即 Φ = Ψ ∈ L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )). 故得矛盾. 以下证明 A 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 之间的满 射. 任取 Θ ∈ L (X1, · · · , Xp+q; Y ), 有 Θ(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) ∈ Y . 定义 Θ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) , Θ(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q), ∀ up+1, · · · , up+q, 则 Θ(u1, · · · , up) ∈ L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y ). 又考虑到对 ∀ α, β ∈ R, 有 Θ(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up) = αΘ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΘ(u1, · · · , ubi , · · · , up), 所以 Θ : X1 × · · · × Xp ∋ {u1, · · · , up} 7→ Θ(u1, · · · , up) ∈ L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y ). 设 ◦ Θ ∈ L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )), 且有 A ( ◦ Θ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) , Θ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = Θ(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) ∈ Y, 亦即有 A ( ◦ Θ) = Θ ∈ L (X1, · · · , Xp+q; Y ). 8

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 现已有a为2(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+q;Y)同x(X1,…,Xp+q;Y)之间的线性 同构.以下考虑范数 la(g) p+q)ly D)le(x 1 再考虑 a(重)(u1,……,p;…,up+q)y 更 P+1 1x1……| uplxplll+1 1 up)(up +g)ly unlx1……|uplx sup up+1|xpr+1…|up+qxp+ (更)( unlx1…|uplx ≤更x(x1…,xpx(xp+1+…xp+Y) 故有 ≤更 另有 a(乎)xx,…x,1)≥|(更)(u1,…,4)(p+1,p+ la1lx1… luplxplllp+lxp+1…|up+qlxp+q 1 更)(u1, y sup ulx1…uplx 故有 a(川x(x1…xP+;1)≥团更x(x1…,xp:x(xp+1+…xn+Y) 综上,有 ()(x1…x+9)=囤x(x1…,x:(xp+1…,xy) 定理1.7(高阶导数与方向导数之间的关系) (x)(h1,…,hp) ∈ 证明对于p=1的情况,显然有 df (x)(h1)=Dh1f(x);

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 现已有 A 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 之间的线性 同构. 以下考虑范数 |A (Φ)|A (X1,··· ,Xp+q;Y ) , sup |A (Φ)(u1, · · · , up+q)|Y |u1|X1 · · · |up+q|Xp+q , |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )) , sup |Φ(u1, · · · , up)|L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y ) |u1|X1 · · · |up|Xp , 再考虑 |A (Φ)(u1, · · · , up, · · · , up+q)|Y |u1|X1 · · · |up+q|Xp+q = |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y [|u1|X1 · · · |up|Xp ][|up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q ] 6 1 |u1|X1 · · · |up|Xp sup |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y |up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q 6 |(Φ)(u1, · · · , up)|L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y ) |u1|X1 · · · |up|Xp 6 |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )), 故有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) 6 |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 另有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) > |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y [|u1|X1 · · · |up|Xp ][|up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q ] > 1 |u1|X1 · · · |up|Xp sup |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y |up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q , 故有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) > |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 综上, 有 |A (Φ)|A (X1,··· ,Xp+q;Y ) = |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 定理 1.7 (高阶导数与方向导数之间的关系). d pf dx p (x)(h1, · · · , hp) = Dh1 ◦ · · · ◦ Dhp f(x) ∈ Y. 证明 对于 p = 1 的情况, 显然有 df dx (x)(h1) = Dh1 f(x); 9

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于p=2的情况,有 d-1 d(x)(h1,h2)= (x)(h1)(h2)=|Dn (x)(h2) d (a+Anhi) df lim tr(h2,此处入n→0mn→+∞x) (x+Mnh1)(h2)-x(x)(/h2) lim limh2f(c+\b Dy= Dh,( Dh, f)(a)= Dh1 o Dh2 f(a) 对于p=3的情况,有 d 2 dr(z)(hi, a2, h3)=dr(a)(h1)(h2, h3)=Dh( dz2 )(a)(h2, h3) (a +Anhi) d2f (x) (a + Anhi)(h2) (x)(h (h3) d d dr (+ Anh)-Di lin D2(d)(x+h)3)-Dm2(a)(a3 =lim D (a + Anhi)-Dh2 o Dha f(ar) 另外,也可以利用p=2的结论,即 (x)(h1,h2,h3) (x)(h1)(h2,hy)=/2/0 ()(h21) d 2 m女2(x+mh1) (h2,h3) lim de2(a+Anh)(h2, h3) (x)(h2,h3) Dha o Dhs f(a+Anh1)-Dn2 o Dha f( Dha o Dha f(a)

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于 p = 2 的情况, 有 d 2f dx 2 (x)(h1, h2) = [ d 2f dx 2 (x)(h1) ] (h2) = [ Dh1 ( df dx ) (x) ] (h2) =    lim df dx (x + λnh1) − df dx (x) λn    (h2), 此处λn → 0(n → +∞) = lim df dx (x + λnh1)(h2) − df dx (x)(h2) λn = lim Dh2 f(x + λnh1) − Dh2 f(x) λn = Dh1 (Dh2 f)(x) = Dh1 ◦ Dh2 f(x); 对于 p = 3 的情况, 有 d 3f dx 3 (x)(h1, h2, h3) = [ d 3f dx 3 (x)(h1) ] (h2, h3) = [ Dh1 ( d 2f dx 2 ) (x) ] (h2, h3) =     lim d 2f dx 2 (x + λnh1) − d 2f dx 2 (x) λn     (h2, h3) =     lim d 2f dx 2 (x + λnh1)(h2) − d 2f dx 2 (x)(h2) λn     (h3) =     lim Dh2 ( df dx ) (x + λnh1) − Dh2 ( df dx ) (x) λn     (h3) = lim Dh2 ( df dx ) (x + λnh1)(h3) − Dh2 ( df dx ) (x)(h3) λn = lim Dh2 ◦ Dh3 f(x + λnh1) − Dh2 ◦ Dh3 f(x) λn = Dh1 ◦ Dh2 ◦ Dh3 f(x). 另外, 也可以利用 p = 2 的结论, 即 d 3f dx 3 (x)(h1, h2, h3) = [ d 3f dx 3 (x)(h1) ] (h2, h3) = [ Dh1 ( d 2f dx 2 ) (x) ] (h2, h3) =     lim d 2f dx 2 (x + λnh1) − d 2f dx 2 (x) λn     (h2, h3) = lim d 2f dx 2 (x + λnh1)(h2, h3) − d 2f dx 2 (x)(h2, h3) λn = lim Dh2 ◦ Dh3 f(x + λnh1) − Dh2 ◦ Dh3 f(x) λn = Dh1 ◦ Dh2 ◦ Dh3 f(x). 10