高维微分学——曲面向量值映照 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11曲面的切平面与法向量 定义1.1(曲面).一般地,m+1维 Euclid空间中的m维曲面可以由以下向量值映照给出 ∑(xy):RDx3m= +∑(xy)全 xn(ag)∈Rm+1, +1 如图1所示 r-曲线 曲线 图1:有限维 Euclid空间中曲面向量值映照示意 该曲面∑(xy)的 Jacobi矩阵可以表示为 D∑(xx)= ∈R(m+1)xm a∑m+1 0∑m ax dxf
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——曲面向量值映照 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 曲面的切平面与法向量 定义 1.1 (曲面). 一般地, m + 1 维 Euclid 空间中的 m 维曲面可以由以下向量值映照给出 Σ(xΣ) : R m ⊃ Dx ∋ xΣ = x 1 Σ . . . x m Σ 7→ Σ(xΣ) , X1 . . . Xm Xm+1 (xΣ) ∈ R m+1 , 如图1所示. X1 Xm Xm+1 O xm Σ -曲线 x 1 Σ-曲线 g1 gm n g1 gm n g1 gm n g1 gm n O x 1 Σ . . . x m−1 Σ xm Σ 图 1: 有限维 Euclid 空间中曲面向量值映照示意 该曲面 Σ(xΣ) 的 Jacobi 矩阵可以表示为 DΣ(xΣ) = ∂Σ1 ∂x1 Σ · · · ∂Σ1 ∂xm Σ . . . . . . ∂Σm+1 ∂x1 Σ · · · ∂Σm+1 ∂xm Σ ∈ R (m+1)×m, 1
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 令DXx)=(91(x) 其中 ∑( 9(xx) 入 (cy)∈R O∑m+1 称为曲面∑(xx)在x点处沿坐标线x的切向量 使得D∑(xx)为列满秩的点称为正则点 定义1.2(切空间).在曲面∑(xx)的正则点处,切向量{g}1张成的空间称为切空间,记 作Txx∑ x222()=x(x) Xth 图2:曲面上曲线示意 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照(如图2所示 F:a,月3入以2(=z4、/x3 ∈R (入 而该曲线在Rm+1空间可以表示为 F(≡X(=∑ox())=∑(xx(入) 其切向量可以表示为 T(入) (A)全1imx(+△A)-X(x) D(x2)2(A)=2()g1(x(X)∈T2E 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 令 DΣ(xΣ) = ( g1 (xΣ) · · · gm(xΣ) ) , 其中 gi (xΣ) , lim λ→0∈R Σ(xΣ + λii) − Σ(xΣ) λ = ∂Σ1 ∂xi Σ . . . ∂Σm+1 ∂xi Σ (xΣ) ∈ R m+1 称为曲面 Σ(xΣ) 在 xΣ 点处沿坐标线 x i Σ 的切向量. 使得 DΣ(xΣ) 为列满秩的点称为正则点. 定义 1.2 (切空间). 在曲面 Σ(xΣ) 的正则点处, 切向量 {gi} m i=1 张成的空间称为切空间, 记 作 TxΣ Σ. x 1 Σ x i Σ xm Σ O DxΣ ΓxΣ (λ) = xΣ(λ) = x 1 Σ . . . xm Σ (λ) λ a λ b Γx O X1 Xm Xm+1 Σ(xΣ) = X(xΣ(λ)) = X1 . . . Xm+1 (xΣ(λ)) =: Γ(λ) Σ 图 2: 曲面上曲线示意 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照 (如图2所示): ΓxΣ : [α, β] ∋ λ 7→ ΓxΣ (λ) ≡ xΣ(λ) = x 1 Σ(λ) . . . x m Σ (λ) ∈ R m, 而该曲线在 R m+1 空间可以表示为 Γ(λ) ≡ X(λ) = Σ ◦ ΓxΣ (λ) = Σ(xΣ(λ)), 其切向量可以表示为 τ (λ) = dX dλ (λ) , lim ∆t→0∈R X(λ + ∆λ) − X(λ) ∆λ = DΣ(xΣ) dxΣ dλ (λ) = ˙x i Σ(λ)gi (xΣ(λ)) ∈ TxΣ Σ, 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中. 2
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 性质1.1(正则点法向量的唯一存在性).对曲面上的正则点,存在且唯一存在同正则点的正 交的法向量 证明考虑到(m(xx),92(axy)gm+1=0,i=1,…,m等价于 (x)n(x)=(D∑)(xs)n(x)=0∈R 由于rank(D∑)(xx)=m,按齐次线性方程组理论,n∈Rm+1的方向唯一确定 基于法向量,正则点∑(xx)处的切空间可有如下的集合表示 TIsE=XI(X-2(ax), n()Rm+1=0 亦即有 (X1-∑(xx)n(x)+…(Xm+1-mn+(xx)nmn+l(xx)=0 12曲面的基本形式 定义13(曲面第一基本形式).由9(xx)=(91(xx),9(cx)em+1构成的m×m矩阵 911(ay) G(as) D∑1(xy)Dx(xx)∈Rmxm, 9m1(∑ gmm(ay) 称为曲面∑(x)的第一基本形式 性质1.2(曲面第一基本形式的对称性与正定性).曲面的第一基本形式矩阵G是对称矩阵; 在曲面的正则点处,曲面的第一基本形式矩阵G是对称正定矩阵 证明由内积的对称性,矩阵G的对称性是显然的 下面证明正定性.设∈Rm,则有 GE=Dx1DE=(D∑)(D∑) 1D∑El最m=(91)2≥ 在曲面的正则点处,有 rank>(xx)=m,即{g;(x)}m1线性无关.所以当EIG=(sg1)2= 0时,必然有ξ=0,i=1,……,m,即￡=0.因此矩阵G是对称正定矩阵 定义1.4(曲面的第二基本形式).令 ()=(bn(a),n() 9j(∑
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 性质 1.1 (正则点法向量的唯一存在性). 对曲面上的正则点，存在且唯一存在同正则点的正 交的法向量. 证明 考虑到 (n(xΣ), gi (xΣ))Rm+1 = 0, i = 1, · · · , m 等价于 g T 1 . . . g T m (xΣ)n(xΣ) = (DΣ) T(xΣ)n(xΣ) = 0 ∈ R m, 由于 rank(DΣ) T(xΣ) = m, 按齐次线性方程组理论, n ∈ R m+1 的方向唯一确定. 基于法向量, 正则点 Σ(xΣ) 处的切空间可有如下的集合表示 TxΣ Σ = {X |(X − Σ(xΣ), n(xΣ))Rm+1 = 0}, 亦即有 ( X1 − Σ 1 (xΣ) ) n 1 (xΣ) + · · · ( Xm+1 − Σ m+1(xΣ) ) n m+1(xΣ) = 0. 1.2 曲面的基本形式 定义 1.3 (曲面第一基本形式). 由 gij (xΣ) = (gi (xΣ), gj (xΣ))Rm+1 构成的 m × m 矩阵 G(xΣ) = g11(xΣ) · · · g1m(xΣ) . . . . . . gm1(xΣ) · · · gmm(xΣ) = DΣT(xΣ)DΣ(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第一基本形式. 性质 1.2 (曲面第一基本形式的对称性与正定性). 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称矩阵; 在曲面的正则点处, 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称正定矩阵. 证明 由内积的对称性, 矩阵 G 的对称性是显然的. 下面证明正定性. 设 ∀ ξ ∈ R m, 则有 ξ TGξ = ξ TDΣTDΣξ = (DΣξ) T(DΣξ) = |DΣξ| 2 Rm = (ξ i gi ) 2 > 0. 在曲面的正则点处, 有 rankDΣ(xΣ) = m, 即 {gi (xΣ)} m i=1 线性无关. 所以当 ξ TGξ = (ξ igi ) 2 = 0 时, 必然有 ξ i = 0, i = 1, · · · , m, 即 ξ = 0. 因此矩阵 G 是对称正定矩阵. 定义 1.4 (曲面的第二基本形式). 令 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = − ( gj (xΣ), ∂n ∂xi Σ ) Rm+1 , 3
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 并引入m×m矩阵 bum(as) =-D∑1(xx)·Dm(xy)∈Rmxm, 称为曲面∑(xy)的第二基本形式 性质13(曲面的第二基本形式的对称性).曲面的第二基本形式矩阵B是对称矩阵. 证明考虑到 y(2)=(an(m),n() ansar (as),n(as) ag bji (as) 所以曲面第二基本形式B是对称矩阵 13曲面的 Gauss曲率与平均曲率 首先引入线性代数中一个重要结论 引理14(同时对角化).设有对称正定矩阵A∈R×m和对称矩阵B∈Rm×m,则一定唯 存在一个非奇异的矩阵S∈Rmxm满足 SAS=Im s BS 式中,Im为m阶单位矩阵,λ满足det(B-A1A)=0,t=1,…,m. 证明由于A是对称矩阵,因此一定唯一存在一个正交矩阵QA,使得 QAAQA=4A 其中,a1,…,am是A的特征值.因为A是正定矩阵,所以它所有的特征值都是正的.记
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 并引入 m × m 矩阵 B(xΣ) = b11(xΣ) · · · b1m(xΣ) . . . . . . bm1(xΣ) · · · bmm(xΣ) = −DΣT(xΣ) · Dn(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第二基本形式. 性质 1.3 (曲面的第二基本形式的对称性). 曲面的第二基本形式矩阵 B 是对称矩阵. 证明 考虑到 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂ 2Σ ∂xi Σ ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = bji(xΣ), 所以曲面第二基本形式 B 是对称矩阵. 1.3 曲面的 Gauss 曲率与平均曲率 首先引入线性代数中一个重要结论. 引理 1.4 (同时对角化). 设有对称正定矩阵 A ∈ R m×m 和对称矩阵 B ∈ R m×m, 则一定唯 一存在一个非奇异的矩阵 S ∈ R m×m 满足 S TAS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 式中, Im 为 m 阶单位矩阵, λi 满足 det(B − λiA) = 0, i = 1, · · · , m. 证明 由于 A 是对称矩阵, 因此一定唯一存在一个正交矩阵 QA, 使得 QT AAQA = ΛA = a1 . . . am , 其中, a1, · · · , am 是 A 的特征值. 因为 A 是正定矩阵, 所以它所有的特征值都是正的. 记 Λ 1 2 A = a 1 2 1 . . . a 1 2m , 4
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 则有QAQA=A3A,即 (1)-QAAQ4(11)-1=Im, 因此令SA=QA(A3)-1,有SAAA=Im 令B=SBSA,因为B是对称矩阵,所以B也是对称矩阵,而且唯一存在一个正交矩阵 QB,满足 QBBQB=AB 式中,A1…,Mm是B的特征值,满足det(B-MIm)=0,i=1,…,m.也就是 QBSABSAQB 此处令S=SAQB=QA(A4)-1QB,即有 s BS= 而且 STAS=QBSAASAQB=QRImQB=I λ满足 det(B-AiIm)=det(SABSA-AiSAASa)=det(SA(B-XiA)SA=0, 即det(B-AA)=0. 定义1.5(曲面Gaus曲率及平均曲率).根据同时对角化定理,曲面第一基本形式G是对 称正定矩阵,曲面第二基本形式B是对称矩阵,因此唯一存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 SGS=Im SBS 此处入满足det(B-入G)=0,讠=1,…,m.由此,可作 KG=lA=det(- B) det B det g H=∑A=t(G1B 式中KG称为 Gauss曲率,H称为平均曲率
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 则有 QT AAQA = Λ 1 2 AΛ 1 2 A , 即 (Λ 1 2 A ) −1QT AAQA(Λ 1 2 A ) −1 = Im, 因此令 SA = QA(Λ 1 2 A ) −1 , 有 S T AASA = Im. 令 Be = S T ABSA, 因为 B 是对称矩阵, 所以 Be 也是对称矩阵, 而且唯一存在一个正交矩阵 QB, 满足 QT BBQe B = ΛBe = λ1 . . . λm , 式中, λ1, · · · , λm 是 Be 的特征值, 满足 det(Be − λiIm) = 0, i = 1, · · · , m. 也就是 QT BS T ABSAQB = λ1 . . . λm . 此处令 S = SAQB = QA(Λ 1 2 A ) −1QB, 即有 S TBS = λ1 . . . λm , 而且 S TAS = QT BS T AASAQB = QT BImQB = Im. λi 满足 det(Be − λiIm) = det(S T ABSA − λiS T AASA) = det[S T A(B − λiA)SA] = 0, 即 det(B − λiA) = 0. 定义 1.5 (曲面 Gauss 曲率及平均曲率). 根据同时对角化定理, 曲面第一基本形式 G 是对 称正定矩阵, 曲面第二基本形式 B 是对称矩阵, 因此唯一存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得 S TGS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 此处 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 由此, 可作 KG = ∏m i=1 λi = det(G−1B) = det B det G H = ∑m i=1 λi = tr(G−1B) , 式中 KG 称为 Gauss 曲率, H 称为平均曲率. 5
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 14曲面的局部标架及其运动方程 所有的切向量和法向量{g1}1U{n}构成Rm+1空间中一个基,可称为曲面上局部协变基 按对偶关系,一定唯一存在曲面上局部逆变基{g2]}+1,满足 =68或者 9 由此,由(91m+1,9mn+1)2m+1=1,9m+1=n,有gm+=n.由(9nm+1,9)2m+1=(n,g)2m+1= 0,可得g2也是切空间TE的元素,满足(g,9)gm+1= 引入9=(929)2m+1,y=(g,9)gm+,则有 91=(91,91)m+19+(g;,m)m+1n=99 (9, n) 99 亦即,切空间中的两组基可按照上式关系进行相互转换 以下研究协变基向量沿坐标线的变化率,有 (x)鱼1n9(+412)-91(m) Ox1(x),9 (T∑ 此处引入曲面上的 Christoffel符号,定义为 Rm+ 式中{Fkk=1称为曲面的第一类 Christoffel符号,{Hk=1为曲面的第二类 Christoffel 符号 因此对于切向量,有 9+bin=link+ bi 同样地,研究法向量沿坐标线的变化率,有 F(a)cte n(as+ Aii)-n(az) an E),9r
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 1.4 曲面的局部标架及其运动方程 所有的切向量和法向量 {gi} m i=1 ∪ {n} 构成 R m+1 空间中一个基, 可称为曲面上局部协变基. 按对偶关系, 一定唯一存在曲面上局部逆变基{g α} m+1 α=1 , 满足 ( gα, g β ) Rm+1 = δ β α 或者 g T 1 . . . g T m+1 ( g 1 · · · g m+1) = Im+1, 由此, 由 ( gm+1, g m+1) Rm+1 = 1, gm+1 = n, 有 g m+1 = n. 由 ( gm+1, g i ) Rm+1 = ( n, g i ) Rm+1 = 0, 可得 g i 也是切空间 TxΣ 的元素, 满足 ( g i , gj ) Rm+1 = δ i j . 引入 gij = ( gi , gj ) Rm+1 , g ij = ( g i , g j ) Rm+1 , 则有 gi = ( gi , gj ) Rm+1 g j + (gi , n)Rm+1 n = gijg j , g i = ( g i , g j ) Rm+1 gj + ( g i , n ) Rm+1 n = g ijgj . 亦即, 切空间中的两组基可按照上式关系进行相互转换. 以下研究协变基向量沿坐标线的变化率，有 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) , lim λ→0∈R gi (xΣ + λij ) − gi (xΣ) λ = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 g k + ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 gk + ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n. 此处引入曲面上的 Christoffel 符号, 定义为 Γij,k = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 , Γk ij = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 . 式中 {Γij,k} m i,j,k=1 称为曲面的第一类 Christoffel 符号, {Γ k ij} m i,j,k=1 为曲面的第二类 Christoffel 符号. 因此对于切向量, 有 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γij,kg k + bijn = Γ k ijgk + bijn. 同样地, 研究法向量沿坐标线的变化率, 有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) , lim λ→0∈R n(xΣ + λij ) − n(xΣ) λ = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 g k + ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 gk + ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n, 6
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 式中 2, (∑),9k Rm+ ax (cx),9 Rm+ia(cs),gtgt 因此对于法向量有 (as)=-bje 6i9k 综上,协变基标架的标架运动方程为 (as)=risk+biin=Ti g+bi (as)=-bjk 同理可得,逆变基标架的标架运动方程为 Tik9"+bi n (x)=-bk92=-s 1.5曲面的法截线与主法截线 15.1截线曲率 引理1.5.对于曲面∑(xx)上的任意参数曲线r(t),有如下关系成立: (t),n(t) Tx∑ 式中定义了切空间中的内积 (E, n)T,E=bij5'T, V5=sgi, n=r9 m+1 n(t)为曲面∑(xx)在该点处的法向量 证明因为曲线r(t)在曲面∑(xx)上,所以 dt t)=r(t)=i(t)g(xx(1)∈Tx∑ ()=2(9(s()+2()2()ax (tg(xx(t)+i2(t)iy()rgk(x()+b;n(mx(t) 由此将有 (2.)2=(a)2(1 Tx∑
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 式中 ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 = 1 2 ∂ ∂xj Σ (n, n)Rm+1 = 0; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 = ∂ ∂xj Σ (n, gk )Rm+1 − ( n, ∂gk ∂xj Σ (xΣ) ) Rm+1 = −bjk; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gktgt ) Rm+1 = −g ktbjt = −b k j . 因此对于法向量有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 综上, 协变基标架的标架运动方程为 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 同理可得, 逆变基标架的标架运动方程为 ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 1.5 曲面的法截线与主法截线 1.5.1 截线曲率 引理 1.5. 对于曲面 Σ(xΣ) 上的任意参数曲线 r(t), 有如下关系成立: ⟨ dr dt (t), dr dt (t) ⟩ TxΣ = ( d 2r dt 2 (t), nΣ(t) ) Rm+1 , 式中定义了切空间中的内积 ⟨ξ, η⟩TxΣ = bijξ i η j , ∀ ξ = ξ i gi , η = η j gj ∈ R m+1 , nΣ(t) 为曲面 Σ(xΣ) 在该点处的法向量. 证明 因为曲线 r(t) 在曲面 Σ(xΣ) 上, 所以 dr dt (t) = r˙(t) = ˙x i (t)gi (xΣ(t)) ∈ TxΣ; d 2r dt 2 (t) = ¨x i (t)gi (xΣ(t)) + ˙x i (t) ˙x j (t) ∂gi ∂xj (xΣ) = ¨x i (t)gi (xΣ(t)) + ˙x i (t) ˙x j (t)[Γ k ijgk (xΣ(t)) + bijn(xΣ(t))]. 由此将有 ( d 2r dt 2 (t), nΣ(t) ) Rm+1 = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) = ⟨ dr dt (t), dr dt (t) ⟩ TxΣ . 7
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 根据m+1维空间中曲线的 Frenet标架,截线的切向量可以表示为r(s)=x-(s)=r'(s), 现s为弧长参数.法向量满足 式中,A(9)=p()m+为由线的曲率,n()=p(1m+为曲线的法向量 注意到 r()=r()d=P(ol2mh=P(om+9(a(O) 所以 r'(s),r'(s)r:x= big (as)i (t)i (t) bi (ay)i(t)i (t) Ir(t)2m+1 pg(ax)ip(t).iq(t) (r"(s),nx)2m+1=k(s)(m1(s,nx)m+1=h(s)co(n,mx) 式中(n,mx)表示曲线法向量n与曲面法向量nx之间的夹角.根据引理15可得 K(s(t))cos(n, ny)- big(ag)i(t)i(t) gpq(ay)ip(t)i(t) 截线曲率即为 k(s(t) bii(ay)i(t)i(t) cos(n, ny)gpg(ax)ip(t)iq(t) 1.5.2法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面(法截面)相交截得的曲线.在这种情况下,cos(n,nx) ±1,因此法截线曲率可以表示为 )i(t)i3 K(0)=+9E1P()x( 式右端的分子和分母都是二次型,于是引入 法截线曲率可以表示为 (s(t)=± E(t)B(as(t))s(t) ∈t(t)G(xs(t)∈(t) 根据同时对角化定理,一定存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 SGS=I S BS
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 根据 m + 1 维空间中曲线的 Frenet 标架, 截线的切向量可以表示为 τ (s) = dr ds (s) = r ′ (s), 现 s 为弧长参数. 法向量满足 τ ′ (s) = r ′′(s) = κ(s)n(s), 式中, κ(s) = |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的曲率, n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的法向量. 注意到 r ′ (s) = r˙(t) dt ds = r˙(t) |r˙(t)|Rm+1 = x˙ i (t) |r˙(t)|Rm+1 gi (xΣ(t)), 所以 ⟨r ′ (s), r ′ (s)⟩TxΣ = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) |r˙(t)| 2 Rm+1 = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) , ( r ′′(s), nΣ ) Rm+1 = κ(s) (n(s), nΣ)Rm+1 = κ(s) cos(n, nΣ), 式中 (n, nΣ) 表示曲线法向量 n 与曲面法向量 nΣ 之间的夹角. 根据引理1.5可得 κ(s(t)) cos(n, nΣ) = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) , 截线曲率即为 κ(s(t)) = 1 cos(n, nΣ) bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) . 1.5.2 法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面 (法截面) 相交截得的曲线. 在这种情况下, cos(n, nΣ) = ±1, 因此法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) . 上式右端的分子和分母都是二次型, 于是引入 ξ(t) = x˙ 1 (t) . . . x˙ m(t) , 则法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± ξ T(t)B(xΣ(t))ξ(t) ξ T(t)G(xΣ(t))ξ(t) . 根据同时对角化定理, 一定存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得 S TGS = Im, S TBS = λ1 . . . λm . 8
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 其中λ满足det(B-AG)=0,=1,…,m.所以有 ∈(S-1)T (s(t) E(t 如果令￡(t)=S-E(t)= 则法截线曲率可以表示为简单的形式 (s()=±M((O)2 k(t)2 如果取5()=1(第i行),则有6(()=士A.此时()=s()=S(),即为矩阵S的第 切平面 相对于主方向e;的 相对于主方向e;的 主法截线 ∑ 图3:主法截线示意 曲率为κ(s(t)=土λ的法截线称为主法截线.以S的各个列向量{S}1分别作为切空 间局部协变基{g}1的坐标,则确定了一个切空间的单位正交基{ea}m1,称为主方向.具体可 表述如下
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 其中 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 所以有 κ(s(t)) = ± ξ T(S −1 ) T λ1 . . . λm S −1 ξ ξ T(S −1 ) TImS −1 ξ . 如果令 eξ(t) = S −1 ξ(t) = ξe1 (t) . . . ξem(t) , 则法截线曲率可以表示为简单的形式 κ(s(t)) = ± λi(ξei (t))2 |eξ(t)| 2 R2 . 如果取 eξ(t) = 0 . . . 1 . . . 0 (第i行), 则有 κ(s(t)) = ±λi . 此时 ξ(t) = Seξ(t) = Si(t), 即为矩阵 S 的第 i 列. X1 Xm Xm+1 O 切平面 Σ ei ej nΣ 相对于主方向 ei 的 主法截线 相对于主方向 ej 的 主法截线 图 3: 主法截线示意 曲率为 κ(s(t)) = ±λi 的法截线称为主法截线. 以 S 的各个列向量 {Si} m i=1 分别作为切空 间局部协变基 {gi} m i=1 的坐标，则确定了一个切空间的单位正交基 {ei} m i=1, 称为主方向. 具体可 表述如下 ( e1 · · · em ) = ( g1 · · · gm ) S. 9
高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 由于 因此(2…cn)是正交矩阵即(e}m1是切空间的一个单位正交基 nΣ同主方向ε;确定的法截面截取曲面∑的截线为一条主法截线,其曲率为±λ.主方向 及主法截线的关系,如图3所示 应用事例 21二维 Monge型曲面的 Gauss曲率及平均曲率 设R3中的二维 Monge型曲面具有以下的向量值映照表示 ∑(x,y):Dny3→∑(x,y)= f(, y) 有 DE(x,y)=01 99)(a0= Df(a, y) fa fy 所以有 gii)=(DE)TDE=I2+(Df)Df=/+f2 ffy f1+f2 法向量为 1×92 +2 计算曲面第二基本量,即 bi(oai,n 1++(,)(x,y) 另可得 +-f 1+f+f(-11+ 故可有 (9)=()(x) f2-fafy (1+f+f2)(-ff1+f (1+fy)frr-frfy fry(1+f)fry-frfy, (1+f2+2)3(1+52)fry-fifyfrr(1+f2)fy-frfyfay
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 由于 ( e1 · · · em )T ( e1 · · · em ) = S TGS = Im, 因此 ( e1 · · · em ) 是正交矩阵, 即 {ei} m i=1 是切空间的一个单位正交基. nΣ 同主方向 ei 确定的法截面截取曲面 Σ 的截线为一条主法截线, 其曲率为 ±λi . 主方向 及主法截线的关系, 如图3所示. 2 应用事例 2.1 二维 Monge 型曲面的 Gauss 曲率及平均曲率 设 R 3 中的二维 Monge 型曲面具有以下的向量值映照表示: Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) = x y f(x, y) ∈ R 3 , 有 DΣ(x, y) = 1 0 0 1 fx fy = ( g1 g2 ) (x, y) = ( I2 Df(x, y) ) . 所以有 ( gij) = (DΣ) TDΣ = I2 + (Df) TDf = ( 1 + f 2 x fxfy fxfy 1 + f 2 y ) , 法向量为 n = 1 |g1 × g2 |R3 g1 × g2 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y −fx −fy 1 . 计算曲面第二基本量, 即 bij , ( ∂gi ∂xi , n ) R3 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y ( fxx fxy fxy fyy) (x, y), 另可得 ( g ij) = ( gij)−1 = 1 1 + f 2 x + f 2 y ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) , 故可有 ( b i j ) = ( g ik) (bkj) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) (fxx fxy fxy fyy) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 y )fxy − fxfyfyy (1 + f 2 x )fxy − fxfyfxx (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy) . 10