微分流形上微分学—— Riemann流形 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 11 Riemann流形上的内积 Riemann流形本质上就是在TM上引入内积具体可化为对某个坐标卡(m),3{9(x)}=1, 有(o)∈Psym由此定义TM上内积 (.TAM TM X TM 3 (X, Y) +(X, Ym(r or. ria4g9yxr'y? 它满足一般内积的条件: 1.非负性:对ⅤX∈TM,有 非退化性: (X,X)rM=0∈R分X=0∈TM; 2.对称性:对VX,Y∈TM,有 3线性性:对vx,Y,Z∈TM,a,B∈R,有 (ax+BY, ZTM=a(x, ZTM+B(Y, aTM 定理1.1.对(M,g),(TM,(,)rM)成为 Hilbert空间,亦即(M,(,)rM)为完备的内积 证明由于(,}rM为TM上的内积,故其自然诱导TM上的范数为 XIT (x,X) VX∈TM. 以下说明(…,)rM的完备性,即要说明Ⅴ{Xn} EN CTA为基本点列( Cauchy点列),有Xn→ X*∈TM
微分流形上微分学 微分流形上微分学——Riemann 流形 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 Riemann 流形上的内积 Riemann 流形本质上就是在 TM 上引入内积, 具体可化为对某个坐标卡 ϕ(x), ∃ {gij (x)} m i,j=1, 有 ( gij) ∈ PSym. 由此, 定义 TM 上内积: ⟨·, ·⟩TM : TM × TM ∋ {X,Y } 7→ ⟨X,Y ⟩TM = ⟨ Xi ∂ ∂xi , Y j ∂ ∂xj ⟩ TM , gijXiY j , 它满足一般内积的条件: 1. 非负性: 对 ∀ X ∈ TM, 有 ⟨X, X⟩TM > 0, 非退化性: ⟨X, X⟩TM = 0 ∈ R ⇔ X = 0 ∈ TM; 2. 对称性: 对 ∀ X,Y ∈ TM, 有 ⟨X,Y ⟩TM = ⟨Y , X⟩TM ; 3. 线性性: 对 ∀ X,Y , Z ∈ TM, ∀ α, β ∈ R, 有 ⟨αX + βY , Z⟩TM = α ⟨X, Z⟩TM + β ⟨Y , Z⟩TM . 定理 1.1. 对 (M, g), (TM,⟨·, ·⟩TM ) 成为 Hilbert 空间, 亦即 (TM,⟨·, ·⟩TM ) 为完备的内积 空间. 证明 由于 ⟨·, ·⟩TM 为 TM 上的内积, 故其自然诱导 TM 上的范数为 |X|TM , √ ⟨X, X⟩TM , ∀ X ∈ TM. 以下说明 ⟨·, ·⟩TM 的完备性, 即要说明 ∀ {Xn}n∈N ⊂ TM 为基本点列 (Cauchy 点列), 有 Xn → X∗ ∈ TM. 1
微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 考虑到 IXp-Xqlfm=gi(Xp- X(xp-Xg) 91m XI-X q Xa ≥A1∑( 此处AAm为()的最小和最大特征值,由于()是对称正定的,因此所有特征值都是正 的.现{X} EN CTA为基本点列,亦即 ve>0,彐N,成立|Xp-XqmM 故有估计 -刚∑-xPx-xM 亦即:{X} PEN C R为基本点列,由R的完备性,有 →X∈R当p→∞,i=1,…,m 故有 IXp-XITM=gii(Xp -Xa(Xp-Xa X.-XM,当p→∞,Vq∈N 按点列极限保号性,可有 X,-X9M≤2,Vq>N 亦即有X→X,Xm∈TM 由于(TM,(,)rM)成为 Hilbert空间,则可利用泛函分析中的 F Riesz定理,b∈T*M,!Xe∈ TM满足θ(X)=(X,X)rM,X∈TM.具体计算 (X)=(X,XrM=(Xm,切 riajTM 会93XX 0dx2(X)=BX2,X∈TM, 故有 综上,可有 TM30=idrN Xo=90igETM
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 考虑到 |Xp − Xq| 2 TM = gij (Xi p − Xi q )(Xj p − Xj q ) = ( X1 p − X1 q · · · Xm p − Xm q ) g11 · · · g1m . . . . . . gm1 · · · gmm X1 p − X1 q . . . Xm p − Xm q ∼ 6 λm [∑m i=1 (Xi p − Xi q ) 2 ] , > λ1 [∑m i=1 (Xi p − Xi q ) 2 ] . 此处 λ1, λm 为 ( gij) 的最小和最大特征值, 由于 ( gij) 是对称正定的, 因此所有特征值都是正 的. 现 {Xp}p∈N ⊂ TM 为基本点列, 亦即 ∀ ε > 0 , ∃ Nε , 成立|Xp − Xq|TM Nε, 故有估计 |Xi p − Xi q | 6 vuut∑m i=1 (Xi p − Xi q ) 2 6 1 √ λ1 |Xp − Xq|TM Nε, 亦即有 Xq → X∗ , Xi ∗ ∂ ∂xi ∈ TM. 由于 (TM,⟨·, ·⟩TM ) 成为 Hilbert 空间, 则可利用泛函分析中的 F.Riesz 定理, ∀ θ ∈ T ∗M, ∃ ! Xθ ∈ TM 满足 θ(X) = ⟨X, Xθ⟩TM , ∀ X ∈ TM. 具体计算 θ(X) = ⟨X, Xθ⟩TM = ⟨ Xi ∂ ∂xi , Xj θ ∂ ∂xj ⟩ TM , gijXiX j θ = θidx i (X) = θiXi , ∀ X ∈ TM, 故有 θi = gijX j θ , Xj θ = g jkθk. 综上, 可有 T ∗M ∋ θ = θidx i ∼ Xθ = g ijθi ∂ ∂xj ∈ TM. 2
微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 在实际处理中,有 dzi(x)=(gii VX∈TM 在余切空间TM上,可引入内积 (,)rM:T”MxT”M3{→()rM=(9dx2,vdm3r,M会go∈R 且(TM,…,)rM)成为 Hilbert空间 按 F Riesz定理,有 ve∈(T*M)*=T*M,36,∈TM,满足θ*()=(,0rM,Vφ∈T*M 具体计算 8*(p)=(, 0)TM=(o dr, 0. dr)TM=99:0.j 故有 0“=g4,0,=9k0“ 综上可有 T*M彐6*=0 a1~0,=91,0*d∈TM 实际处理中,有 (d)=(,9d3) T* M 定理12 1.对vφv∈T*M,有 ,v)rM=(Xφ,Xv)rM 2.对Vφ*,*∈TM,有 Ts&M φy,}r-M 证明按内积的定义,计算第(1)式,可有 (, v)TM=(o: dr, v; drem e g pivj TM 8. vig arg TN arp 会gPgy9p=9的 计算第(2)式,可有 φ*,") T**M glow T**M (,v,)rM={gpdn2,gydx)x,M=o”ygp9ny=9
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 在实际处理中, 有 dx i (X) = ⟨ g ij ∂ ∂xj , X ⟩ TM , ∀ X ∈ TM. 在余切空间 T ∗M 上, 可引入内积 ⟨·, ·⟩T ∗M : T ∗M × T ∗M ∋ {ϕ, ψ} 7→ ⟨ϕ, ψ⟩T ∗M = ⟨ ϕidx i , ψjdx j ⟩ T ∗M , g ijϕiψj ∈ R, 且 (T ∗M,⟨·, ·⟩T ∗M) 成为 Hilbert 空间. 按 F.Riesz 定理, 有 ∀ θ ∗ ∈ (T ∗M) ∗ = T ∗∗M , ∃ θ∗ ∈ T ∗M , 满足θ ∗ (ϕ) = ⟨ϕ, θ∗⟩T ∗M , ∀ ϕ ∈ T ∗M. 具体计算 θ ∗ (ϕ) = ⟨ϕ, θ∗⟩T ∗M = ⟨ ϕidx i , θ∗jdx j ⟩ T ∗M = g ijϕiθ∗j = θ ∗i ∂ ∗ ∂xi (ϕ) = θ ∗iϕi , 故有 θ ∗i = g ijθ∗j , θ∗j = gjkθ ∗k . 综上可有 T ∗∗M ∋ θ ∗ = θ ∗i ∂ ∗ ∂xi ∼ θ∗ = gijθ ∗idx j ∈ T ∗M. 实际处理中, 有 ∂ ∗ ∂xi (ϕ) = ⟨ ϕ, gijdx j ⟩ T ∗M . 定理 1.2. 1. 对 ∀ ϕ, ψ ∈ T ∗M, 有 ⟨ϕ, ψ⟩T ∗M = ⟨Xϕ, Xψ⟩ TM ; 2. 对 ∀ ϕ ∗ , ψ ∗ ∈ T ∗∗M, 有 ⟨ϕ ∗ , ψ ∗ ⟩T ∗∗M = ⟨ϕ∗ , ψ∗ ⟩T ∗M . 证明 按内积的定义, 计算第 (1) 式, 可有 ⟨ϕ, ψ⟩T ∗M = ⟨ ϕidx i , ψjdx j ⟩ T ∗M , g ijϕiψj , ⟨Xϕ, Xψ⟩ TM = ⟨ ϕig ip ∂ ∂xp , ψjg jq ∂ ∂xq ⟩ TM , ϕiψjg ipg jqgpq = g ijϕiψj . 计算第 (2) 式, 可有 ⟨ϕ ∗ , ψ ∗ ⟩T ∗∗M = ⟨ ϕ ∗i ∂ ∗ ∂xi , ψ∗j ∂ ∗ ∂xj ⟩ T ∗∗M , gijϕ ∗iψ ∗j , ⟨ϕ∗ , ψ∗ ⟩T ∗M = ⟨ ϕ ∗i gipdx p , ψ∗j gjqdx q ⟩ T ∗M = ϕ ∗iψ ∗j gipgjqg pq = gijϕ ∗iψ ∗j . 3
微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 12 Riemann流形上的联络 基于一般的向量从上的 Levi-Civita联络,进一步可定义 Riemann流形(M,g)之切丛TM 上的联络,满足以下条件: 1.挠张量T=0,亦即Vx,Y∈∞(TM),有 T(X,Y)2VxY-VYX-X, Y=0ETM 2.对VX,Y,z∈6(TM),有 Z(X,YTM=VzX,Y)TM +(X,Vzr)TM 由于 a oev art axj- v art Oxk=0∈TM, 故挠张量为零,即对应于第二类 Christoffel符号的协变指标对称性 由 Va dri' ax/TM xi'ark a3 Tki ars' aT3/TM +(a, 有 ax9(2)=r,9y+9 引入第一类 Christoffel符号l;k全gk,F,显然第一类 Christoffel 1号的前两个指标有对称性 由此上式即为 引理1.3.对(M,g)上 Levi-Civita联络有 + 且上式与 091(x TkiitTk axk 为等价表示形式 证明由
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 1.2 Riemann 流形上的联络 基于一般的向量丛上的 Levi-Civita 联络, 进一步可定义 Riemann 流形 (M, g) 之切丛 TM 上的联络, 满足以下条件: 1. 挠张量 T = 0, 亦即 ∀ X,Y ∈ C ∞(TM), 有 T (X,Y ) , ∇XY − ∇Y X − [X,Y ] = 0 ∈ TM; 2. 对 ∀ X,Y , Z ∈ C ∞(TM), 有 Z ⟨X,Y ⟩TM = ⟨∇ZX,Y ⟩TM + ⟨X, ∇ZY ⟩TM . 由于 T ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) , ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj − ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi − [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj − ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi = ( Γ k ij − Γ k ji) ∂ ∂xk = 0 ∈ TM, 故挠张量为零, 即对应于第二类 Christoffel 符号的协变指标对称性. 由 ∂ ∂xk ⟨ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ⟩ TM = ⟨ ∇ ∂ ∂xk ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ⟩ TM + ⟨ ∂ ∂xi , ∇ ∂ ∂xk ∂ ∂xj ⟩ TM = ⟨ Γ s ki ∂ ∂xs , ∂ ∂xj ⟩ TM + ⟨ ∂ ∂xi , Γs kj ∂ ∂xs ⟩ TM , 有 ∂ ∂xk gij (x) = Γ s kigsj + Γ s kjgis. 引入第一类 Christoffel 符号 Γij,k , gksΓ s ij , 显然第一类 Christoffel 符号的前两个指标有对称性. 由此上式即为 ∂gij ∂xk (x) = Γki,j + Γkj,i. 引理 1.3. 对 (M, g) 上 Levi-Civita 联络有 Γij,k = 1 2 ( ∂gik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x), 且上式与 ∂gij ∂xk (x) = Γki,j + Γkj,i 为等价表示形式. 证明 由 ∂gij ∂xk (x) = Γki,j + Γkj,i, 4
微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 进行指标轮换,有 djk()=Ti, k+like 将上面两式相加并减去第三式,则有 1/9k;,O0i0 ki,j axi axk azj 反之,如有 rk=2(b+2-b)() 交换指标j和k,有 a xk ax 将上面两式相加,即有 另有等价的表达式,见下述引理 引理1.4.对(M,g)上的Levi- Civita联络,有 Vk9i;=0,Vk92=0,Vkb2=0. 证明按协变导数计算公式,有 0 0 Proj 6-k=k一k=0 由上述结论,考虑 Vk8;=Vk(g til=(Vk9 )gti+9 Vk9t 所以有(Vkg2)9r;=0.所以 (Vk9)9tigs=(Vk9 t)8%=Vk9=0 在实际应用中,在对张量分量求协变导数时,9n;、y以及8可以自由地从协变导数中“拿 进”、“拿出”,如 VI(94p9)=9 V1.g, VI(gi pg)=gij V1.q, V(0, p9)=diV1.9
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 进行指标轮换, 有 ∂gjk ∂xi (x) = Γij,k + Γik,j , ∂gki ∂xj (x) = Γjk,i + Γji,k. 将上面两式相加并减去第三式, 则有 Γki,j = 1 2 ( ∂gkj ∂xi + ∂gij ∂xk − ∂gki ∂xj ) . 反之, 如有 Γij,k = 1 2 ( ∂gik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x). 交换指标 j 和 k, 有 Γik,j = 1 2 ( ∂gij ∂xk + ∂gkj ∂xi − ∂gik ∂xj ) (x). 将上面两式相加, 即有 ∂gjk ∂xi (x) = Γij,k + Γik,j . 另有等价的表达式, 见下述引理. 引理 1.4. 对 (M, g) 上的 Levi-Civita 联络, 有 ∇kgij = 0 , ∇kg ij = 0 , ∇kδ i j = 0. 证明 按协变导数计算公式, 有 ∇kgij , ∂gij ∂xk (x) − Γ s kigsj − Γ s kjgis = ∂gij ∂xk (x) − Γki,j − Γkj,i = 0, ∇kδ i j , ∂δi j ∂xk (x) + Γ i ksδ s j − Γ s kjδ i s = Γ i kj − Γ i kj = 0. 由上述结论, 考虑 ∇kδ i j = ∇k(g itgtj ) = (∇kg it)gtj + g it∇kgtj , 所以有 (∇kg it)gtj = 0. 所以 (∇kg it)gtjg js = (∇kg it)δ s t = ∇kg is = 0. 在实际应用中, 在对张量分量求协变导数时, gij、g ij 以及 δ i j 可以自由地从协变导数中 “拿 进”、“拿出”, 如 ∇l(g ijΦ p · q) = g ij∇lΦ p · q , ∇l(gijΦ p · q) = gij∇lΦ p · q , ∇l(δ i jΦ p · q) = δ i j∇lΦ p · q. 5
微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 13 Riemann流形上的平行移动 性质1.5( Riemann流形上平行移动的基本性质) 1.平行移动保持内积不变,即对vX(t),Y(t)∈(TM),满足V)Xx=V(Y=0∈ 6(TM),则有 d d(x,YrM(t)=0∈R; 2.沿测地线平行移动向量场同测地线切向量之间的夹角在平行移动中保持不变 证明可基于直接计算,证明此性质 1.由平行移动方程V)X=VY=0∈6∞(TM,有 (t)+XXk=0,=1,…,m t()+yy=0.=1,…,m 计算 ￠X,Y)m(1)=元(0xY)() dr(t)xr+gi dt (tr+gi-fidrj (a)aPxr-gii Ipgi'rr-gij TpgiPr'r9 TnailiPX'y 由此可得 (X, YTM(t) 又由 0, 亦即, Riemann流形上平行移动保持内积不变等价于度量张量的协变导数为零.故此性质 由 Riemann流形的几何性质决定 2.由测地线方程以及平行移动方程,有 ()=0,以及V()X=0 由性质(1)可知 (i(t), X(tTM=i(tlTM x(t)ltm cos(i(t), X(t)) 为常数,而(t)lrM和|X(t)rM同样为常数,因此cos((t),X(t)在平行移动中同样为常
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 1.3 Riemann 流形上的平行移动 性质 1.5 (Riemann 流形上平行移动的基本性质). 1. 平行移动保持内积不变, 即对 ∀ X(t), Y (t) ∈ C ∞(TM), 满足 ∇γ˙ (t)X = ∇γ˙ (t)Y = 0 ∈ C ∞(TM), 则有 d dt ⟨X, Y ⟩TM (t) = 0 ∈ R; 2. 沿测地线平行移动向量场同测地线切向量之间的夹角在平行移动中保持不变. 证明 可基于直接计算, 证明此性质. 1. 由平行移动方程 ∇γ˙ (t)X = ∇γ˙ (t)Y = 0 ∈ C ∞(TM), 有 dXi dt (t) + Γ i jkXjXk = 0, i = 1, · · · , m, dY i dt (t) + Γ i jkY jY k = 0, i = 1, · · · , m. 计算 d dt ⟨X, Y ⟩TM(t) = d dt ( gijXiY j ) (t) = dgij dt (t)XiY j + gij dXi dt (t)Y j + gijXi dY j dt (t) = ∂gij ∂xp (x) ˙x pXiY j − gijΓ i pqx˙ pXqY j − gijΓ j pqx˙ pXiY q = [ ∂gij ∂xp (x) − gqjΓ q pi − giqΓ q pj] x˙ pXiY j = [ ∂gij ∂xp (x) − Γpi,j − Γpj,i] x˙ pXiY j . 由此可得 d dt ⟨X, Y ⟩TM(t) = 0 ⇔ ∂gij ∂xp (x) = Γpi,j + Γpj,i. 又由 ∂gij ∂xp (x) = Γpi,j + Γpj,i ⇔ ∇pgij = 0, 亦即, Riemann 流形上平行移动保持内积不变等价于度量张量的协变导数为零. 故此性质 由 Riemann 流形的几何性质决定. 2. 由测地线方程以及平行移动方程, 有 ∇γ˙ (t)γ˙(t) = 0, 以及∇γ˙ (t)X = 0. 由性质 (1) 可知 ⟨γ˙(t), X(t)⟩TM = |γ˙(t)|TM |X(t)|TM cos( ˙γ(t), X(t)) 为常数, 而 |γ˙(t)|TM 和 |X(t)|TM 同样为常数, 因此 cos( ˙γ(t), X(t)) 在平行移动中同样为常 数. 6
微分流形上微分学— Riemann流形 谢锡麟 2应用事例 3建立路径
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— Riemann 流形 谢锡麟 2 应用事例 3 建立路径 7