高维微分学——一曲线向量值映照 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 知识要素 11曲线的切向量与切线 定义1.1(曲线).单参数向量值映照即可称为曲线 (t):R[a,月3tr(t) ∈R Xm(t) 由于曲线的自变量为实数,故可研究曲线相对于其自变量/单参数的变化率,可称为切向量 具体定义如下 定义1.2(曲线的切向量) r(t)-r(to) d r(to+△t)-r(to) 按复合向量值映照的极限定理可知上述二个极限等价 性质11.如有曲线r(t)∈Rm在to点可微,则存在x(to)=Dr(to)∈Rm 证明如有曲线r(t)在t点可微,即有 (to+△t)=r(to)+Dr(to)△t+o(△t)∈R 式中Dr(to)=(x1…xm)(t)为r()在t点的 Jacobi矩阵 需指出,如果曲线在某点存在切向量也即为曲线在该点可微 定义1.3(曲线的切线).如果存在曲线r(t)∈Rm在t点的切向量x(to),则可定义曲线 在改点的切线 Z(t):Rt→l(t)全r(to)+(to)(t-to)∈Rn 可见,在to邻近,曲线r(t)同其切线l(t)的“差别”为o(t-to)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——曲线向量值映照 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 曲线的切向量与切线 定义 1.1 (曲线). 单参数向量值映照即可称为曲线 r(t) : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ r(t) = X1 (t) . . . Xm(t) ∈ R m. 由于曲线的自变量为实数, 故可研究曲线相对于其自变量/单参数的变化率, 可称为切向量, 具体定义如下 定义 1.2 (曲线的切向量). dr dt (t0) , lim t→t0∈R r(t) − r(t0) t − t0 lim ∆t→0∈R r(t0 + ∆t) − r(t0) ∆t , 按复合向量值映照的极限定理可知上述二个极限等价. 性质 1.1. 如有曲线 r(t) ∈ R m 在 t0 点可微, 则存在 dr dt (t0) = Dr(t0) ∈ R m. 证明 如有曲线 r(t) 在 t0 点可微, 即有 r(t0 + ∆t) = r(t0) + Dr(t0)∆t + o(∆t) ∈ R m, 式中 Dr(t0) = ( X˙ 1 · · · X˙ m )T (t) 为 r(t) 在 t0 点的 Jacobi 矩阵. 需指出, 如果曲线在某点存在切向量也即为曲线在该点可微. 定义 1.3 (曲线的切线). 如果存在曲线 r(t) ∈ R m 在 t0 点的切向量 dr dt (t0), 则可定义曲线 在改点的切线 l(t) : R ∋ t 7→ l(t) , r(t0) + dr dt (t0)(t − t0) ∈ R m. 可见, 在 t0 邻近, 曲线 r(t) 同其切线 l(t) 的 “差别” 为 o(t − t0). 1
高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 1.2曲线的局部标架及其运动方程 12.1以弧长为参数的 Frenet标架及其运动方程 引理12.如果向量A(t)的模保持不变,则有A(t)⊥A(t) 证明向量A(t)的模保持不变,即有dA(l 0,所以有 (t), A(t 所以(A(t,A()=0,即A()⊥A(t Frenet标架是定义在R3空间中的曲线上的标架,此时将曲线上点的坐标记作r以示区分 在定义了曲线的弧长之后,曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值,即 s(t) ()d 在本章中,若无特殊说明,使用r表示立,而使用r表示.首先,有 dt dt (t)=|(t)l 令 (s)=r(s), 称为切向量.它满足r(s)=--(s) ds dt ds i(t)IR 所以|(s)lRa=1. 根据引理1.2,可得r(s)⊥r(s).于是令 n(s)'(s)l3 r"(s)IRa 称为主法向量.显然|n(s)l3=1 令 b(s)=7(s)×n(s) (s)×r"(s) r(sIR 称为副法向量.显然有|b(s)gs=1,而且b(s)⊥T(s),b(s)⊥n(s) 综上,曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame) 1.切向量:r(s)=r(s); 2.主法向量:n(s)=m 3.副法向量:b(6)=y(s)xr(s
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 1.2 曲线的局部标架及其运动方程 1.2.1 以弧长为参数的 Frenet 标架及其运动方程 引理 1.2. 如果向量 A(t) 的模保持不变, 则有 A˙ (t)⊥A(t). 证明 向量 A(t) 的模保持不变, 即有 d|A(t)| 2 Rm dt = 0, 所以有 d dt |A(t)| 2 Rm = 2 ( dA dt (t), A(t) ) Rm = 0, 所以 ( A˙ (t), A(t) ) Rm = 0, 即 A˙ (t) ⊥ A(t). Frenet 标架是定义在 R 3 空间中的曲线上的标架, 此时将曲线上点的坐标记作 r 以示区分. 在定义了曲线的弧长之后, 曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值, 即 s(t) = ∫ t α dr dξ (ξ) R3 dξ. 在本章中, 若无特殊说明, 使用 r˙ 表示 dr dt , 而使用 r ′ 表示 dr ds . 首先, 有 ds dt (t) = dr dt (t) R3 = |r˙(t)|R3 , 令 τ (s) = r ′ (s), 称为切向量. 它满足 τ (s) = dr ds (s) = dr dt dt ds = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 所以 |τ (s)|R3 = 1. 根据引理1.2, 可得 τ ′ (s)⊥τ (s). 于是令 n(s) = τ ′ (s) |τ ′(s)|R3 = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为主法向量. 显然 |n(s)|R3 = 1. 令 b(s) = τ (s) × n(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为副法向量. 显然有 |b(s)|R3 = 1, 而且 b(s)⊥τ (s), b(s)⊥n(s). 综上, 曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame)： 1. 切向量：τ (s) = r ′ (s); 2. 主法向量：n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ; 3. 副法向量：b(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 . 2
高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 副法线 法平面 从 面 主法线 密切面 切线 图1: Frenet标架示意 显然, Frenet标架(见图1)是一个正交规范标架.藉此,在曲线上运动的质点,当其运动到某 点时,定义在其上的向量(如速度、加速度等)都可以基于当地的 Frenet标架展开,亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合.以此,可作为进一步的解析基础 由于 Frenet标架是局部的,一般沿着曲线而变化,因此需要硏究局部标架随曲线弧长的变化 率.为此,先引入以下的定理 定理1.3(标架运动方程)·正交规范标架{1(,ω2(t),∽3(t)}随变量t而变化,其变化率 可以通过系数矩阵()米表 (a(00)=(01020-0mm 231232233 上述方程称为标架运动方程(2)是反对称矩阵,亦即=-2n 证明由于 dca·;)dua hnn+∑2nn 2ii+
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 切线 主法线 副法线 τ n b 从 切 面 法平面 密切面 图 1: Frenet 标架示意 显然, Frenet 标架 (见图1) 是一个正交规范标架. 藉此, 在曲线上运动的质点, 当其运动到某 点时, 定义在其上的向量 (如速度、加速度等) 都可以基于当地的 Frenet 标架展开, 亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合. 以此, 可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet 标架是局部的, 一般沿着曲线而变化, 因此需要研究局部标架随曲线弧长的变化 率. 为此, 先引入以下的定理. 定理 1.3 (标架运动方程). 正交规范标架 {ω1(t), ω2(t), ω3(t)} 随变量 t 而变化, 其变化率 可以通过系数矩阵 ( Ωij) 来表示： ( ω˙ 1(t) ω˙ 2(t) ω˙ 3(t) ) = ( ω1(t) ω2(t) ω3(t) ) Ω11 Ω12 Ω13 Ω21 Ω22 Ω23 Ω31 Ω32 Ω33 . 上述方程称为标架运动方程, ( Ωij) 是反对称矩阵, 亦即 Ωij = −Ωji. 证明 由于 ω˙ i = ∑ 3 p=1 Ωpiωp , ω˙ j = ∑ 3 q=1 Ωqjωq, 则 d(ωi · ωj ) dt = dωi dt · ωj + ωi · dωj dt = ∑ 3 p=1 Ωpiωp · ωj + ∑ 3 q=1 Ωqjωq · ωi = ∑ 3 p=1 Ωpiδpj + ∑ 3 q=1 Ωqjδqi = Ωji + Ωij = 0. 3
高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 基于上述定理, Frenet标架的标架运动方程可以表示为 r(s)n'(s)b(s)=(r(s)n(s)b(s)|20 因为r(s)=r"(s)=|r"(s)ln(s),所以有 212=|r"(s) 0. 令(s)=|r"(s)称为曲线该点处的曲率.再引入挠率满足 b(s)=-0(s)n(s) 因此有923=0(s).挠率o(s)可以表示为 (s)=-(b(s,n() d(r(s)×r"(s) r(s)lR3 r"(s) (r"(s)×r"(s,r"(s) (r(s)×r"(s,r"(s) 1 d (s) [r(s)IR3(r(s)r(s),r"(s)) r"(s) (r(s)xr(),r"(s)) r'(s),r"(s),T"(s)g3 "(s13 综上,以弧长为参数的 Frenet标架的运动方程可以表示为 (r()n()b)=(r()n()b0)|)0-(9) 0a(8)0 式中曲率k(s)={r"(s)k,挠率o(s)= r'(s),r"(s),r"(s)]gs 122一般形式的 Frenet标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为r(t)=r(s(t),在不引起混淆的情况下,可以简单地将r(t) 作r(t) 在这种情况下,切向量可以表示为 T(t)=r(s(t)=r(s(t)=x()(s) r(tl 主法向量n)=、r"(s) r"(l,因此首先计算 dT dt d r(t r(t)d dt r(as ) p( r(B-i(ea d r(t)la
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 基于上述定理, Frenet 标架的标架运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) ) 0 −Ω12 −Ω13 Ω12 0 −Ω23 Ω13 Ω23 0 . 因为 τ ′ (s) = r ′′(s) = |r ′′(s)|R3n(s), 所以有 Ω12 = |r ′′(s)|R3 , Ω13 = 0. 令 κ(s) = |r ′′(s)|R3 称为曲线该点处的曲率. 再引入挠率满足 b ′ (s) = −σ(s)n(s), 因此有 Ω23 = σ(s). 挠率 σ(s) 可以表示为 σ(s) = − ( b ′ (s), n(s) ) R3 = − ( d ds ( r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) , r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′′(s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 + 1 |r ′′(s)| 3 R3 d ds |r ′′(s)|R3 ( r ′ (s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 综上, 以弧长为参数的 Frenet 标架的运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) ) 0 −κ(s) 0 κ(s) 0 −σ(s) 0 σ(s) 0 , 式中曲率 κ(s) = |r ′′(s)|R3 , 挠率 σ(s) = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 1.2.2 一般形式的 Frenet 标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为 rˆ(t) = r(s(t)), 在不引起混淆的情况下, 可以简单地将 rˆ(t) 记作 r(t). 在这种情况下, 切向量可以表示为 τ (t) = τ (s(t)) = r ′ (s(t)) = dr dt (t) dt ds (s) = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 主法向量 n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 因此首先计算 r ′′(s(t)) = dτ dt (t) dt ds (s) = ( d dt r˙(t) |r˙(t)|R3 ) 1 |r˙(t)|R3 = r¨(t) |r˙(t)| 2 R3 − r˙(t) |r˙(t)| 3 R3 d dt |r˙(t)|R3 . 4
高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 将式|(t)ls=((t),(t)gs的两端求对t的导数得 2()a()3=2((o,r() 所以有 (r(t), r(t))23 此时 r"'(s(t)= r(t) (r(t),r(t))R (t)12|(t) F()-(e(),r() r(t) r(t)R3 Ir(t)lRs/R3 i(t)l23 根据内蕴正交分解,对于向量T,有 T=(T,e)ke-e×e×T) 令T=计(,e=m1可得 Ir(tlr3 r"(s(t)= r(t)×((t)×f(t) Fr(t)13i(t)lR3(/r (t) x r(t) r(tI 因此主法向量为 m(t r"(s()) r(t)×((t)×(t) r(t)×(r(t) r"(s(t)l3|i(t)×(T(t)×(t)8|()Rs(t) rola 此时曲率可以表示为 k(t)=|r"(s(1)=1(t)×(r()×(t)k3|r()×(t)k3 r(t)193 r(t)1 副法向量即为 b()=T(t)×n(t) (t) (t)×(t) p(t)Ie3 (t)123 F(t)-(F(t), r(t)l/gsP()」-1r() 挠率为 db dt b(s(t)),n(t) a()as(),n() 1d(t)×(t)(t)×(r r( t)lR3 dt i(1)xr(t)l3r(t)2sr(1)×r(t)3丿 r(t)×((t)×(t) r(t)lgs|(t)×(t)k3'|(t)l(t)×(t)/3 T(t)×(t) ) r(t)×(t) r(t) r(t) P(tIR3(i(t)lr3 (t) 、x:(0010+(m0)0 (t)R3/R3|r(t)IR3/r3 r(t),(t),(t) r(t)×(t) (f(t)×T(t),f(t)g3 (t)×r(t)l
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 将式 |r˙(t)| 2 R3 = (r˙(t), r˙(t))R3 的两端求对 t 的导数得 2|r˙(t)|R3 d dt |r˙(t)|R3 = 2 (r¨(t), r˙(t))R3 , 所以有 d dt |r˙(t)|R3 = 1 |r˙(t)|R3 (r¨(t), r˙(t))R3 , 此时 r ′′(s(t)) = r¨(t) |r˙(t)| 2 R3 − (r¨(t), r˙(t))R3 |r˙(t)| 4 R3 r˙(t) = 1 |r˙(t)| 2 R3 [ r¨(t) − ( r¨(t), r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 ] . 根据内蕴正交分解, 对于向量 T , 有 T = (T , e)R3 e − e × (e × T ). 令 T = r¨(t), e = r˙(t) |r˙(t)|R3 可得 r ′′(s(t)) = − 1 |r˙(t)| 2 R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 × ( r˙(t) |r˙(t)|R3 × r¨(t) ) = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)| 4 R3 . 因此主法向量为 n(t) = r ′′(s(t)) |r ′′(s(t))|R3 = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t))|R3 = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 . 此时曲率可以表示为 κ(t) = |r ′′(s(t))|R3 = |r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t))|R3 |r˙(t)| 4 R3 = |r˙(t) × r¨(t)|R3 |r˙(t)| 3 R3 . 副法向量即为 b(t) = τ (t) × n(t) = r˙(t) |r˙(t)|R3 × 1 |r˙(t)| 2 R3 [ r¨(t) − ( r¨(t), r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 ] = r˙(t) × r¨(t) |r˙(t)| 3 R3 . 挠率为 σ(t) = − ( d ds b(s(t)), n(t) ) R3 = − ( db dt (t) dt ds (s), n(t) ) R3 = − ( 1 |r˙(t)|R3 d dt r˙(t) × r¨(t) |r˙(t) × r¨(t)|R3 , − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ) R3 = ( r˙(t) × ... r (t) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 , r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ) R3 = 1 |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 ( r˙(t) × ... r (t), r˙(t) |r˙(t)|R3 × ( r˙(t) |r˙(t)|R3 × r¨(t) )) R3 = 1 |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 ( r˙(t) × ... r (t), −r¨(t) + ( r¨(t), r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 = − 1 |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 (r˙(t) × ... r (t), r¨(t))R3 = [r˙(t), r¨(t), ... r (t)] |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 , 5
高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解. 综上所述,一般形式的 Frenet标架可以表示为 1.切向量:r(t) r(t)×(T(t)×(t) 2.主法向量:n(t)=P()a(t)xP(t)lR r(t)×(t) 3.副法向量:b(t)=() 其运动方程为 (+0)i()bo)=(r()mn()b()a0 r(t)IRk(t) r(t)n(t) b(t)|lr(t)lR3K(t) r(tIRso(t)I r(tIRso(t) 式中曲率(=上),率o0=pr0xg 13曲线的局部参数化 2应用事例 事例1(三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式).首先,推导速度表达式 V会=as()a()=(Olar(), 式中|v(t)k3称为速率.然后,推导加速度表达式 d dt(T(s)+v()as ds(s)dt (t)T(s)+V(t)123*(s)n(s) 可见,三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率,相对于主法向量的分量 为速率的平方乘以曲率半径,相对于副法向量的分量为零 3建立路径
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解. 综上所述, 一般形式的 Frenet 标架可以表示为 1. 切向量：τ (t) = r˙(t) |r˙(t)|R3 ; 2. 主法向量：n(t) = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ; 3. 副法向量：b(t) = r˙(t) × r¨(t) |r˙(t)| 3 R3 . 其运动方程为 ( τ˙(t) n˙ (t) ˙b(t) ) = ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) ds dt (t) = ( τ (t) n(t) b(t) ) 0 −|r˙(t)|R3 κ(t) 0 |r˙(t)|R3 κ(t) 0 −|r˙(t)|R3 σ(t) 0 |r˙(t)|R3 σ(t) 0 , 式中曲率 κ(t) = |r˙(t) × r¨(t)|R3 |r˙(t)| 3 R3 , 挠率 σ(t) = [r˙(t), r¨(t), ... r (t)] |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 . 1.3 曲线的局部参数化 2 应用事例 事例 1 (三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式). 首先, 推导速度表达式 V , r˙ = dr ds (s) ds dt(t) = |V (t)|R3 τ (s), 式中 |V (t)|R3 称为速率. 然后, 推导加速度表达式 a , V˙ = d|V |R3 dt (t)τ (s) + |V (t)|R3 dτ ds (s) ds dt(t) = d|V |R3 dt (t)τ (s) + |V (t)| 2 R3 κ(s)n(s). 可见, 三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率, 相对于主法向量的分量 为速率的平方乘以曲率半径, 相对于副法向量的分量为零. 3 建立路径 6