微分流形上积分学—流形上 Stokes公式 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11单位1分解 引理1.1.设U,VcRm为开集,且VcU,则彐(x)∈6(Rm),满足: supp o(a)C U, (c)≡1 vm∈V, (x)∈[0,1,x∈Rm 如图1所示 图1:单位1分解示意 证明由于vcU,则有d(V,U)=:6>0.,故可作 Vg全{x∈Uld(x,V)≤e},ε≤6, 以及 pe(a): =je*Xv (a)e/ je(y-x)xv (y)dy y (x) )x、)ky
微分流形上积分学 微分流形上积分学——流形上 Stokes 公式 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 单位 1 分解 引理 1.1. 设 U, V ⊂ R m 为开集, 且 V ⊂ U, 则 ∃ ϕ(x) ∈ C ∞ c (R m), 满足: supp ϕ(x) ⊂ U, ϕ(x) ≡ 1, ∀ x ∈ V, ϕ(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 如图1所示. X1 Xα Xm O U V Vε V2ε εε X1 Xm y O V Vε U 1 图 1: 单位 1 分解示意 证明 由于 V ⊂ U, 则有 d(V , U) =: δ > 0, 故可作 V ε , {x ∈ U|d(x, V ) 6 ε}, ε ≪ δ, 以及 ϕε(x) := jε ∗ χV ε (x) , ∫ Rm jε(y − x)χV ε (y)dy = ∫ Rm 1 εm j ( y − x ε ) χV ε (y)dy = ∫ Bε(x) 1 εm j ( y − x ε ) χV ε (y)dy, 1
微分流形上积分学—一流形上 Stokes公式 谢锡麟 此处xv(y)表示集合Ve的特征函数,jy)∈(Rm)满足 (y)∈0,1,vy∈Rm,jy)dy=1 由微积分,易见e(x)∈Ce(Rm)满足 supp oe(a)= V2E CU v∈V c(x)∈[0,1], Va∈Rmn 定理12(单位1分解( Partition of Unity).设McRm为有界闭集(紧致集),{Ul} Rm为M的任意一个有限开覆盖,则彐{01(x)}a1c6(m)满足 1. supp Bi(e)C Ui, i=l,.,N 62(x)∈0.1,c∈M, 3.∑(x)=1,Vx∈M i=1 证明对x∈M,可作B26-(x)cU,i=1,……,N,自然有 Mc∪B(x)c∪B(x)c∪U c∈M 由于McRm为有界闭集,按有限覆盖定理彐{B(ax,)}=1,满足 Mc∪B3(x)c∪B251(x)c∪U 故彐{V}1为M的开覆盖,满足v;cU,i=1,…,N.按引理11,对每一对{V,Uh},i= 1,…,N,可作1(x)∈(Rm),满足 supp oi(e)C Ui; o(x)≡1 vm∈V (c)∈o Va∈R 故可作 01()全 pi(a ∈6(R) oi(ar) 现有∑(x)>0,V∈M,满足: ①具体的函数形式可参考: Zorich. Mathematical Analysis,vol.2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,2004 Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol 2. Beijing: Beijing World Pub-
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 此处 χV ε (y) 表示集合 V ε 的特征函数, j(y) ∈ C ∞ c (R m) ➀ 满足 j(y) ∈ [0, 1], ∀ y ∈ R m, ∫ Rm j(y)dy = 1. 由微积分, 易见 ϕε(x) ∈ C∞ c (R m) 满足 supp ϕε(x) = V 2ε ⊂ U; ϕε(x) ≡ 1, ∀ x ∈ V ; ϕε(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 定理 1.2 (单位 1 分解 (Partition of Unity)). 设 M ⊂ R m 为有界闭集 (紧致集), {Ui} N i=1 ⊂ R m 为 M 的任意一个有限开覆盖, 则 ∃ {θi(x)} N i=1 ⊂ C ∞ c (R m) 满足: 1. supp θi(x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 2. θi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ M, 3. ∑ N i=1 θi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ M. 证明 对 ∀ x ∈ M, 可作 B2δx (x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 自然有 M ⊂ ∪ x∈M Bδx (x) ⊂ ∪ x∈M B2δx (x) ⊂ ∪ N i=1 Ui . 由于 M ⊂ R m 为有界闭集, 按有限覆盖定理 ∃ {Bδj (xj )} N˜ j=1, 满足 M ⊂ ∪ N˜ j=1 Bδj (xj ) ⊂ ∪ N˜ j=1 B2δj (xj ) ⊂ ∪ N i=1 Ui . 故 ∃ {Vi} N i=1 为 M 的开覆盖, 满足 V i ⊂ Ui , i = 1, · · · , N. 按引理1.1, 对每一对 {Vi , Ui}, i = 1, · · · , N, 可作 ϕi(x) ∈ C ∞ c (R m), 满足: supp ϕi(x) ⊂ Ui ; ϕi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ Vi ; ϕi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ R m. 故可作 θi(x) , ϕi(x) ∑ N j=1 ϕj (x) ∈ C ∞ c (R m), i = 1, · · · , N, 现有 ∑ N j=1 ϕj (x) > 0, ∀ x ∈ M, 满足: ➀ 具体的函数形式可参考: Zorich. Mathematical Analysis, Vol.2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004; Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol.2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 2
微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 1. supp Bi(e)C Ui, i=1 2.61(x)∈[0,1,x∈M 3.∑(x)=1,vx∈M 基于相对于地图册的单位1分解,一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐 标卡所覆盖的流形上的一部分区域;另一方面,可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形.基 于单位1分解,可将??,??中按坐标卡定义的流形上第一类,第二类积分推广至整个流形 1.2流形上的 Stokes公式 m+1 微分流形∑ Ug=o YR+1) Ua Rm+1中方块Lm+1 U∩∑ Rm+中方块 a (ana)(Uan罗) φa(Ua∩∑) 图2:流形上 Stokes公式示意 定理13(流形上的 Stokes公式).设u(X)是Rm+1中m维可定向曲面/流形∑上的 (m-1)-形式,则有 ∂∑的定向由流形M诱导 证明如图2所示,设{(xa)∈6x(Lm+1;Ua=:a(Lm+1)}a=1为∑cRm+1的一个地图 oA: Dubrovin, Fomenko, Novikov. Modern Geometry-Methods and Applications, Vol 2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 199
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 1. supp θi(x) ⊂ Ui , i = 1, · · · , N, 2. θi(x) ∈ [0, 1], ∀ x ∈ M, 3. ∑ N i=1 θi(x) ≡ 1, ∀ x ∈ M. 基于相对于地图册的单位 1 分解, 一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐 标卡所覆盖的流形上的一部分区域; 另一方面, 可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形. 基 于单位 1 分解, 可将??, ??中按坐标卡定义的流形上第一类, 第二类积分推广至整个流形➀. 1.2 流形上的 Stokes 公式 X1 Xm Xm+1 O 微分流形 Σ Uα ∩ Σ Uβ ∩ Σ Uβ ∩ ∂Σ Uα = ϕα(Im+1) Uβ = ϕβ(Im+1) ∂Σ x 1 α xm α xm+1 α ϕ −1 α (Uα ∩ Σ) R m+1中方块 Im+1 O x 1 β xm β x m+1 β ϕ −1 β ϕ (Uα ∩ Σ) −1 β (Uα ∩ ∂Σ) R m+1 中方块 Im+1 O 图 2: 流形上 Stokes 公式示意 定理 1.3 (流形上的 Stokes 公式). 设 ω(X) 是 R m+1 中 m 维可定向曲面/流形 Σ 上的 (m − 1)-形式, 则有 (−1)m ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω, ∂Σ 的定向由流形 M 诱导. 证明 如图2所示, 设 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1;Uα =: ϕα(Im+1))} N α=1 为 Σ ⊂ R m+1 的一个地图 ➀ 可参考: Dubrovin, Fomenko, Novikov.Modern Geometry-Methods and Applications, Vol.2. Beijing: Beijing World Publishing Corporation, 1999. 3
微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 册.设{6a(X)∈(E;R)}△=1为相对于∑的有限开覆盖{Ua}△=1的一个单位1分解,则有 Ba(x)w(x) Ba(Xw(x) X a=1 按积分的线性性,仅需证明成立关系式 dw a∑∩Ua ∑∩Ua 再由 Po(dwa)= d(iowa), a(enua ∑∩U 故需证 d(owwa) Da(aena) 中a(EnUa) 以下分两种情况考虑: 1.当∑∩Ua=时,自然有 (∑nUa) 设a的φ拉回具有如下形式 1x1∧……Ad∧…,∧dxm 式中a(x)lann=0.由 d(o)=∑0(xn) drsn dron…AdaA…Adra . (aa)dr 有 (-1)bsa)、山 drl∧…∧daA…∧dxa i=1 m Ori(aa)dz 2∧ 上式中最后的等式是由于 ua,i(xa,…,xa=±1,…,xa)=0
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 册. 设 {θα(X) ∈ C ∞(Σ; R)} N α=1 为相对于 Σ 的有限开覆盖 {Uα} N α=1 的一个单位 1 分解, 则有 ω(X) = (∑ N α=1 θα(X) ) ω(X) = ∑ N α=1 θα(X)ω(X) =: ∑ N α=1 ωα(X). 按积分的线性性, 仅需证明成立关系式 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ Σ∩Uα dωα, α = 1, · · · , N 再由 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα, ∫ Σ∩Uα dωα = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) ϕ ∗ α(dωα) = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα), 故需证 ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα), α = 1, · · · , N. 以下分两种情况考虑: 1. 当 ∂Σ ∩ Uα = ∅ 时, 自然有 ∫ ∂Σ∩Uα ωα = ∫ ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) ϕ ∗ αωα = 0. 设 ωα 的 ϕ ∗ α 拉回具有如下形式: ϕ ∗ αωα = ∑m i=1 ωα,i(xα)dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α , 式中 ωα,i(xα) ϕ −1 α (∂Σ∩Uα) = 0. 由 d(ϕ ∗ αωα) = ∑m i=1 ∂ωα,i ∂xs α (xα)dx s α ∧ dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α = ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx 1 α ∧ · · · ∧ dx m α , 有 ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα) d(ϕ ∗ αωα) = ∫ ϕ −1 α (Σ∩Uα)=Im ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx 1 α ∧ · · · dx m α = ∑m i=1 (−1)i−1 ∫ Im−1 dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α [∫ Im ∂ωα,i ∂xi α (xα)dx i α ] = ∑m i=1 (−1)i−1 ∫ Im−1 [ ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = 1, · · · , xm α ) − ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = −1, · · · , xm α ) ] dx 1 α ∧ · · · ∧ d ◦ x i α ∧ · · · ∧ dx m α = 0. 上式中最后的等式是由于 ωα,i(x 1 α, · · · , xi α = ±1, · · · , xm α ) = 0, i = 1, · · · , m. 4
微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 当O∑∩UB≠时,有 pWb 0)dx∧…Adr φa(∑nUa) drg d(gwb) (aB)dxB B (∑∩Ua) (xa)dbA…∧d (-1)an(x)drA…∧drB, 上式的第一项可以计算为 (X)=2t)10ua (C.)个3[-2a) ua(xb,…,x=1,…,) 图)drb 最后的等式由于 ( B)=0 第二项为 (x)drA……∧drB °a2(nUa)=l dr吉A…Adm-1(-1y 0)]drbA…∧dr =0drbA…Adra-1 1,xB=0dxA…Ad
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 2. 当 ∂Σ ∩ Uβ ̸= ∅ 时, 有 ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ϕ ∗ βωβ = ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ∑m i=1 ωβ,i(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ d ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β = ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β , ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ) d(ϕ ∗ βωβ) = ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m ∑m i=1 (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β = m∑−1 i=1 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β + ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)m−1 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β , 上式的第一项可以计算为 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β , i = 1, · · · , m − 1 = (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ) dx 1 β ∧ · · · ∧ ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β [∫ 1 −1 (−1)i−1 ∂ωβ,i ∂xi β (xβ)dx i β ] = (−1)i−1 (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ∫ 1 0 ) [ ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = 1, · · · , xm β ) − ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = −1, · · · , xm β ) ] dx 1 β ∧ · · · ∧ d ◦ x i β ∧ · · · ∧ dx m β = 0. 最后的等式由于 ωβ,i(x 1 β , · · · , xi β = ±1, · · · , xm β ) = 0, i = 1, · · · , m − 1. 第二项为 ∫ ϕ −1 β (Σ∩Uβ)=I +m (−1)m−1 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m β = (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β [ (−1)m−1 ∫ 1 0 ∂ωβ,m ∂xm β (xβ)dx m β ] = (−1)m−1 (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) [ ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 1) − ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)] dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β = (−1)m (∫ 1 −1 · · · ∫ 1 −1 ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β = (−1)m ∫ ϕ −1 β (∂Σ∩Uβ) ωβ,m(x 1 β , · · · , xm−1 β , xm β = 0)dx 1 β ∧ · · · ∧ dx m−1 β . 5
微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 13流形上 Stokes公式的旋度流量形式 般地,考虑u∈Am-2(Rm),有表达式 1≤a<B≤m 所以有 dX∧dX1∧…,dXa∧……∧dXBA……AdXm 1≤a<8≤m …)3 dX1∧…dXa∧……∧dX aX adX∧…dX°A…AdXA…AdXm 记du ∑dx1A…Adx2A…AdXm∈Am-1(Rm),故有 2入 另考虑 8ta1⑧ 2 1 相对于i的分量可计算为 1<a1<…<am-2≤mo∈Pm-2 dwa1…am-2 1-a…)-mOX
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 1.3 流形上 Stokes 公式的旋度流量形式 一般地, 考虑 ω ∈ Λ m−2 (R m), 有表达式 ω = ∑ 16α<β6m ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m dX1 ∧ · · · d ◦ Xα ∧ · · · ∧ d ◦ Xβ ∧ · · · ∧ dXm, 所以有 dω = ∑ 16α<β6m ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m ∂Xγ dXγ ∧ dX1 ∧ · · · d ◦ Xα ∧ · · · ∧ d ◦ Xβ ∧ · · · ∧ dXm = ∑ 16α<β6m [ (−1)α−1 ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m ∂Xα dX1 ∧ · · · dXα ∧ · · · ∧ d ◦ Xβ ∧ · · · ∧ dXm + (−1)β ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ β···m ∂Xβ dX1 ∧ · · · d ◦ Xα ∧ · · · ∧ dXβ ∧ · · · ∧ dXm ] . 记 dω = ∑m λ=1 ΩλdX1 ∧ · · · ∧ d ◦ Xλ ∧ · · · ∧ dXm ∈ Λ m−1 (R m), 故有 Ωλ = ∑ 16α<λ (−1)α−1 ∂ω 1··· ◦ α··· ◦ λ···m ∂Xα + ∑ λ<α6m (−1)α ∂ω 1··· ◦ λ··· ◦ α···m ∂Xα . 另考虑 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∇ ⊗ ω) = 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∂ωα1···αm−2 ∂Xµ iµ ⊗ iα1 ⊗ · · · ⊗ iαm−2 ) = 1 (m − 2)!eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ iλ, 相对于 iλ 的分量可计算为 1 (m − 2)!eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ = 1 (m − 2)! ∑ 1<α1<···<αm−26m ∑ σ∈Pm−2 eλµσ(α1)···σ(αm−2) ∂ωσ(α1)···σ(αm−2) ∂Xµ = 1 (m − 2)! ∑ 1<α1<···<αm−26m ∑ σ∈Pm−2 (sgn σ) 2 eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ = ∑ 1<α1<···<αm−26m eλµα1···αm−2 ∂ωα1···αm−2 ∂Xµ = ∑ 16µ<λ e λµ1··· ◦ µ··· ◦ λ···m ∂ω 1··· ◦ µ··· ◦ λ···m ∂Xµ + ∑ λ<µ6m e λµ1··· ◦ λ··· ◦ µ···m ∂ω 1··· ◦ λ··· ◦ µ···m ∂Xµ = ∑ 16µ<λ (−1)λ+µ ∂ω 1··· ◦ µ··· ◦ λ···m ∂Xµ + ∑ λ<µ6m (−1)λ+µ ∂ω 1··· ◦ λ··· ◦ µ···m ∂Xµ . 6
微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 由此,可有 ∑(-1)2 Vow) 综上所示,可得流形上 Stokes的以下形式 定理1.4(流形上 Stokes公式的旋度流量形式).设ω(X)是Rm中m-1维可定向曲面/流 形∑上的(m-2)-形式,则有 此处引入∈Am-2(Rm)的旋度 curly∈Rm,定义为 1 )(ⅴau) 证明 u=(-1)m-1/d=(-1)m-1 ∑(-1)m+A (n,-∑(-1)3 (n, curlu)RI 相对于流形上 Stokes公式的一般形式,旋度流量形式更可视作微积分中 Stokes公式的推广 形式,但旋度流量形式仅适用于有限维 Euclid空间上的曲面/流形.按上所述,对Rm中m-1 维可定向曲面/流形∑上的(m-2)-形式c(X),有关系式 (1)mta(dw)aia=(-1)m- curle Rm. 如对∈A2(R4),计算其旋度为 curly (V∞) 计算其相对于典则基向量的分量,得 dab aw34 aw24 dw23 eluc 34 aw13 次x2=数 1≤a<B≤4 J23 aw13 aw 0X20 1≤a<B≤4 ①郭仲衡著《张量(理论和应用)》中将形式的外微分作为“旋转”,对其再作用 Hodge星算子而获得“旋度”,藉此 推广微积分中旋度算子的定义.本书基于曲面上第二类积分的流量解释推导出Rm中(m-2)-形式的旋度(为Rn 中的向量),并给出了流形上 Stokes公式的旋度流量形式
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 由此, 可有 − ∑m λ=1 (−1)λΩλiλ = 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∇ ⊗ ω). 综上所示, 可得流形上 Stokes 的以下形式. 定理 1.4 (流形上 Stokes 公式的旋度流量形式). 设 ω(X) 是 R m 中 m−1 维可定向曲面/流 形 Σ 上的 (m − 2)-形式, 则有 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ (n, curl ω)Rm , 此处引入 ω ∈ Λ m−2 (R m) 的旋度curl ω ∈ R m, 定义为 curl ω , 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) (∇ ⊗ ω) ➀. 证明 ∫ ∂Σ ω = (−1)m−1 ∫ Σ dω = (−1)m−1 ∫ Σ ( n, ∑m λ=1 (−1)m+λΩλiλ ) Rm = ∫ Σ ( n, − ∑m λ=1 (−1)λΩλiλ ) Rm = ∫ Σ ( n, 1 (m − 2)!ε ( m − 1 · ) ω ) Rm =: ∫ Σ (n, curl ω)Rm . 相对于流形上 Stokes 公式的一般形式, 旋度流量形式更可视作微积分中 Stokes 公式的推广 形式, 但旋度流量形式仅适用于有限维 Euclid 空间上的曲面/流形. 按上所述, 对 R m 中 m − 1 维可定向曲面/流形 Σ 上的 (m − 2)- 形式 ω(X), 有关系式 ∑m α=1 (−1)m+α (dω)αiα = (−1)m−1 curl ω ∈ R m. 如对 ω ∈ Λ 2 (R 4 ), 计算其旋度为 curl ω , 1 (4 − 2)!ε : (∇ ⊗ ω) = 1 2!eλµαβ ∂ωαβ ∂Xµ iλ = ∑ 16α<β6m eλµαβ ∂ωαβ ∂Xµ iλ. 计算其相对于典则基向量的分量, 得 ∑ 16α<β64 e1µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = ∂ω34 ∂X2 − ∂ω24 ∂X3 + ∂ω23 ∂X4 , ∑ 16α<β64 e2µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = − ∂ω34 ∂X1 + ∂ω14 ∂X3 − ∂ω13 ∂X4 , ∑ 16α<β64 e3µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = ∂ω24 ∂X1 − ∂ω14 ∂X2 + ∂ω12 ∂X4 , ∑ 16α<β64 e4µαβ ∂ωαβ ∂Xµ = − ∂ω23 ∂X1 + ∂ω13 ∂X2 − ∂ω12 ∂X3 . ➀ 郭仲衡著《张量 (理论和应用)》中将形式的外微分作为 “旋转”, 对其再作用 Hodge 星算子而获得 “旋度”, 藉此 推广微积分中旋度算子的定义. 本书基于曲面上第二类积分的流量解释推导出 R m 中 (m − 2)-形式的旋度 (为 R m 中的向量), 并给出了流形上 Stokes 公式的旋度流量形式. 7
微分流形上积分学—流形上Soks公式 谢锡麟 2应用事例 事例1(3中二维曲面上的 Stokes公式).当dim∑=2,CR3,有 Stokes公式 W=Wldx +w2dX2+wdx 则有 dw=(er2dxix raxa)Adx+arida ra)aax 0X3 aw aw +avid+avodx ndx awy dwl (ox2 ax3 dx2Adx+axi ar/dx ndr au ax1 aX2 dX1∧dX (dw)1dx ndX+(dw)2dX Adx+(dw)3dX Adx 现/da,可以解释为向量 ax2 ar3) i+/draws dw3 dw2 dwdw a=1 22 axl az2 02/R3 相对于曲面∑的流量而/a可解释为向量 +ws 沿∂∑做功形式的曲线积分.现情形,流形上的 Stokes公式为微积分中R3中 Stokes公式 事例2(R3中体积流形上的 Stokes公式).当dimy=3,ycR3,有 Stokes公式 u1dX2AdX3+a2dX∧dX dX AdX 则有 Imep 3,Ou2 dX1AdX2∧dX3+ Adxadx+3dxndx dX2 ax1 aX2aX3 dxadx-AdX
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 2 应用事例 事例 1 (R 3 中二维曲面上的 Stokes 公式). 当 dim Σ = 2, Σ ⊂ R 3 , 有 Stokes 公式 (−1)2 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω. 设 ω = ω1dX1 + ω2dX2 + ω3dX3 , 则有 dω = ( ∂ω1 ∂X2 dX2 + ∂ω1 ∂X3 dX3 ) ∧ dX1 + ( ∂ω2 ∂X1 dX1 + ∂ω2 ∂X3 dX3 ) ∧ dX2 + ( ∂ω3 ∂X1 dX1 + ∂ω3 ∂X2 dX2 ) ∧ dX3 = ( ∂ω3 ∂X2 − ∂ω2 ∂X3 ) dX2 ∧ dX3 + ( ∂ω3 ∂X1 − ∂ω1 ∂X3 ) dX1 ∧ dX3 + ( ∂ω2 ∂X1 − ∂ω1 ∂X2 ) dX1 ∧ dX2 =: (dω)1dX2 ∧ dX3 + (dω)2dX1 ∧ dX3 + (dω)3dX1 ∧ dX2 . 现 ∫ Σ dω 可以解释为向量 ∑ 3 α=1 (−1)3+α (dω)αiα = ( ∂ω3 ∂X2 − ∂ω2 ∂X3 ) i1 + ( ∂ω1 ∂X3 − ∂ω3 ∂X1 ) i2 + ( ∂ω2 ∂X1 − ∂ω1 ∂X2 ) i3 = i1 i2 i3 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 ω1 ω2 ω3 ∈ R 3 相对于曲面 Σ 的流量. 而 ∫ ∂Σ ω 可解释为向量 ω1i1 + ω2i2 + ω3i3 沿 ∂Σ 做功形式的曲线积分. 现情形, 流形上的 Stokes 公式为微积分中 R 3 中 Stokes 公式. 事例 2 (R 3 中体积流形上的 Stokes 公式). 当 dim V = 3, V ⊂ R 3 , 有 Stokes 公式 (−1)3 ∫ ∂V ω = ∫ V dω. 设 ω = ω1dX2 ∧ dX3 + ω2dX1 ∧ dX3 + ω3dX1 ∧ dX2 , 则有 dω = ∂ω1 ∂X1 dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 + ∂ω2 ∂X2 dX2 ∧ dX1 ∧ dX3 + ∂ω3 ∂X3 dX3 ∧ dX1 ∧ dX2 = ( ∂ω1 ∂X1 − ∂ω2 ∂X2 + ∂ω3 ∂X3 ) dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 . 8
微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 现/a可理解为向量 (1+Wai=w1i1-w2i2+w3i3E 相对于曲面的流量.而/du为上述向量的散度在体积y上的积分.现情形,流形上的 Stokes公式为微积分中 Gauss-Ostrogradskii公式 事例3(R4中三维曲面上的 Stokes公式).当dim∑=3,∑cR+,有 Stokes公式 WaNdA°∧dX W1adX AdX2+w13dxAdx+W14dXAdx4+W23dX2Adx3 +wo4dX2A dx4+w34dXAdX 则有 dw 8Fdx3xaridxadxAdxt(ax2 edX+ Orix)Adx Ada ordo adx Adry andri Mundra)dx2Adx3 dwt dr3dx)adx dry du34dx1+Ou/34 OX OF2dX2)∧dX3∧dX dw23 awe aw ax4 ax ar)dx2Adrndr4 dw13 dwi ax af ar/ dxladx3adx4 dX1∧dX2∧d ax4 aX2 aX dw12 0X3 dX1∧dX2∧d (dw)ldx2AdxAdx+(dw)2dx Adx Adx+(dw )3dx AdxAdx4 +(du)4 dx AdX2∧dX
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 现 ∫ ∂V ω 可理解为向量 ∑ 3 α=1 (−1)3+αωαiα = ω1i1 − ω2i2 + ω3i3 ∈ R 3 相对于曲面 ∂V 的流量. 而 ∫ V dω 为上述向量的散度在体积 V 上的积分. 现情形, 流形上的 Stokes 公式为微积分中 Gauss-Ostrogradskii 公式. 事例 3 (R 4 中三维曲面上的 Stokes 公式). 当 dim Σ = 3, Σ ⊂ R 4 , 有 Stokes 公式 (−1)3 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω. 设 ω = ∑ 16α<β64 ωαβdXα ∧ dXβ = ω12dX1 ∧ dX2 + ω13dX1 ∧ dX3 + ω14dX1 ∧ dX4 + ω23dX2 ∧ dX3 + ω24dX2 ∧ dX4 + ω34dX3 ∧ dX4 , 则有 dω = ( ∂ω12 ∂X3 dX3 + ∂ω12 ∂X4 dX4 ) ∧ dX1 ∧ dX2 + ( ∂ω13 ∂X2 dX2 + ∂ω13 ∂X4 dX4 ) ∧ dX1 ∧ dX3 + ( ∂ω14 ∂X2 dX2 + ∂ω14 ∂X3 dX3 ) ∧ dX1 ∧ dX4 + ( ∂ω23 ∂X1 dX1 + ∂ω23 ∂X4 dX4 ) ∧ dX2 ∧ dX3 + ( ∂ω24 ∂X1 dX1 + ∂ω24 ∂X3 dX3 ) ∧ dX2 ∧ dX4 + ( ∂ω34 ∂X1 dX1 + ∂ω34 ∂X2 dX2 ) ∧ dX3 ∧ dX4 = ( ∂ω23 ∂X4 − ∂ω24 ∂X3 + ∂ω34 ∂X2 ) dX2 ∧ dX3 ∧ dX4 + ( ∂ω13 ∂X4 − ∂ω14 ∂X3 + ∂ω34 ∂X1 ) dX1 ∧ dX3 ∧ dX4 + ( ∂ω12 ∂X4 − ∂ω14 ∂X2 + ∂ω24 ∂X1 ) dX1 ∧ dX2 ∧ dX4 + ( ∂ω12 ∂X3 − ∂ω13 ∂X2 + ∂ω23 ∂X1 ) dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 =: (dω)1dX2 ∧ dX3 ∧ dX4 + (dω)2dX1 ∧ dX3 ∧ dX4 + (dω)3dX1 ∧ dX2 ∧ dX4 + (dω)4dX1 ∧ dX2 ∧ dX3 . 9
微分流形上积分学——流形上 Stokes公式 谢锡麟 现/d,可理解为向量 ∑()+((22-2款)+(款+款) dwl dw12 d24 X2. X4 相对于曲面∑CR4的流量. 事例4( Hamilton力学中的 Liouville定理).再研究 Liouville公式,如图??所示,在相空间 中利用 Stoke公式 (-1)2 dw 式中dim∑=2,∑cR2m+1 w= pdq -Hdt, da=dp∧dq-dH∧da 可计算得 dw= 0 故有 pdq-Hdt+l。pdq-Hdt=0 亦即,有 paq 再由 Stokes公式,有 pq=dp∧dg=常数 3建立路径
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上 Stokes 公式 谢锡麟 现 ∫ Σ dω 可理解为向量 ∑ 4 α=1 (−1)4+α (dω)αiα = ( ∂ω24 ∂X3 − ∂ω23 ∂X4 − ∂ω34 ∂X2 ) i1 + ( ∂ω13 ∂X4 − ∂ω14 ∂X3 + ∂ω34 ∂X1 ) i2 + ( ∂ω14 ∂X2 − ∂ω12 ∂X4 − ∂ω24 ∂X1 ) i3 + ( ∂ω12 ∂X3 − ∂ω13 ∂X2 + ∂ω23 ∂X1 ) i4 相对于曲面 Σ ⊂ R 4 的流量. 事例 4 (Hamilton 力学中的 Liouville 定理). 再研究 Liouville 公式, 如图??所示. 在相空间 中利用 Stoke 公式 (−1)2 ∫ ∂Σ ω = ∫ Σ dω, 式中 dim Σ = 2, Σ ⊂ R 2m+1 , ω = pdq − Hdt, dω = dp ∧ dq − dH ∧ dt. 可计算得 ∫ Σ dω = 0, 故有 ∫ T Γ pdq − Hdt + ∫ ◦ Γ pdq − Hdt = 0, 亦即, 有 ∫ T Γ pdq = 常数. 再由 Stokes 公式, 有 ∫ T Γ pdq = ∫ T S dp ∧ dq = 常数. 3 建立路径 10
