复旦大学：《数学分析》讲稿_赋范线性空间上微分学-05-变分计算

赋范线性空间上微分学——变分计算 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 2一般理论 自变量为函数或向量值映照,因变量为实数的映照也称为泛函;计算泛函的微分即为计算变 分.本部分基于方向导数来计算泛函的变分 2.1一阶变分 2.1.1多元函数 设有(x)∈6(2;R)为多元连续函数,其中!2cRm,研究泛函 a():1(3;R)3d→(d)全 f(a, o(a), Vo(a))da 计算 dd(o(0)=Ded(o\. wa (q+A6)-x() 引入映照 B():R3入→B()全(+A0)=/f(x,0(x)+(x),Vo(am)+vbx)da, 则有 d(9)(0)=,imB()-B(0)_dB 入→0∈R (x,(x),Vo(x)(x)+ avis(z, p(a),Vp(c)A(a))da 进一步,考虑 (, o(), Vo())o(a)da Alo( af\(a)axi\ avio/()0(a)da avio 0/f novi(,p(),V(ae)0()do Oc (ovis)(z)e(az)dz (a)e()da

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学——变分计算 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 2 一般理论 自变量为函数或向量值映照, 因变量为实数的映照也称为泛函; 计算泛函的微分即为计算变 分. 本部分基于方向导数来计算泛函的变分. 2.1 一阶变分 2.1.1 多元函数 设有 ϕ(x) ∈ C 1 (Ω; R) 为多元连续函数, 其中 Ω ⊂ R m, 研究泛函: A (ϕ) : C 1 (Ω; R) ∋ ϕ 7→ A (ϕ) , ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))dx. 计算 dA dϕ (ϕ)(θ) = DθA (ϕ) , lim λ→0∈R A (ϕ + λθ) − A (ϕ) λ . 引入映照 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) , A (ϕ + λθ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x) + λθ(x), ∇ϕ(x) + λ∇θ(x))dx, 则有 dA dϕ (ϕ)(θ) = lim λ→0∈R B(λ) − B(0) λ = dB dλ (0) = ∫ Ω ( ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))θ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂θ ∂xi (x) ) dx. 进一步, 考虑 ∫ Ω ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂θ ∂xi (x)dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ θ ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x) ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x))θ(x)dσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x)dx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x)θ(x)dx, 1

赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 此处利用了6(x)a=0.综上,有 dor (@)(6) af (a, o (a), vo(a)) azi avio (a)e(a)daz 设∈61(2;R)为a()的临界点,由0的任意性,可得 Euler- Lagrange方程 0f(x,(m)Vo(x)-mr(ovo(a)=0 0(0f 或记为 (c)=0. 212多元向量值函数 设d(a)∈62(3;R)为向量值映照,其中ΩcRm,研究泛函 ():62(R)3中口()=/f(x,(x),Vp(m),v(m)d, 计算 lim (φ+A6)-s() do (中)(0)=Da(φ)= A→0∈R 引入 B():R9AB()全(d+A0) f(a, (a)+ A0(a), v(a)+Ave(a),v-o(a)+Ave(a))da, 则有 )(6)=x(0) os6°+afae avio axi aViVi a ar'axi/da f ve+ ⅴ2eda 计算 af_ aeedz=lala ar l av do (a2)eo dz 0/a fo n'avon do-l o2(av, o (x)°dx 0 af vo)(a)°d af (ar) eda, 此处利用了e(a)a=0.计算 1(m)a de a.;oa/ af an aViV; a axj ar'aViVioa/ax3 l ar (av v oo )ago

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 此处利用了 θ(x)   ∂Ω = 0. 综上, 有 dA dϕ (ϕ)(θ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x) ] θ(x)dx. 设 ϕ ∈ C 1 (Ω; R) 为 A (ϕ) 的临界点, 由 θ 的任意性, 可得 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕ ) (x) = 0, 或记为 ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) − ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) = 0. 2.1.2 多元向量值函数 设 ϕ(x) ∈ C 2 (Ω; R n ) 为向量值映照, 其中 Ω ⊂ R m, 研究泛函 A (ϕ) : C 2 (Ω; R n ) ∋ ϕ 7→ A (ϕ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x), ∇2ϕ(x))dx, 计算 dA dϕ (ϕ)(θ) = DθA (ϕ) = lim λ→0∈R A (ϕ + λθ) − A (ϕ) λ , 引入 B(λ) : R ∋ λ 7→B(λ) , A (ϕ + λθ) = ∫ Ω f(x, ϕ(x) + λθ(x), ∇ϕ(x) + λ∇θ(x), ∇2ϕ(x) + λ∇2θ(x))dx, 则有 dA dϕ (ϕ)(θ) = dB dλ (0) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕα θ α + ∂f ∂∇iϕα ∂θα ∂xi + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 θ α ∂xi∂xj ] dx = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ · θ + ∂f ∂∇ϕ · ∇θ + ∂f ∂∇2ϕ · ∇2θ ] dx. 计算 ∫ Ω ∂f ∂∇iϕα ∂θα ∂xi dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα θ α ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x)θ α ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇iϕα θ αdσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x)θ αdx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x)θ αdx = − ∫ Ω [ ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) ] · θdx, 此处利用了 θ(x)   ∂Ω = 0. 计算 ∫ Ω ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 θ α ∂xi∂xj dx = ∫ Ω [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ∂θα ∂xj ) (x) − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x) ∂θα ∂xj (x) ] dx = I ∂Ω n i ∂f ∂∇i∇jϕα ∂θα ∂xj dσ − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj dx = − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj dx, 2

赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 此处利用了va=0.进一步,可有 af O.:vioo aa(a)da (x)e°(x)(x)da axjar'laViVioa 0 2 axjax'laviVioa )(az)e()da an ax'(av v,oa) (ac)e(z)do axjaxioViV;oa /(a)0(a)dx J2 azjar\av v;oa/(a)0(a)da v2φ )(a)(x)n 此处利用了(x)=0.当φ∈2(R)为s()临界点时,由(x)的任意性,可得 Euler-Lagrange方程 o/(2)+ a af azjazi(aV v/)(a)=0,1≤a≤n 也可记为 af v/(a)+ (x)=0∈Rn. 22二阶变分 22.1多元函数 基于泛函的一阶微分 a(o)()=D() 「of (x,以(x),Vm)(x)+、0f av d(z, o(ez), vo(e2)azi(z) daz, 可计算其二阶微分: ()(,m)=Dn。Dsa(q) DEd(o+An)-De 入→0∈R B(入):R3A+B(A=Dc(+A) 0(2,.(2)+Am2),yo()+m(m)() +a,0()+M(,)+Ama))小d

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 此处利用了 ∇θ   ∂Ω = 0. 进一步, 可有 − ∫ Ω ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) ∂θα ∂xj (x)dx = − ∫ Ω ∂ ∂xj [ ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x) ] (x)dx + ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx = − I ∂Ω n j ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dσ + ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx = ∫ Ω ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x)θ α (x)dx =: ∫ Ω [ ∇2 ( ∂f ∂∇2ϕ ) (x) ] · θ(x)dx, 此处利用了 θ(x)   ∂Ω = 0. 当 ϕ ∈ C 2 (Ω; R n ) 为 A (ϕ) 临界点时, 由 θ(x) 的任意性, 可得 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂ϕα − ∂ ∂xi ( ∂f ∂∇iϕα ) (x) + ∂ 2 ∂xj∂xi ( ∂f ∂∇i∇jϕα ) (x) = 0, 1 6 α 6 n, 也可记为 ∂f ∂ϕ − ∇ · ( ∂f ∂∇ϕ ) (x) + ∇2 ( ∂f ∂∇2ϕ ) (x) = 0 ∈ R n . 2.2 二阶变分 2.2.1 多元函数 基于泛函的一阶微分 dA dϕ (ϕ)(ξ) = DξA (ϕ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x), ∇ϕ(x))ξ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x), ∇ϕ(x)) ∂ξ ∂xi (x) ] dx, 可计算其二阶微分: d 2A dϕ2 (ϕ)(ξ, η) = Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R DξA (ϕ + λη) − DξA (ϕ) λ , 作 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) = DξA (ϕ + λη) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ(x, ϕ(x) + λη(x), ∇ϕ(x) + λ∇η(x))ξ(x) + ∂f ∂∇iϕ (x, ϕ(x) + λη(x), ∇ϕ(x) + λ∇η(x)) ∂ξ ∂xi (x) ] dx, 3

赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 则有 DnO DE d(o)= lim B()-B(0)dB d Q ado a2f anas 02 (a)(vn T(a) 00b0v/5(x) v() aOao aVoaVo 式中 R", apavo'davio/(ap8v1g 02f ∈R amoah 02f 02f aV1oaV1% ∈R Ovoavo avian;o 02f 即有 do2(,)= (aa)c|() aoao aVivO 222多元向量值函数 基于泛函的一阶微分 (中)(4)=Da(φ af s(x)+ la aViga ar'aViVi oa ax'ac3 计算其二阶微分 d 2of d(0)m)=Dn0D∈()=A1mR Dsa(φ+n)-Da(φ) 引入 B(入):R3A→B(从)=Da(中+An) af aviga art dViJa axa.c3

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 则有 Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R B(λ) − B(0) λ = dB dλ (0) = ∫ Ω [( ∂ 2f ∂ϕ∂ϕη(x) + ∂ 2f ∂∇iϕ∂ϕ ∂η ∂xi ) ξ(x) + ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇iϕ η(x) + ∂ 2f ∂∇jϕ∂∇iϕ ∂η ∂xj ) ∂ξ ∂xi ] dx = ∫ Ω ( η(x) (∇η) T(x) )   ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ   ( ξ(x) ∇ξ(x) ) dx, 式中 ∇ξ(x) := ( ∂ξ ∂xi (x) ) ∈ R m, ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇iϕ ) = ( ∂ 2f ∂ϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂ϕ∂∇mϕ ) ∈ R 1×m, ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂ϕ) =   ∂ 2f ∂∇1ϕ∂ϕ . . . ∂ 2f ∂∇mϕ∂ϕ   ∈ R m×1 , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂∇jϕ ) =   ∂ 2f ∂∇1ϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂∇1ϕ∂∇mϕ . . . . . . ∂ 2f ∂∇mϕ∂∇1ϕ · · · ∂ 2f ∂∇mϕ∂∇mϕ   ∈ R m×m, 即有 d 2A dϕ2 (ξ, ξ) = ∫ Ω ( ξ(x) (∇ξ) T(x) )   ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ   ( ξ(x) ∇ξ(x) ) dx. 2.2.2 多元向量值函数 基于泛函的一阶微分 dA dϕ (ϕ)(ξ) = DξA (ϕ) = ∫ Ω ( ∂f ∂ϕα ξ α (x) + ∂f ∂∇iϕα ∂ξα ∂xi + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj ) dx, 计算其二阶微分 d 2A dϕ 2 (ϕ)(ξ, η) = Dη ◦ DξA (ϕ) = lim λ→0∈R DξA (ϕ + λη) − DξA (ϕ) λ . 引入 B(λ) : R ∋ λ 7→ B(λ) = DξA (ϕ + λη) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕα ξ α (x) + ∂f ∂∇iϕα ∂ξα ∂xi (x) + ∂f ∂∇i∇jϕα ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj (x) ] dx, 4

赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 有 dB dφ a2f an apsara aoa az2 aVi Vioaga ajai 02f 02n3 +(ab°8 av;oavioa art avk;savio d.rkarj)ari aoav. V;oa aviVi oa arq avpvgo, oa axparg 825a 02 aoao a 8- v2g ,(Vn,(2n)2) av0 p aAvφ aViv2φ vE da, v2φaav2oovφav2oov2g 此处 ov ao lov goy e Roby s )e Rod 0x2 vdovφ( avigaavio3 )∈R(m)x(m =(下)∈mm av20av20avVoo0v vB ∈R(nm)×(nm2) 3应用事例 3.1一般事例 事例1(平面上连接两点之间的最短曲线).考虑泛函 e(2:r=2=(m0)→()=/√到+m y(t) 的最小值 计算一阶变分,有 dr ()E 故有 Euler- Lagrange方程 (t)=0∈

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 有 d 2A dϕ 2 (ϕ)(ξ, η) = dB dλ (0) = ∫ Ω [( ∂ 2f ∂ϕβ∂ϕα η β + ∂ 2f ∂∇iϕβ∂ϕα ∂ηβ ∂xi + ∂ 2f ∂∇j∇iϕβ∂ϕα ∂ 2η β ∂xj∂xi ) ξ α + ( ∂ 2f ∂ϕβ∂∇iϕα η β + ∂ 2f ∂∇jϕβ∂∇iϕα ∂ηβ ∂xi + ∂ 2f ∂∇k∇jϕβ∂∇iϕα ∂ 2η β ∂xk∂xj ) ∂ξα ∂xi + ( ∂ 2f ∂ϕβ∂∇i∇jϕα η β + ∂ 2f ∂∇qϕβ∂∇i∇jϕα ∂ηβ ∂xq + ∂ 2f ∂∇p∇qϕβ∂∇i∇jϕα ∂ 2η β ∂xp∂xq ) · ∂ 2 ξ α ∂xi∂xj ] dx = ∫ Ω ( η T, (∇η) T, (∇2η) T )   ∂ 2f ∂ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂ϕ∂∇2ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇2ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇ϕ ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇2ϕ     ξ ∇ξ ∇2 ξ   dx, 此处 ∇η := ( ∂ηα ∂xi ) ∈ R nm, ∇2η := ( ∂ 2η α ∂xi∂xj ) ∈ R nm2 , ∂ 2f ∂∇ϕ∂ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂ϕβ ) ∈ R (nm)×n , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂∇jϕβ ) ∈ R (nm)×(nm) , ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇2ϕ := ( ∂ 2f ∂∇iϕα∂∇p∇qϕβ ) ∈ R (nm)×(nm2 ) , ∂ 2f ∂∇2ϕ∂∇2ϕ := ( ∂ 2f ∂∇i∇jϕα∂∇p∇qϕβ ) ∈ R (nm2 )×(nm2 ) . 3 应用事例 3.1 一般事例 事例 1 (平面上连接两点之间的最短曲线). 考虑泛函 C 1 ([a, b]; R) : Γ = R 2 ∋ ( x(t) y(t) ) 7→ A (Γ) = ∫ b a √ x˙ 2(t) + ˙y 2(t)dt 的最小值. 计算一阶变分, 有 dA dΓ (Γ)(ξ) = ∫ b a ∂f ∂Γ˙ (Γ˙) ˙ξdt, 故有 Euler-Lagrange 方程 − d dt ( ∂f ∂Γ˙ ) (t) = 0 ∈ R 2 , 5

赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 即有 0n)(2a√+/=0 d dy 所以有 i2+j2 其中cx,cy是常数.故有 dr (x) 由此可得临界曲线为直线 现计算二阶变分,有 dr ()(s, n)=/m arari )sat, 式中 a4 y (2+2)3 可见上述矩阵半正定,即两点之间最短曲线为直线 事例2(相空间中轨迹).考虑泛函 (a6R)3a()以()=亚9(出=( 的最小值 计算一阶变分,有 d dr 式中 af(af ))∈R1 af/af 故有 Euler- Lagrange方程 0fd/0 (t)=0∈ 亦即有 f d/ af ark dt( ai (t)=0,k=1 所以,有 28(x)2-元(9y2)1)m()2-((x)过+92)=0

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 即有    d dt ( ∂f ∂x˙ ) (t) = d dt ( x˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 ) (t) = 0, d dt ( ∂f ∂y˙ ) (t) = d dt ( y˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 ) (t) = 0. 所以有 x˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 (t) = cx, y˙ √ x˙ 2 + ˙y 2 (t) = cy, 其中 cx, cy 是常数. 故有 dy dx (x) = cy cx = const, 由此可得临界曲线为直线. 现计算二阶变分, 有 d 2A dΓ (Γ)(ξ, η) = ∫ b a η˙ T ∂ 2f ∂Γ˙ ∂Γ˙ (Γ˙ ) ˙ξdt, 式中 ∂ 2f ∂Γ˙ ∂Γ˙ (Γ˙ ) =   ∂ 2f ∂x∂˙ x˙ ∂ 2f ∂x∂˙ y˙ ∂ 2f ∂y∂˙ x˙ ∂ 2f ∂y∂˙ y˙   = 1 ( ˙x 2 + ˙y 2) 3 2 ( y˙ 2 −x˙y˙ −x˙y˙ x˙ 2 ) (t), 可见上述矩阵半正定, 即两点之间最短曲线为直线. 事例 2 (相空间中轨迹). 考虑泛函 C 1 ([a, b]; R m) ∋ x(t) 7→ A (x) = ∫ b a 1 2 gij (x) ˙x ix˙ jdt =: ∫ b a f(x, x˙)dt 的最小值. 计算一阶变分, 有 dA dx (x)(ξ) = ∫ b a ( ∂f ∂x ξ + ∂f ∂x˙ ˙ξ ) dt, 式中 ∂f ∂x = ( ∂f ∂xi (x, x˙) ) ∈ R 1×m, ∂f ∂x˙ = ( ∂f ∂x˙ i (x, x˙) ) ∈ R 1×m. 故有 Euler-Lagrange 方程 ∂f ∂x − d dt ( ∂f ∂x˙ ) (t) = 0 ∈ R 1×m, 亦即有 ∂f ∂xk − d dt ( ∂f ∂x˙ k ) (t) = 0, k = 1, · · · , m. 所以, 有 1 2 ∂gij ∂xk (x) ˙x ix˙ j − d dt (gkjx˙ j )(t) = 1 2 ∂gij ∂xk (x) ˙x ix˙ j − ( ∂gkj ∂xi (x) ˙x ix˙ j + gkjx¨ j ) = 0. 6

赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 考虑到相关指标的对称性,有 1/ aoki agni agi 2 arit axj ark (x)22y=9k2+1k 可得 g4w2+g43k2y=2+fr=0 即临界曲线为测地线 事例3(皂膜方程).在不考虑重力的情况下,肥皂膜总是面积极小的曲面.即考虑泛函 6(Dxg;R)3(x,y)→a() 1+c2+c(x,y) f(vode 的极小值 考虑一阶变分 a() (Vo)·Vsda, 式中 vs=(6),=(x 故有 Euler- Lagrange方程 a/ af (x,y)+ a/ af (x,y)+ (x,y)=0 1++ +嗚 由此可得d(x,y)满足的偏微分方程为 Roy=0 进一步,可计算二阶变分 d d(E, m)=Dew avivo sdo, 式中 0o20x000 avalo av y (1++c oy1+2 由于对(x,y)∈Dxy,有 1+c (x,y)∈PSym φy1+

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 考虑到相关指标的对称性, 有 gkjx¨ j + 1 2 ( ∂gkj ∂xi + ∂gki ∂xj − ∂gij ∂xk ) (x) ˙x ix˙ j = gkjx¨ j + Γij,kx˙ ix˙ j = 0. 可得 g lkgkjx¨ j + g lkΓij,kx˙ ix˙ j = ¨x l + Γ l ijx˙ ix˙ j = 0, 即临界曲线为测地线. 事例 3 (皂膜方程). 在不考虑重力的情况下, 肥皂膜总是面积极小的曲面. 即考虑泛函 C 1 (Dxy; R) ∋ ϕ(x, y) 7→ A (ϕ) = ∫ Dxy √ 1 + ϕ2 x + ϕ2 y (x, y)dσ =: ∫ Dxy f(∇ϕ)dσ 的极小值. 考虑一阶变分 dA dϕ (ξ) = ∫ Dxy ∂f ∂∇ϕ (∇ϕ) · ∇ξdσ, 式中 ∇ξ := ( ξx ξy )T , ∂f ∂∇ϕ := ( ∂f ∂∇iϕ ) = ( ∂f ∂ϕx ∂f ∂ϕy ) . 故有 Euler-Lagrange 方程 ∂ ∂x ( ∂f ∂ϕx ) (x, y) + ∂ ∂y ( ∂f ∂ϕy ) (x, y) = ∂ ∂x  √ ϕx 1 + ϕ2 x + ϕ2 y   (x, y) + ∂ ∂y   ϕy √ 1 + ϕ2 x + ϕ2 y   (x, y) = 0, 由此可得 ϕ(x, y) 满足的偏微分方程为 ϕxx(1 + ϕ 2 y ) + ϕyy(1 + ϕ 2 x ) − 2ϕxyϕxϕy = 0. 进一步, 可计算二阶变分 d 2A dϕ2 (ξ, η) = ∫ Dxy (∇η) T ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ∇ξdσ, 式中 ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ = ( ∂ 2f ∂∇iϕ∂∇jϕ ) =   ∂ 2f ∂ϕx∂ϕx ∂ 2f ∂ϕx∂ϕy ∂ 2f ∂ϕy∂ϕx ∂ 2f ∂ϕy∂ϕy   (∇ϕ) = 1 (1 + ϕ2 x + ϕ2 y ) 3 2 ( 1 + ϕ 2 y −ϕxϕy −ϕxϕy 1 + ϕ 2 x ) (x, y). 由于对 ∀ (x, y) ∈ Dxy, 有 ( 1 + ϕ 2 y −ϕxϕy −ϕxϕy 1 + ϕ 2 x ) (x, y) ∈ PSym, 7

赋范线性空间上微分学—变分计算 谢锡麟 且其最大特征值不小于1,故有 (V)T02 avivO v≥V|:=4x+5y,V(x,y)∈Dx 故有 式中 ISh: D sup v az(a, s)+ou(x, y) 可作为61(Dy;R)的范数 综上,可确定临界点为极小值点 32连续介质力学中的应用 本节涉及的弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理,总余能驻值原理的背景源于郭仲衡著 《非线性弹性理论》.按2所述变分的一般计算理论,计算总势能,总余能泛函的变分;并建立数学 中一般方法与力学中实际采用方法之间的关系. 事例4(弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理).考虑泛函 (n)=|。E Je u (pf)/ u·TNda 的驻值,式中∑(E)为总势能密度,E为 Almansi应变张量,u为位移场,Ovt为全部边界av 中满足应力边界条件的部分 计算一阶变分 day 0∑ (E) (pf)iSid du (a)(s) 由 2++()(可2),则有 dr=/e p2 opidgj giOpj+Opidk; Dqk gjok, puk)o,s, di (x++)声 (n+au)s=/n(+)品 Q(kE5=1(①k)sdr=1(F·T)ndr 口(F·T)成5)-(F·T))5d

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 且其最大特征值不小于 1, 故有 (∇ξ) T ∂ 2f ∂∇ϕ∂∇ϕ ∇ξ > |∇ξ| 2 := ξ 2 x + ξ 2 y , ∀(x, y) ∈ Dxy. 故有 d 2A dϕ2 (ξ, ξ) > ∫ Dxy |∇ξ| 2dσ = |Dxy||ξ| 2 1;Dxy , 式中 |ξ|1;Dxy , sup Dxy √    ∂ξ ∂x     2 (x, y) +     ∂ξ ∂y     2 (x, y) 可作为 C 1 (Dxy; R) 的范数. 综上, 可确定临界点为极小值点. 3.2 连续介质力学中的应用 本节涉及的弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理, 总余能驻值原理的背景源于郭仲衡著 《非线性弹性理论》. 按2所述变分的一般计算理论, 计算总势能, 总余能泛函的变分; 并建立数学 中一般方法与力学中实际采用方法之间的关系. 事例 4 (弹性力学有限变形理论中总势能驻值原理). 考虑泛函 A (u) = ∫ ◦ V Σ(E)dτ − ∫ ◦ V u · ( ◦ ρf)dτ − ∫ ∂ ◦ V t u · ◦ T N dσ 的驻值, 式中 Σ(E) 为总势能密度, E 为 Almansi 应变张量, u 为位移场, ∂ ◦ V t 为全部边界 ∂ ◦ V 中满足应力边界条件的部分. 计算一阶变分 dA du (u)(ξ) = ∫ ◦ V ∂Σ ∂Epq (E) dEpq d ◦ iuj ◦ iξjdτ − ∫ ◦ V ∂ui ∂uj ( ◦ ρf)iξjdτ − ∫ ∂ ◦ V t ∂ui ∂uj ◦ T N,iξjdσ = ∫ ◦ V Tpq ∂Epq ∂ ◦ iuj ◦ iξjdτ − ∫ ◦ V ( ◦ ρf) · ξdτ − ∫ ∂ ◦ V t ◦ T N · ξdσ. 由 Epq = 1 2 [ ◦ puq + ◦ qup + ( ◦ puk)( ◦ quk) ] , 则有 ∫ ◦ V Tpq ∂Epq ∂ ◦ iuj ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V Tpq 1 2 ( δpiδqj + δqiδpj + δpiδkj ◦ quk + δqiδkj ◦ puk ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V ( Tij + 1 2 Tiq ◦ quj + 1 2 Tpi ◦ puj ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V ( Tij + Tik ◦ kuj ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V Tik ( δkj + ◦ kuj ) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V (TikFjk) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V (TjkTki) ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V (F · T )ji ◦ iξjdτ = ∫ ◦ V [ ◦ i((F · T )jiξj ) − ◦ i((F · T )ji)ξj ] dτ 8

赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 Ni(F T)jis,do- o5. F ∈·(F.T)·Nd-/∈·(F 综上,有 dor (u)()=-l.·|(FT):口+rfdr+p。·(F·T)·Nda E. TIde d ·(F·T)·+闭+。·(F·T)·N-T aVt dg 上式最后利用了S。=0∈R3.当u为a(u)的临界点时,亦即(u)=0时,有 (F.T).+=0∈R F·T)·N=T 在aVt上 定义3.1.引入变分运算,对 f(x):X3x+f(x)∈Y, 定义 of(a)ad (x)(6x) 由此,对泛函 2(D;R")3以(x)→()会/f(x,d(x),v(x),v2(x)d 有 60(0)6)=+V+ avo:v(o) da 变分运算有如下基本性质 性质31 (6)=6(V 此处o为任意许可的运算 证明考虑映照 的可微性,有 v回(φ+6)=Vod+V⊙6 则有 6(V@)=V@6

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 = I ∂ ◦ V Ni(F · T )jiξjdσ − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ ] dτ = I ∂ ◦ V ξ · (F · T ) · Ndσ − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ ] dτ. 综上, 有 dA du (u)(ξ) = − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ + ◦ ρf ] dτ + I ∂ ◦ V ξ · (F · T ) · Ndσ − I ∂ ◦ V t ξ · ◦ T N dσ = − ∫ ◦ V ξ · [ (F · T ) · ◦ + ◦ ρf ] + I ∂ ◦ V t ξ · [ (F · T ) · N − ◦ T N ] dσ. 上式最后利用了 ξ   ∂ ◦ V u = 0 ∈ R 3 . 当 u 为 A (u) 的临界点时, 亦即 dA du (u) = 0 时, 有    (F · T ) · ◦ + ◦ ρf = 0 ∈ R 3 , (F · T ) · N = ◦ T N , 在∂ ◦ V t上. 定义 3.1. 引入变分运算, 对 f(x) : X ∋ x 7→ f(x) ∈ Y, 定义 δf(x) , df dx (x)(δx). 由此, 对泛函 C 2 (Dx; R n ) ∋ ϕ(x) 7→ A (ϕ) , ∫ Ω f(x, ϕ(x), ∇ϕ(x), ∇2ϕ(x))dx, 有 δA (ϕ) = dA dϕ (ϕ)(δϕ) = ∫ Ω [ ∂f ∂ϕ δϕ + ∂f ∂∇ϕ · ∇(δϕ) + ∂f ∂∇2ϕ · ∇2 (δϕ) ] dx. 变分运算有如下基本性质. 性质 3.1. ∇ } (δϕ) = δ(∇ } ϕ), 此处 } 为任意许可的运算. 证明 考虑映照 ϕ 7→ ∇ } ϕ 的可微性, 有 ∇ } (ϕ + δϕ) = ∇ } ϕ + ∇ } δϕ, 则有 δ(∇ } ϕ) = ∇ } δϕ. 9

赋范线性空间上微分学—一变分计算 谢锡麟 由于变分运算δ表示的是微分,因此在连续介质力学的研究中,关于张量映照微分的结果同 样适用于变分运算. 事例5(弹性力学有限变形理论中总余能驻值原理).考虑泛函 (u,T)= ∑(T)+(口u)·(uD):Tdr 的驻值,式中∑(T)为余能密度,T为第二类 Piola-Kirchof应力张量,u为位移场,OVa为全部 边界OV中满足位移边界条件的部分 应用变分运算,可有 6=6()+6(a)·(u8):T+(8n)(a8:Tdr 6(F·T)·Nda, 式中 6∑(T) ST= E: ST 8u+8日+(u)(u@口):6 (8u):M+(8u)·(a8): 故有 6E(①T)+208u),8:=(u):m+(8u),8):T Bo u).(+u@D: 6T=(ou.F) (口2u)Fs36=(u口):(F·6T) 另处理 1o(6u)-(usd):T=108 6u) (u 8 0)+(0 u).(u D) : T 考虑到 6日=6(8口=6(I+口)=6F, 则有 8u)(us):T=(u8口):(6F·T)

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 变分计算 谢锡麟 由于变分运算 δ 表示的是微分, 因此在连续介质力学的研究中, 关于张量映照微分的结果同 样适用于变分运算. 事例 5 (弹性力学有限变形理论中总余能驻值原理). 考虑泛函 A (u, T ) = ∫ ◦ V [ c Σ(T ) + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : T ] dτ − ∫ ∂ ◦ V u ◦ u · (F · T ) · Ndσ 的驻值, 式中 c Σ(T ) 为余能密度, T 为第二类 Piola-Kirchoff 应力张量, u 为位移场, ∂ ◦ V u 为全部 边界 ∂ ◦ V 中满足位移边界条件的部分. 应用变分运算, 可有 δA = ∫ ◦ V [ δ c Σ(T ) + 1 2 δ ( ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ) : T + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT ] dτ − ∫ ∂ ◦ V ◦ u · δ(F · T ) · Ndσ, 式中 δ c Σ(T ) = d c Σ dT : δT = E : δT = 1 2 [ ◦ ⊗ u + u ⊗ ◦ + ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ] : δT = ( ◦ ⊗ u) : δT + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT . 故有 δ c Σ(T ) + 1 2 ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT = ( ◦ ⊗ u) : δT + ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) : δT = ( ◦ ⊗ u) · (I + u ⊗ ◦ ) : δT = ( ◦ ⊗ u · F ) : δT = ( ◦ iu s )FsjδTij = (u ⊗ ◦ ) : (F · δT ). 另处理 1 2 δ ( ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ) : T = 1 2 [ ( ◦ ⊗ δu) · (u ⊗ ◦ ) + ( ◦ ⊗ u) · (δu ⊗ ◦ ) ] : T = 1 2 [ ( ◦ iδus )( ◦ jus)T ij + ( ◦ ius)( ◦ jδus )T ij] = ( ◦ iδus )( ◦ jus)T ij = ( ◦ jus) [ ( ◦ iδus )T ij] = (u ⊗ ◦ ) : [ (δu ⊗ ◦ ) · T ] . 考虑到 δu ⊗ ◦ = δ(u ⊗ ◦ ) = δ(I + u ⊗ ◦ ) = δF, 则有 1 2 δ [ ( ◦ ⊗ u) · (u ⊗ ◦ ) ] : T = (u ⊗ ◦ ) : (δF · T ). 10