微分流形上微分学—一流形的一般定义 复旦力学谢锡麟 016年4月21日 1知识要素 定义1.1(″中体积形态流形(不带边情形).对McR″,如果存在地图册{φa(xα)∈ 6(Lnm;a(Ln)=:Ua}a=1,其中每个(xa)∈省(1m;Ua)称为流形的坐标卡( chart),实现 Rm中单位方块Lm同ZaCR之间的微分同胚,且有∪Ua=M,则称M为Rm中体积形 态流形 般距离空间中体积形态流形及其坐标卡,如图1所示 由于a(xa)∈6(Im;Ua),(x)∈6∞(Im;UB),故有 f(xa):al(Ua∩U)3atcB(xa)oa(xa)∈R, 实现c1(Ua∩UB)同d( AnuS)之间的微分同胚,亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换 进一步,如有 det DaB(aa)= det (ca)>0,Va,B=1,…,N, arm m 则称流形可定向 定义12(Rm中体积形态流形的边界).对 OM CR,如果存在地图册{φa(xa)∈6∞(Hnm;φa(H Ua}a=1,其中每个φa(xa)∈6∞(Hm;Ua)称为流形边界的坐标卡,实现Rm中半方块Hm同 Uo C rn之间的微分同胚,且有aMc∪Ua,oa(OHm)=Ua∩aM,则称aM为Rm中体积 形态流形的边界 一般距离空间中体积形态流形的边界及其坐标卡,如图2所示 由于da(xa)∈6(Hnm;Ua),o(x)∈∞(Hm;UB),故有 xg(xn):al( Anus)3xa(xa)。(xl)∈R", 实现φa(Ua∩Ua)同(a∩UB)之间的微分同胚,亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形的一般定义 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 定义 1.1 (R m 中体积形态流形 (不带边情形)). 对 M ⊂ R m, 如果存在地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; ϕα(Im) =: Uα} N α=1, 其中每个 ϕα(xα) ∈ C ∞(Im;Uα) 称为流形的坐标卡 (chart) , 实现 R m 中单位方块 Im 同 Uα ⊂ R m 之间的微分同胚, 且有 ∪ N α=1 Uα = M, 则称 M 为 R m 中体积形 态流形. 一般距离空间中体积形态流形及其坐标卡, 如图1所示. 由于 ϕα(xα) ∈ C ∞(Im;Uα), ϕβ(xβ) ∈ C ∞(Im;Uβ), 故有 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) ∋ xα 7→ xβ(xα) , ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) ∈ R m, 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) 之间的微分同胚, 亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换. 进一步, 如有 det Dxβ(xα) = det ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm α . . . . . . ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm α (xα) > 0, ∀ α, β = 1, · · · , N, 则称流形可定向. 定义 1.2 (R m 中体积形态流形的边界). 对 ∂M ⊂ R m, 如果存在地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm; ϕα(Hm) =: Uα} N α=1, 其中每个 ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm;Uα) 称为流形边界的坐标卡 , 实现 R m 中半方块 Hm 同 Uα ⊂ R m 之间的微分同胚, 且有 ∂M ⊂ ∪ N α=1 Uα, ϕα(∂Hm) = Uα ∩ ∂M, 则称 ∂M 为 R m 中体积 形态流形的边界. 一般距离空间中体积形态流形的边界及其坐标卡, 如图2所示. 由于 ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm;Uα), ϕβ(xβ) ∈ C ∞(Hm;Uβ), 故有 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) ∋ xα 7→ xβ(xα) , ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) ∈ R m, 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) 之间的微分同胚, 亦即流形的坐标卡之间自然有光滑变换. 1
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 流形所在的 距离空间 微分流形M Ua= pa(Im) Ua∩Ua EB=% opa(aa) Rm中方块In Rm中方块In dal(Ua∩UB) PB(AnuS) 图1:一般距离空间中体积形态流形及其坐标卡示意 再考虑到OM上坐标卡之间的对应关系 xI cB(aa): o(UanUBnaM)3 →T(ma)=oaoa(a) m-1 以及坐标转换关系 axl axl DaB( axm- azm-( arm arm ax aB
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 Uα = ϕα(Im) Uβ = ϕβ(Im) Uα ∩ Uβ 微分流形 M 流形所在的 距离空间 x 1 α x m α O xα ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) R m 中方块 Im x 1 β x m β O xβ ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) R xβ = ϕ m 中方块 Im −1 β ◦ ϕα(xα) 图 1: 一般距离空间中体积形态流形及其坐标卡示意 再考虑到 ∂M 上坐标卡之间的对应关系 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ ∂M) ∋ x 1 α . . . x m−1 α x m α = 0 7→ xβ(xα) = ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) = x 1 β . . . x m−1 β x m β = 0 , 以及坐标转换关系 Dxβ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) = ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α ∂x1 β ∂xm α . . . . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ∂xm−1 β ∂xm α ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm−1 α ∂xm β ∂xm α ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) 2
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 流形的边界OM 微分流形 Ua∩ CAnOn Rm中半方块 ca1(Ua∩ Ug naM)ca{Un∩U3naM) Rm中半方块Hn OH aH 图2:一般距离空间中体积形态流形的边界及其坐标卡示意 arl arl a x axm-l ax m-I ∈Rmxm axl arm 0 arm 且有 )≥0. 按上述结构,地图册{(a(xa)∈6(Hm;a(Hm)=:Ua)}△=1可诱导地图册{oa(xa)∈ 6(OHm;(OH1m)=:a∩aM)}a=1,就此地图册aM可作为不带边的流形 进一步,当地图册{a(xa)∈6(Hnm;a(Hnm)=:Ua)}a=1可定向,则有 det ax
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 微分流形 M 流形的边界 ∂M Uα = ϕα(Hm) Uβ = ϕβ(Hm) ϕα(∂Hm) Uα ∩ Uβ ∩ ∂M ϕβ(∂Hm) x 1 α xm α O ∂Hm ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ ∂M) R m 中半方块 Hm x 1 β xm β O ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ ∩ ∂M) ∂Hm R m 中半方块 Hm 图 2: 一般距离空间中体积形态流形的边界及其坐标卡示意 = ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α ∂x1 β ∂xm α . . . . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ∂xm−1 β ∂xm α 0 · · · 0 ∂xm β ∂xm α ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) ∈ R m×m, 且有 ∂xm β ∂xm α ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) > 0. 按上述结构, 地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm; ϕα(Hm) =: Uα)} N α=1 可诱导地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(∂Hm; ϕα(∂Hm) =: Uα ∩ ∂M)} N α=1, 就此地图册 ∂M 可作为不带边的流形. 进一步, 当地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Hm; ϕα(Hm) =: Uα)} N α=1 可定向, 则有 det ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) > 0, ∂xm β ∂xm α ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) > 0, 3
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 即说明,地图册{a(xa)∈(OHm;(OHm)=:Ua∩OM)}=1可定向 结合切向量的概念①,流形M的切向量在其边界∂M上具有如下的转换关系 (2…m) m-1 arm 0 axm-I arm)axg ax a axm O. 即有OM的切向量的转换关系 axl drl m一 以及 arm arm ar ar axg- ar dxg 则有同同指向流形M内部或者外部对流形M的切空间中的任意一个基{ar)=1 an指向流形M的内部,则称/2m-1 lari 确定了流形边界∂M的定向或者称流形M的 i=1 定向诱导了流形边界∂M的定向 R3中二维曲面流形的边界的定向,体积流形边界的定向,如图3所示 2应用事例 2.1曲面的流形定义 Rm+1空间中的m维光滑曲面作为流形可有两种定义,分别叙述如下 定义21(m+1中m维光滑曲面(基于微分同胚).对∑cRm+1,如果存在全空间的地图 册{(a(xa)∈6(Im+1;0a(Lm+1)=:Ua)}a=1,其中oa(xa)∈6(1m+1:Ua)为坐标卡,且满足 q4(Ua∩)={x∈Im+lm+1=0}=:Im,以及∪Ua∩E=E,则称∑为Rm+1中m维光 滑曲面 ①关于切向量,请见第??节(第??页)
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 即说明, 地图册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(∂Hm; ϕα(∂Hm) =: Uα ∩ ∂M)} N α=1 可定向. 结合切向量的概念➀, 流形 M 的切向量在其边界 ∂M 上具有如下的转换关系: ( ∂ ∂x1 α · · · ∂ ∂xm−1 α ∂ ∂xm α ) = ( ∂ ∂x1 β · · · ∂ ∂xm−1 β ∂ ∂xm β ) ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α ∂x1 β ∂xm α . . . . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ∂xm−1 β ∂xm α 0 · · · 0 ∂xm β ∂xm α ( x 1 α . . . x m−1 α , 0) 即有 ∂M 的切向量的转换关系: ( ∂ ∂x1 α · · · ∂ ∂xm−1 α ) = ( ∂ ∂x1 β · · · ∂ ∂xm−1 β ) ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm−1 α . . . . . . ∂xm−1 β ∂x1 α · · · ∂xm−1 β ∂xm−1 α ( x 1 α . . . x m−1 α ) 以及 ∂ ∂xm α = ∂x1 β ∂xm α ∂ ∂x1 β + · · · + ∂xm−1 β ∂xm α ∂ ∂xm−1 β + ∂xm β ∂xm α ∂ ∂xm β , 则有 ∂ ∂xm α 同 ∂ ∂xm β 同指向流形 M 内部或者外部. 对流形 M 的切空间中的任意一个基 { ∂ ∂xi α }m i=1 , 当 ∂ ∂xm α 指向流形 M 的内部, 则称 { ∂ ∂xi α }m−1 i=1 确定了流形边界 ∂M 的定向或者称流形 M 的 定向诱导了流形边界 ∂M 的定向. R 3 中二维曲面流形的边界的定向, 体积流形边界的定向, 如图3所示. 2 应用事例 2.1 曲面的流形定义 R m+1 空间中的 m 维光滑曲面作为流形可有两种定义, 分别叙述如下. 定义 2.1 (R m+1 中 m 维光滑曲面 (基于微分同胚)). 对 Σ ⊂ R m+1 , 如果存在全空间的地图 册 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1; ϕα(Im+1) =: Uα)} N α=1, 其中 ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1;Uα) 为坐标卡, 且满足 ϕ −1 α (Uα ∩ Σ) = {x ∈ Im+1|x m+1 = 0} =: Im, 以及 ∪ N α=1 Uα ∩ Σ = Σ, 则称 Σ 为 R m+1 中 m 维光 滑曲面. ➀ 关于切向量, 请见第??节 (第??页). 4
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 图3:R3中二维曲面流形边界及体积流形边界的定向示意 由上述讨论,有 aB(aa): o(anUB)eaaHxB(aa)48 o pa(za)ERm+I 实现( AnuS)同(anUB)之间的微分同胚综上,可考虑 a(za):al(Ua∩Ua∩∑) a(a)=ooa(a)∈R a x axm arm+ rg axB arm ax+ a xm dro axl arm az arm (za,0)∈Rm+1)x(m+1) m+1 是非奇异的,所以
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 X1 X2 X3 O ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 ∂ ∂x1 ∂ ∂x2 ∂ ∂x3 图 3: R 3 中二维曲面流形边界及体积流形边界的定向示意 由上述讨论, 有 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) ∋ xα 7→ xβ(xα) , ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) ∈ R m+1 , 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ) 之间的微分同胚. 综上, 可考虑 xβ(xα) : ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) ∋ x 1 α . . . x m α 7→ xβ(xα) = ϕ −1 β ◦ ϕα(xα) ∈ R m, 而 Dxβ( x 1 α . . . x m α , 0) = ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm α ∂x1 β ∂xm+1 α . . . . . . . . . ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm α ∂xm β ∂xm+1 α ∂xm+1 β ∂x1 α · · · ∂xm+1 β ∂xm α ∂xm+1 β ∂xm+1 α (xα, 0) = ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm α ∂x1 β ∂xm+1 α . . . . . . . . . ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm α ∂xm β ∂xm+1 α 0 · · · 0 ∂xm+1 β ∂xm+1 α (xα, 0) ∈ R (m+1)×(m+1) 是非奇异的, 所以 Dxβ(xα) = ∂x1 β ∂x1 α · · · ∂x1 β ∂xm α . . . . . . ∂xm β ∂x1 α · · · ∂xm β ∂xm α (xα) ∈ R m×m 5
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 也是非奇异的故正(a)实现(a∩UB∩∑)同(Ua∩UB∩E)之间的微分同胚.显见 x(Za)为oa(Ua∩UBn∑)CIm上的单射 Rm+1中m维光滑曲面作为流形及其坐标卡,如图4所示 分流形/Ua元a Xm+1∑ a+1) Rm+1中方块Im+1 Rm+中方块 Im ( Ua nUn∑) φaoa( x日 图4:Rm+1中m维光滑曲面作为流形及其坐标卡示意 定义22(Rm+1中m维光滑曲面(基于列满秩映照).对∑CRm+,如果存在一组映照 {a(x)∈(Im;Rm+1)}△=1,满足: 1.a(xa)为Im上的单射 2. rank Da(aa)=m, Vaa E Im 且有∪o(Lm)=∑,则称∑为Rm+1中m维光滑曲面 定理2.1.Rm艹中m维光滑曲面的微分同胚定义2.1同列满秩映照定义2.2等价 证明基于局部微分同胚存在性定理,证明等价性 1.首先考虑微分同胚定义21,亦即存在{a(xa)∈省(m+1;a(Im+1)}=1作 φa(a)=φ 0)∈Rmn 显然有 (a)oa(za)为Im上的单射;
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 也是非奇异的. 故 xβ(xα) 实现 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) 同 ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) 之间的微分同胚. 显见 xβ(xα) 为 ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) ⊂ Im 上的单射. R m+1 中 m 维光滑曲面作为流形及其坐标卡, 如图4所示. X1 Xm Xm+1 O 微分流形 Σ Uα ∩ Σ Uβ ∩ Σ Uα ∩ Uβ ∩ Σ Uα = ϕα(Im+1) Uβ = ϕβ(Im+1) x 1 α xm α xm+1 α ϕ −1 α (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) R m+1中方块 Im+1 O x 1 β xm β xm+1 β ϕ −1 β (Uα ∩ Uβ ∩ Σ) R m+1 中方块 Im+1 O x 1 β . . . xm β 0 = ϕ −1 β ◦ ϕα( x 1 α . . . xm α 0 ) 图 4: R m+1 中 m 维光滑曲面作为流形及其坐标卡示意 定义 2.2 (R m+1 中 m 维光滑曲面 (基于列满秩映照)). 对 Σ ⊂ R m+1 , 如果存在一组映照 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; R m+1)} N α=1, 满足: 1. ϕα(xα) 为 Im 上的单射; 2. rankDϕα(xα) = m, ∀ xα ∈ Im, 且有 ∪ N α=1 ϕα(Im) = Σ, 则称 Σ 为 R m+1 中 m 维光滑曲面. 定理 2.1. R m+1 中 m 维光滑曲面的微分同胚定义2.1同列满秩映照定义2.2等价. 证明 基于局部微分同胚存在性定理, 证明等价性. 1. 首先考虑微分同胚定义2.1, 亦即存在 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im+1; ϕα(Im+1))} N α=1. 作 ϕα(xα) = ϕα( x 1 α . . . x m α ) , ϕα( x 1 α . . . x m α , 0) ∈ R m+1 , 显然有 (a) ϕα(xα) 为 Im 上的单射; 6
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 (b)rank Dpa=rank a% (a,0)=m,Vxa∈Im 2.现考虑列满秩映照定义2.2,亦即存在{oa(xa)∈6∞(1m;Rm+1)}a=1,而且 aX aX rankDoa(aa)=rank axm axm (ta)=m ax aRmy 0 drm axl 不妨设 (xa)∈Rmxm非奇异,按逆映照定理,有 OXm :|(xa)∈6(B(xa),:|(xa) Xm 由此,可取曲面∑的局部 Monge型表示,亦即 Xm (B(xa))3 )会E(za( ) Xm+(a ∈Rm+1 X)
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 (b) rankDϕα = rank ∂ϕ 1 α ∂x1 α · · · ∂ϕ 1 α ∂xm α . . . . . . ∂ϕ m α ∂x1 α · · · ∂ϕ m α ∂xm α ∂ϕ m+1 α ∂x1 α · · · ∂ϕ m+1 α ∂xm α (xα, 0) = m, ∀ xα ∈ Im. 2. 现考虑列满秩映照定义2.2, 亦即存在 {ϕα(xα) ∈ C ∞(Im; R m+1)} N α=1, 而且 rankDϕα(xα) = rank ∂X1 α ∂x1 α · · · ∂X1 α ∂xm α . . . . . . ∂Xm α ∂x1 α · · · ∂Xm α ∂xm α ∂Xm+1 α ∂x1 α · · · ∂Xm+1 α ∂xm α (xα) = m. 不妨设 ∂X1 α ∂x1 α · · · ∂X1 α ∂xm α . . . . . . ∂Xm α ∂x1 α · · · ∂Xm α ∂xm α (xα) ∈ R m×m 非奇异, 按逆映照定理, 有 X1 . . . Xm (xα) ∈ C ∞(Bλ(xα), X1 . . . Xm (xα)). 由此, 可取曲面 Σ 的局部 Monge 型表示, 亦即 X1 . . . Xm (Bλ(xα)) ∋ X1 . . . Xm 7→ Σ( X1 . . . Xm ) , Σ(xα( X1 . . . Xm )) = X1 . . . Xm (xα X1 . . . Xm ) Xm+1(xα( X1 . . . Xm )) = X1 . . . Xm Xm+1(X1 , · · · , Xm) ∈ R m+1 , 7
微分流形上微分学—流形的一般定义 谢锡麟 可作 X (B(a)) Xm+ ∈R 显见,有 (a)c( )在 (Bx(xa)×R上为单射 arl ax ∈R(m+1)x(m+1)非奇异 Xm+ DXm+r. oFa X X 故亚( )∈ (B(xa))×(-1,1):B(xa)×(-1,1) 3建立路径
微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形的一般定义 谢锡麟 可作 X1 . . . Xm (Bλ(xα)) × R ∋ { X1 . . . Xm , Xm+1} 7→ x( X1 . . . Xm Xm+1 ) , x 1 α . . . x m α (X1 , · · · , Xm) Xm+1 − Xm+1(X1 , · · · , Xm) ∈ R m+1 , 显见, 有 (a) x( X1 . . . Xm Xm+1 ) 在 X1 . . . Xm (Bλ(xα)) × R 上为单射; (b) Dx( X1 . . . Xm Xm+1 ) = − ∂x1 α ∂X1 · · · ∂x1 α ∂Xm . . . . . . ∂xm α ∂X1 · · · ∂xm α ∂Xm 0 DXm+1(X1 , · · · , Xm) 1 ∈ R (m+1)×(m+1) 非奇异. 故 x( X1 . . . Xm Xm+1 ) ∈ C ∞( X1 . . . Xm (Bλ(xα)) × (−1, 1); Bλ(xα) × (−1, 1)). 3 建立路径 8
