高维微分学——隐映照定理 复旦力学谢锡麟 2016年3月15日 1知识要素 1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理 定理1.1( Euclid空间中闭集上的压缩映照定理).设映照∫(x) f(c)∈ 满足f(E)cE,且满足压缩性 a∈[0.,1),有d(f(x),f(y)≤ad(x,y),x,y∈E 此处E为闭集。则有 !x,∈E,满足f(x,) E 证明采用构造型证明.任取co∈Rm,x1:=∫(xo),x2:=∫(x1),…,n+1:=∫(an),…, 以下证{xn} ENCE为基本点列.就此,估计 d(an+1, an)=d(f(an+1), f(en))< ad(an, an-1) d(f(xn-1),f(xn-2)≤a2d(xn-1,n-2)≤ ≤ad(m1,ro) 即有d(xn+1,xn)≤a"d(x1,xo),n∈N 以此,可有 )+…+d(xn+1,n) ≤a+p-ld(x1,xo)+…+a"d(x1,o) a+1d(a1, o 故可有{xn}cRm为基本点列.又由E为闭集,有 ∈E. 再由压缩性,易见∫(x)∈6(E).按连续性的 Heine叙述,有 f(cn)→∫(xo)∈E. ①实际f(x)在E上一致连续
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——隐映照定理 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 Euclid 空间中闭集上的压缩映照定理 定理 1.1 (Euclid 空间中闭集上的压缩映照定理). 设映照 f(x) f(x) : R m ⊃ E ∋ x 7→ f(x) ∈ R m 满足 f(E) ⊂ E，且满足压缩性 ∃α ∈ [0, 1), 有d(f(x), f(y)) 6 αd(x, y), ∀x, y ∈ E 此处 E 为闭集。则有 ∃!x∗ ∈ E, 满足f(x∗) = x∗ ∈ E 证明 采用构造型证明. 任取 x0 ∈ R m, x1 := f(x0), x2 := f(x1), · · · , xn+1 := f(xn), · · · ， 以下证 {xn}n∈N ⊂ E 为基本点列. 就此, 估计 d(xn+1, xn) = d(f(xn+1), f(xn)) 6 αd(xn, xn−1) = αd(f(xn−1), f(xn−2)) 6 α 2 d(xn−1, xn−2) 6 · · · 6 α n d(x1, x0) 即有 d(xn+1, xn) 6 α nd(x1, x0), ∀n ∈ N. 以此, 可有 d(xx+p, xn) 6 d(xn+p, xn+p−1) + · · · + d(xn+1, xn) 6 α n+p−1 d(x1, x0) + · · · + α n d(x1, x0) = α n (α p−1 + · · · + α + 1)d(x1, x0) < α n 1 − α d(x1, x0), 故可有 {xn} ⊂ R m 为基本点列. 又由 E 为闭集, 有 xn → x0 ∈ E. 再由压缩性, 易见 f(x) ∈ C (E) ➀. 按连续性的 Heine 叙述, 有 f(xn) → f(x0) ∈ E. ➀ 实际 f(x) 在 E 上一致连续. 1
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 由于∫(xn)=xn+1,则有f(x0)=xo,亦即xo为不动点 以下证明不动点的唯一性.设彐0,xo∈E,满足∫(xo)=xo,f(xo)=o.考虑到压缩性, 有 d(c0,o)=d(f(c0),f(ao)≤ad(xo,o),a∈[0,1) 故仅可能x0=0∈E 1.2由压缩映照定理获得隐映照定理 引理1.2.对映照 (x,y):Rm×R>%×%3{x,y}→φ(x,y)∈R (x,y)∈81(9x×9y;R),有如下估计 d(x+△x,y)-叭(x,y)kg≤|Dx(m+△x,y)lRxm△alRm,6∈(0,1), 要求闭线段[x,x+△x]∈ 证明考虑单参数直线化,亦即作辅助映照 v(t):[0,13t+p(t):=φ(x+t△c,y)∈ 由于φ(x,y)∈1(9n×9;R),{,x+△∈男,则有v(t)∈(0,1).另有复合向量值映 照可微性定理,有Dv(t)=D2p(x+t△x,y)△x∈R 按向量值映照有限增量估计,有 (m+△m,y)-(m,y)lt=|v(1)-y(0)kt≤|Dvp()lR Dz(x+△x,y)△alg≤|Dφ(x+6△x,y)lxm△lR 式中∈(0,1) 定理1.3(隐映照定理),.设有映照∫(x,y) ∫(x,y):Rn×RnDx×Dy3{x,y}→∫(a,y)∈Rn 满足: 1.f(x,y)∈6(D2×Dy;Rn); 2.3(xo,y)∈DxD使得∫(,y)=0∈R, Dyf(x0,30)∈(Rn;R)可逆, 则有 1.彐B(x0)cDx,B2()cDy,有V∈B(xo),3!y2∈Bl(3)满足∫(x,y-)=0∈Rn, 由此可作(x):B(x0)3m(2)∈R,满足!(x)∈B( f(c,(x))=0∈R
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 由于 f(xn) = xn+1, 则有 f(x0) = x0, 亦即 x0 为不动点. 以下证明不动点的唯一性. 设 ∃xe0, xb0 ∈ E，满足 f(xe0) = xe0, f(xb0) = xb0. 考虑到压缩性， 有 d(xe0, xb0) = d(f(xe0), f(xb0)) 6 αd(xe0, xb0), α ∈ [0, 1) 故仅可能 xe0 = xb0 ∈ E. 1.2 由压缩映照定理获得隐映照定理 引理 1.2. 对映照 ϕ(x, y) : R m × R n ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ ϕ(x, y) ∈ R l , ϕ(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R l ), 有如下估计 |ϕ(x + ∆x, y) − ϕ(x, y)|Rl 6 |Dxϕ(x + θ∆x, y)|Rl×m|∆x|Rm, θ ∈ (0, 1), 要求闭线段 [x, x + ∆x] ∈ Dx. 证明 考虑单参数直线化, 亦即作辅助映照 ψ(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ψ(t) := ϕ(x + t∆x, y) ∈ R l . 由于 ϕ(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R l ), [x, x + ∆x] ∈ Dx, 则有 ψ(t) ∈ C 1 ([0, 1]). 另有复合向量值映 照可微性定理, 有 Dψ(t) = Dxϕ(x + t∆x, y)∆x ∈ R l . 按向量值映照有限增量估计, 有 |ϕ(x + ∆x, y) − ϕ(x, y)|Rl = |ψ(1) − ψ(0)|Rl 6 |Dψ(θ)|Rl = |Dxϕ(x + θ∆x, y)∆x|Rl 6 |Dxϕ(x + θ∆x, y)|Rl×m|∆x|Rm, 式中 θ ∈ (0, 1). 定理 1.3 (隐映照定理). 设有映照 f(x, y) f(x, y) : R m × R n ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ f(x, y) ∈ R n 满足: 1. f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R n ); 2. ∃ (x0, y0 ) ∈ Dx × Dy 使得 f(x, y) = 0 ∈ R n , Dyf(x0, y0 ) ∈ L (R n ; R n )可逆, 则有 1. ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0 ) ⊂ Dy, 有 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ !yx ∈ Bµ(y0 ) 满足 f(x, yx ) = 0 ∈ R n , 由此可作 ξ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ R n , 满足 ξ(x) ∈ Bµ(y0 ), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ R n ; 2
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 2.∈(x)∈61(B1(x0);R) 证明利用压缩映照定理证明隐映照定理. (1)考虑作 中2(y):B2(v)3y→2(y)y-(D,f)-(xo,yo)f(x,y)∈R 可证对x∈Bx(xo),3!y∈B4(3o),满足 ∫(x,yx)=0∈Rn,或者φ2(yx)=y2∈Rn, 此处B(xo)cD2,B1(30)CDy易见,对Ⅴm∈Bx(x0),∫(x,y)=0∈R在B(3o)上的解等 价于φ2(y)在B(o)上的不动点 以下按压缩映照定理进行相关分析.估计 -(y)-yoRn=|φ-(y)-φ-(y0)+φ2(y)-y ≤|2(y)-中(vo)ln+|φ-(vo)- yolen, 按有限增量估计(此处c∈B(xo)为参数)则有 中2(y)-中2(30)lRn≤supDφ2(o+6(y-yo)lnxn·y-ylen,Vy∈B4(0) 6∈(0,1) 考虑到 Do(y)=IRn-(D,f)(ao, yo)Dy f(, y), Vy E Bu(yo), a E Bx(ao), Do(y)lRnxn=IIRn-(Dy f)(o, yo)Dyf(a, y)IRnxn I(D, f)-(ao, yo). [(Dy f)(o, yo)-D,f(a, y)IIrnxn ≤|(Df)-1(x0,y)xn·(Df)(x,30)-Df(x,)xm, 以及f(x,y)∈1(DXDy:R),则彐Bx(x0)∈D,Bn(y)CD(X<A<p),有 1D中(y)knxn<1-a,Vy∈B(30),c∈B(mo) 另估计 中(30)-30len=|3o-(Dyf)-(xo,v)∫(x,3)-3o D,f)-(ao, yo).[f(, yo)-f(ao, yo)Jl <I(Dyf)(ao, yo)lRnxnIf(a, yo)-f(ao, yo)R 则彐B(x0)∈D2(A<,有|2(30)-3n<a 综上,Vc∈Bx(o),y∈Br(3o),有 lo(y)-yoIRn<(1-a)ly-yolRn + au ≤(1-a)+a=
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); R n ). 证明 利用压缩映照定理证明隐映照定理. (1) 考虑作 ϕx (y) : Bµ(y0 ) ∋ y 7→ ϕx (y) , y − (Dyf) −1 (x0, y0 )f(x, y) ∈ R n , 可证对 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ ! yx ∈ Bµ(y0 ), 满足 f(x, yx ) = 0 ∈ R n , 或者ϕx (yx ) = yx ∈ R n , 此处 Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0 ) ⊂ Dy. 易见, 对 ∀ x ∈ Bλ(x0), f(x, y) = 0 ∈ R n 在 Bµ(y0 ) 上的解等 价于 ϕx (y) 在 Bµ(y0 ) 上的不动点. 以下按压缩映照定理进行相关分析. 估计 |ϕx (y) − y0 |Rn = |ϕx (y) − ϕx (y0 ) + ϕx (y0 ) − y0 |Rn 6 |ϕx (y) − ϕx (y0 )|Rn + |ϕx (y0 ) − y0 |Rn , 按有限增量估计 (此处 x ∈ Bλ(x0) 为参数) 则有 |ϕx (y) − ϕx (y0 )|Rn 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx (y0 + θ(y − y0 ))|Rn×n · |y − y0 |Rn , ∀ y ∈ Bµ(y0 ). 考虑到 Dϕx (y) = IRn − (Dyf) −1 (x0, y0 )Dyf(x, y), ∀ y ∈ Bµ(y0 ), x ∈ Bλ(x0), |Dϕx (y)|Rn×n = |IRn − (Dyf) −1 (x0, y0 )Dyf(x, y)|Rn×n = (Dyf) −1 (x0, y0 ) · [(Dyf)(x0, y0 ) − Dyf(x, y)] Rn×n 6 (Dyf) −1 (x0, y0 ) Rn×n · |(Dyf)(x0, y0 ) − Dyf(x, y)|Rn×n , 以及 f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R n ), 则 ∃ Bλe(x0) ⊂ Dx, Bµe(y0 ) ⊂ Dy (λ < λ, e µ < µ e ), 有 |Dϕx (y)|Rn×n < 1 − α, ∀ y ∈ Bµe(y0 ), x ∈ Bλe(x0). 另估计 |ϕx (y0 ) − y0 |Rn = |y0 − (Dyf) −1 (x0, y0 )f(x, y0 ) − y0 |Rn = (Dyf) −1 (x0, y0 ) · [f(x, y0 ) − f(x0, y0 )] Rn 6 |(Dyf) −1 (x0, y0 )|Rn×n |f(x, y0 ) − f(x0, y0 )|Rn , 则 ∃ Bλb(x0) ∈ Dx(λ <b λe), 有 |ϕx (y0 ) − y0 |Rn < αµe. 综上, ∀ x ∈ Bλb(x0), ∀ y ∈ Bµe(y0 ), 有 |ϕx (y) − y0 |Rn < (1 − α)|y − y0 |Rn + αµe 6 (1 − α)µe + αµe = µ, e 3
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 即x∈Bx(x0)有φ-(y)∈Ba(v),Vy∈B(30) 另可有估计 φ(y1)-φ(y2川≤supDφ(y2+6(y1-y2) IRnxnIy1-32lR <(1-a)ly1-y2IRn, Vyl, y2 E B(yo 即对c∈Bx(x0,中2(y)在B(y)上具有压缩性 综上,存在中1(y):B(30)3y→中2(y)∈Rn,满足 中2(y)∈Bn(3o), 2(y)为B(v)上的压缩映照 由于B(y)CRn为闭集,按压缩映照定理,有 v∈B3(xo),3!yn∈B()满足中(yz)=yx 亦即,对Ⅴc∈Bx(o),3!yn∈Ba(0),满足f(x,3z)=0∈R,故可作 (c):Bx(o)3c→5(a)∈R", 满足 s(c)∈Ba(30), f(c,(x)=0∈Rn (2)以下证明￡(x)∈(Bx;R”) 先证连续性,考虑Ⅴx,x+△c∈Bx(xo),估计 (x+△a)-(x)|Rn=|+△x(E(x+△c)-φ(E(m)len ≤|+△((x+△x)-x+△((x)1+|a+ax((x)-中((x) ≤sup|D中x+△x((x)+((x+△x)-(x))kxn(x+△x)-(x)lgn 6∈(0.1) +|中+△((x)-中((m)lnb∈(0,1) (1-a)E(c+△c)-(c)kRn+|a+△x(E(x)-中2(E(x)ln, 即有 E(a+△x)-()n<-|x+△x(E(x)-中2(E(a)Rn 作 d(x,y)会中2(y)=y-(Df)-(ao,3)f(,y),x∈Bx(x0),y∈B(30 且有 Dx(a,y)=-Dy f)(ao, yo). Dxf(a, y), 1D(x,y)lnxn≤M,w∈B(x0),y∈B(o)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 即 ∀ x ∈ Bλb(x0) 有 ϕx (y) ∈ Bµe(y0 ), ∀ y ∈ Bµe(y0 ). 另可有估计 |ϕx (y1 ) − ϕx (y2 )| 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx (y2 + θ(y1 − y2 ))|Rn×n |y1 − y2 |Rn < (1 − α)|y1 − y2 |Rn , ∀ y1 , y2 ∈ Bµe(y0 ), 即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ϕx (y) 在 Bµe(y0 ) 上具有压缩性. 综上, 存在 ϕx (y) : Bµe(y0 ) ∋ y 7→ ϕx (y) ∈ R n , 满足 ϕx (y) ∈ Bµe(y0 ), ϕx (y)为Bµe(y0 )上的压缩映照. 由于 Bµe(y0 ) ⊂ R n 为闭集, 按压缩映照定理, 有 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0 ) 满足ϕx (yx ) = yx . 亦即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0 ), 满足f(x, yx ) = 0 ∈ R n . 故可作 ξ(x) : Bλb(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ R n , 满足 ξ(x) ∈ Bµe(y0 ), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ R n . (2) 以下证明 ξ(x) ∈ C 1 (Bλb; R n ). 先证连续性, 考虑 ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 估计 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn = |ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx (ξ(x))|Rn 6 ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx+∆x(ξ(x)) n R + ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x)) n R 6 sup θ∈(0,1) Dϕx+∆x (ξ(x) + θ(ξ(x + ∆x) − ξ(x))) Rn×n |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn + ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x)) Rn θ ∈ (0, 1) < (1 − α)|ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))|Rn , 即有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn < 1 α |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))|Rn . 作 ϕ(x, y) , ϕx (y) = y − (Dyf) −1 (x0, y0 )f(x, y), ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0 ), 且有 Dxϕ(x, y) = −(Dyf) −1 (x0, y0 ) · Dxf(x, y), |Dxϕ(x, y)|Rn×n 6 M, ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0 ). 4
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 此,可估计 px+△x(E(x)--(E(x)kn=|(x+△,(x)-φ(a,∈(x)lgn =sup|Dx(m+6△a,s(c)·△alR ≤M△a|Rm 综上,有 E(+△c)-()kn<-|4clkm,Vx,m+△a∈Bx(mo) 即得￡(x)在Bx(xo)上的连续性 (3)以下考虑￡(x)在B(x0)上的可微性.已有 ∫(x+△,y+△y)=∫(x,y)+[Df(x,y),Dyf(x,y) +o( )∈Rn =0∈R,此处//△x 1△xm+|△yn,可得 △y)gm×Rn <VAm+1△yn≤E(△cm+|4yen), 故有 Jf(x+△x,y+△y)-f(x,y)-Df(x,y)△x-Df(x,y)△yk<V4rm+1△y1 <(△lkRm+|△yln) 对vx∈Bx(xo),取y=(x)∈Ba(v),则△y=(x+△c)-(c),在|△xlkm和|△yRn很 小时,将有 f(c+△x,(x+△c)-f(c,(x)-Df(,(x)△x-Dyf(,(m)((x+△c) M E(x)n<E(△x|m+1(x+△x)-(x)ln)<E(1+-)△ale 即有 1Df(()△+D,f(a,()(x+△a)-(a)n<=(1+a)△al 所以有 Df(x,(x)·(Dyf)-(x,(c)Dnf(x,(x)△c+E(x+△cx)-(x)lgn (1+2)△ ①实际￡(x)在Bx(xo)上一致连续
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 由此, 可估计 |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))|Rn = |ϕ(x + ∆x, ξ(x)) − ϕ(x, ξ(x))|Rn = sup θ∈(0,1) |Dxϕ(x + θ∆x, ξ(x)) · ∆x|Rn 6 M|∆x|Rm. 综上, 有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn < M α |∆x|Rm, ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 即得 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的连续性➀. (3) 以下考虑 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的可微性. 已有 f(x + ∆x, y + ∆y) = f(x, y) + [Dxf(x, y), Dyf(x, y)] ( ∆x ∆y ) + o( ( ∆x ∆y ) ) ∈ R n . 由 [ lim ∆x ∆y ] →0∈Rm×Rn o( ( ∆x ∆y ) ) ( ∆x ∆y ) Rm×Rn = 0 ∈ R n , 此处 ( ∆x ∆y ) Rm×Rn , √ |∆x| 2 Rm + |∆y| 2 Rn , 可得 o( ( ∆x ∆y ) ) Rn < ε√ |∆x| 2 Rm + |∆y| 2 Rn 6 ε(|∆x|Rm + |∆y|Rn ), 故有 |f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) − Dxf(x, y)∆x − Dyf(x, y)∆y|Rn < ε√ |∆x| 2 Rm + |∆y| 2 Rn < ε(|∆x|Rm + |∆y|Rn ). 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), 取 y = ξ(x) ∈ Bµe(y0 ), 则 ∆y = ξ(x + ∆x) − ξ(x), 在 |∆x|Rm 和 |∆y|Rn 很 小时, 将有 |f(x + ∆x, ξ(x + ∆x)) − f(x, ξ(x)) − Dxf(x, ξ(x))∆x − Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Rn < ε (|∆x|Rm + |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn ) < ε ( 1 + M α ) |∆x|Rm, 即有 |Dxf(x, ξ(x))∆x + Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Rn < ε ( 1 + M α ) |∆x|Rm. 所以有 Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)] Rn < ε ( 1 + M α ) |∆x|Rm. ➀ 实际 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上一致连续. 5
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 上述处理中,利用了Dyf(xo,3o)∈R×可逆,则一开始便可取B(xo),B(yo),使得对Ⅴx∈ Bx(x0),y∈B(30),Dyf(x,y)∈Rnxn可逆 估计 Df)-(x,(x)D-f(x,(x)△m+(x+△)-(x)kn =|(Df)-1(x,E(x)·{Df(x,(x)·(Df)-(a,(x)Dnf(x,(m)△x (a+△x)-E(x)} ≤|Df(x,(x)·[(Df)-1(x,(x)Df(x,(x)△m+(x+4)-(x) I(D, f)-(ac, s(acRUx ≤|Df)-l(x,(x)kxn(1+0)e△arkm, 即有 a(ax+△a)-()+(Dras(),D,r(:(a),△ <|Dnf)-(x,(x)xn(1+ 即有 ￡(x+△x)=E(x)-(Df)-(x,(x)·Df(x,(x)△x+o(4a|x)∈R 亦即(x)在Bx(a0)上可微,且 DE(x)=-(Df)-(x,5(x)·Dnf(x,(x),vx∈Bx(xo 即有E∈61(B1(x0);Rn) 2应用事例 事例1.设 F(au,, w, r, y)=uy+ur+w+ G(u,v, w, r, y)=uo+a+y+1 P=(2,1,0,-1,0)又有F(P)=0,G(P)=0,证明: F=0 1.在点(2,1,0)的某一邻域内能由方程组 定义唯一的函数关系 G=0 ,0, y=g(u,,) 2.求 jacobi矩阵 f, 9 ,U
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 上述处理中, 利用了 Dyf(x0, y0 ) ∈ R n×n 可逆, 则一开始便可取 Bλ(x0), Bµ(y0 ), 使得对 ∀ x ∈ Bλ(x0), y ∈ Bµ(y0 ), Dyf(x, y) ∈ R n×n 可逆. 估计 (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆) − ξ(x) Rn = (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · { Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]} Rn 6 Dyf(x, ξ(x)) · [ (Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x) ] Rn · (Dyf) −1 (x, ξ(x)) Rn×n 6 (Dyf) −1 (x, ξ(x)) Rn×n ( 1 + M α ) ε|∆x|Rm, 即有 1 |∆x|Rn ξ(x + ∆x) − ξ(x) + (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)) · ∆x Rn < (Dyf) −1 (x, ξ(x)) Rn×n ( 1 + M α ) ε, 即有 ξ(x + ∆x) = ξ(x) − (Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x))∆x + o(|∆x|X) ∈ R n , 亦即 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上可微, 且 Dξ(x) = −(Dyf) −1 (x, ξ(x)) · Dxf(x, ξ(x)), ∀ x ∈ Bλb(x0), 即有 ξ ∈ C 1 (Bλb(x0); R n ). 2 应用事例 事例 1. 设 F(u, v, w, x, y) = uy + vx + w + x 2 G(u, v, w, x, y) = uvw + x + y + 1 P0 = (2, 1, 0, −1, 0) 又有 F(P0) = 0, G(P0) = 0，证明： 1. 在点 (2, 1, 0) 的某一邻域内能由方程组 F = 0 G = 0 定义唯一的函数关系 x = f(u, v, w) y = g(u, v, w) 2. 求 Jacobi 矩阵 D(f, g) D(u, v, w) P0 6
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 解.1.定义 uvw+rty 则有 +2 y 1 12 即有Dn1H1 非奇异,则根据隐映照定理 2 2 彐Bx B 有vv∈Bx1 0 e Bu o 0∈R2 y 2.由H =0∈R2可得 y 0∈R2 所以 Dr U+2 UIU W aU y-uUu U-u+2r| -y+u2w+2.rww -r+uww+2ruw 因此 D(, g) 1013 D(22o)|o-3L0-13
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 解. 1. 定义 H u v w , [ x y ] = [ uy + vx + w + x 2 uvw + x + y + 1 ] 则有 H 2 1 0 , [ −1 0 ] = 0，且 D[ x y ]H u v w , [ x y ] = [ v + 2x u 1 1 ] 即有 D[ x y ]H 2 1 0 , [ −1 0 ] = [ −1 2 1 1 ] 非奇异，则根据隐映照定理 ∃ Bλ 2 1 0 , Bµ ([ −1 0 ]) , 有 ∀ u v w ∈ Bλ 2 1 0 , ∃ ! [ x y ] u v w ∈ Bµ ([ −1 0 ]) 满足 H u v w , [ x y ] u v w = 0 ∈ R 2 2. 由 H u v w , [ x y ] u v w = 0 ∈ R 2 可得 D[ u v w ]H + D[ x y ]HD [ x y ] u v w = 0 ∈ R 2 所以 D [ x y ] u v w = − ( D[ x y ]H )−1 D[ u v w ]H = − [ v + 2x u 1 1 ]−1 [ y x 1 vw uw uv ] = − 1 v − u + 2x [ y − uvw x − u 2w 1 − u 2 v −y + u 2w + 2xvw −x + uvw + 2xuw −1 + uv2 + 2xuv ] 因此 D(f, g) D(u, v, w) P0 = 1 3 [ 0 1 3 0 −1 3 ] 7
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 3.进一步可研究隐映照的二阶偏导数,如现有 a U-u+2r 式中x=x(u,v,u)。由此,可有 类似可作处理。 事例2.函数z=z(x,y)由方程 给出。证明 解.考虑 如有Df=F1+F2≠0,则局部有z=2(x,y,即有 0 y 故有 DIlf+D-fDz(a, y)=Fi+F2 +F2+(F1-+F2 0∈R1×2 即有 F1+F2 F1-+F2 +F2 (x,y) F1-+F2 由此可有 F1x-2-F12+F2 F1-+F2
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 3. 进一步可研究隐映照的二阶偏导数，如现有 ∂x ∂w(u, v, w) = u 2 v − 1 v − u + 2x 式中 x = x(u, v, w)。由此，可有 ∂ 2x ∂v∂w(u, v, w) = u 2 (v − u + 2x) − (u 2 v − 1) ( 1 + 2 ∂x ∂v (u, v, w) ) (v − u + 2x) 2 类似可作处理。 事例 2. 函数 z = z(x, y) 由方程 F ( x + z y , y + z x ) = 0 给出。证明： x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z − xy 解. 考虑 f ([x y ] , z) = F ( x + z y , y + z x ) 如有 Dzf = F1 1 y + F2 1 x ̸= 0 ，则局部有 z = z(x, y)，即有 f ([x y ] , z(x, y) ) = 0 故有 D[ x y ]f + DzfDz(x, y) = [ F1 + F2 ( − z x 2 ) F1 ( − z y 2 ) + F2 ] + ( F1 1 y + F2 1 x ) [ ∂z ∂x(x, y) ∂z ∂y (x, y) ] = 0 ∈ R 1×2 即有 ∂z ∂x(x, y) = − F1 + F2 ( − z x 2 ) F1 1 y + F2 1 x ∂z ∂y (x, y) = − F1 ( − z y 2 ) + F2 F1 1 y + F2 1 x 由此可有 x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = − F1x − F2 z x − F1 z y + F2y F1 1 y + F2 1 x = z − xy 8
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 由 02(x,)s、h+(2 F1-+F2 式中 F1=F1 y F2=F2(x+ a(a, y) (a, y) 进一步可以计算 :(-)(n+)-(-) 式中 F1-F2 Oy 22+ao aF1「OF2 x2)=y y 其中 az aF 10z (, y)= Fll aF y)=F2 +F21+ dy (a2)(x0=(0 类似可作其它处理。 事例3.证明:由方程 y=ro(a)+v(a) 定义的隐函数z=2(x,y)满足方程 ()器-2+()m=0 解.设f =x0(x)+v(x)-y∈R,当有D2f=x(x)+v(x)≠0,则局部有 z=z(x,y),亦即有 (x,y))=0∈R 故有 Dr=f+ D: Dz(a,y)=[o-11+(aro(a)+v(2) anb|=0∈2x 0z0
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 注：由 ∂z ∂x(x, y) = − F1 + F2 ( − z x 2 ) F1 1 y + F2 1 x 式中 F1 = F1 ( x + z(x, y) y , y + z(x, y) x ) F2 = F2 ( x + z(x, y) y , y + z(x, y) x ) 进一步可以计算 ∂ 2 z ∂y∂x = − ∂ ∂y ( F1 − F2 z x 2 ) ( F1 1 y + F2 1 x ) − ( F1 − F2 z x 2 ) ∂ ∂y ( F1 1 y + F2 1 x ) ( F1 1 y + F2 1 x )2 式中 ∂ ∂y ( F1 − F2 z x 2 ) = ∂F1 ∂y − [ ∂F2 ∂y z x 2 + F2 ∂ ∂y ( z x 2 ) ] 其中 ∂F1 ∂y (x, y) = F11 y ∂z ∂y − z y 2 + F12 ( 1 + 1 x ∂z ∂x) ∂F2 ∂y (x, y) = F21 y ∂z ∂y − z y 2 + F22 ( 1 + 1 x ∂z ∂y) ∂ ∂y ( z x 2 ) (x, y) = 1 x 2 ∂z ∂y (x, y) 类似可作其它处理。 事例 3. 证明：由方程 y = xϕ(z) + ψ(z) 定义的隐函数 z = z(x, y) 满足方程 ( ∂z ∂y)2 ∂ 2 z ∂x2 − 2 ∂z ∂x ∂z ∂y ∂ 2 z ∂x∂y + ( ∂ 2 z ∂x )2 ∂ 2 z ∂y2 = 0 解. 设 f ([x y ] , z) = xϕ(z) + ψ(z) − y ∈ R，当有 Dzf = xϕ′ (z) + ψ ′ (z) ̸= 0，则局部有 z = z(x, y)，亦即有 f ([x y ] , z(x, y) ) = 0 ∈ R 故有 D[ x y ]f + DzfDz(x, y) = [ϕ − 1] + ( xϕ′ (z) + ψ ′ (z) ) [ ∂z ∂x ∂z ∂y ] = 0 ∈ R 1×2 9
高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 即有 y) o(a)+v(a y) ro(2)+v(z) 进一步可有 d(2)(xd(2)+v(2)-(2)(“(2)+x"((”2D) (x(x2)+v(z)) _2(xd(2)+v(2)0(2)d(2)-(xo"(2)+v"(2)2(2) (xo(a)+y/(a)3 az /(a0(2)+0()2=(a0()+( o"(2)-+v"() rp"(2)+v"(z) d(x)+xo"(2)x+v"(x) az (x2(x)+d(2)v(x)-(xo(2)v"(x)+p(x)u"(2)) (x(z)+v(z)3 则可有 02)a2z(a=￥)2B2z_2(x(2)+v()o(2)d(2)-(xo()+y"(=)2(2) (xo(2)+v(z))5 另有 29202P3=2(xo(x)+v()0((2-(ao()+y)( ar ay dxdy (xφ(x)+v(x)° 即得证 事例4.证明:由方程 y z=a +-+f(a y 定义的隐函数z=x(x,y)满足方程 0z0 1 解.引入 之-ax f(a) 有 y fla F 0202+f"()
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 即有 ∂z ∂x(x, y) = − ϕ(z) xϕ′(z) + ψ′(z) ∂z ∂y (x, y) = 1 xϕ′(z) + ψ′(z) 进一步可有 ∂ 2 z ∂x2 (x, y) = − ϕ ′ (z) ∂z ∂x(xϕ′ (z) + ψ ′ (z)) − ϕ(z) ( ϕ ′ (z) + xϕ′′(z) ∂z ∂x + ψ ′′(z) ∂z ∂x) (xϕ′(z) + ψ′(z))2 = 2(xϕ′ (z) + ψ ′ (z))ϕ(z)ϕ ′ (z) − (xϕ′′(z) + ψ ′′(z))ϕ 2 (z) (xϕ′(z) + ψ′(z))3 ∂ 2 z ∂y2 (x, y) = − xϕ′′(z) ∂z ∂y + ψ ′′(z) ∂z ∂y (xϕ′(z) + ψ′(z))2 = − xϕ′′(z) + ψ ′′(z) (xϕ′(z) + ψ′(z))3 ∂ 2 z ∂x∂y (x, y) = − ϕ ′ (z) + xϕ′′(z) ∂z ∂x + ψ ′′(z) ∂z ∂x (xϕ′(z) + ψ′(z))2 = − (xϕ′2 (z) + ϕ ′ (z)ψ ′ (z)) − (xϕ(z)ψ ′′(z) + ϕ(z)ψ ′′(z)) (xϕ′(z) + ψ′(z))3 则可有 ( ∂z ∂y) ∂ 2 z ∂x2 + ( ∂z ∂x)2 ∂ 2 z ∂y2 = 2 (xϕ′ (z) + ψ ′ (z))ϕ(z)ϕ ′ (z) − (xϕ′′(z) + ψ ′′(z))ϕ 2 (z) (xϕ′(z) + ψ′(z))5 另有 2 ∂z ∂x ∂z ∂y ∂ 2 z ∂x∂y = 2 (xϕ′ (z) + ψ ′ (z))ϕ(z)ϕ ′ (z) − (xϕ′′(z) + ψ ′′(z))ϕ 2 (z) (xϕ′(z) + ψ′(z))5 即得证。 事例 4. 证明：由方程 z = αx + y α + f(α) 0 = x − y α2 + f ′ (α) 定义的隐函数 z = z(x, y) 满足方程 ∂z ∂x ∂z ∂y = 1 解. 引入 F ([x y ] , [ z α ]) = z − αx − y α − f(α) x − y α2 + f ′ (α) 有 D[ z α ] F = 1 −x + y α2 − f ′ (α) 0 y 2α2 + f ′′(α) 10