线性代数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程糸 光华楼东主楼1109Tel:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
问题:非齐次线性方程组AX=b的所有解向量 是否构成R上的线性空间? 否,因为对线性运算不封闭: >设X1X1是解向量,则 A=b AX=b 但A(X1+X2)=AX1+AX2=2b≠b 对加法运算不封闭,因此不能构成Rn上的 线性空间
问题：非齐次线性方程组 AX=b 的所有解向量 是否构成 Rn 上的线性空间？ ➢ 否，因为对线性运算不封闭： ➢ 设 X1 X1 是解向量，则 A X1 = b , A X2 = b 但 A（X1 + X2 ）= A X1 + A X2 = 2b b ➢ 对加法运算不封闭，因此不能构成 Rn 上的 线性空间
、过渡矩阵与坐标变换公式 区定义4,6:设s12,…,En和ε'1,2,…,E'n是n 维线性空间ⅴ中的两个基,且有: 1>c2 则称矩阵M为由基E1,a2,…,En到基 ,c'2,…,eln的过渡矩阵 transition matrix) E1=m11+m21E2+…+mnEn 12 2=m1281+m2E2+…+mn26nM=/m2…m2n E=m,E1+m2,E2+…+mnE nnn×n
三、过渡矩阵与坐标变换公式 定义 4.6: 设 ε1 , ε2 , ..., εn 和 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 是 n 维线性空间 V 中的两个基，且有： [ ' 1 , ' 2 , , ' n ] =[ 1 , 2 , , n ]M 则称矩阵 M 为由基ε1 , ε2 , ..., εn 到 基 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 的过渡矩阵(transition matrix). = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n m m m m m m m m m 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ' ' ' = n n nn n n n n M m m m m m m m m m 1 2 21 22 2 11 12 1
区定理4,3:设E'1,E2,…,E'n和 l2…8 是n维线性空间V中的两个基,且有: ,En]=[E1,E2…,En] 则(1)过渡矩阵M是可逆的; (2)若a∈V,且在基ε1,a2,…,n和 e'1,E'2,…,'n下的坐标分别为x1,x2, 和 x1,x2…,x2nT,则有x x2(25)
定理 4.3: 设 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 和ε1 , ε2 , ..., εn 是 n 维线性空间 V 中的两个基，且有： 则 [ ' 1 , ' 2 , , ' n ] =[ 1 , 2 , , n ] M (1) 过渡矩阵 M 是可逆的； (2) 若 α∈V，且在基 ε1 , ε2 , ..., εn 和 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 下的坐标分别为 [x1,x2,...,xn ] T 和 [x'1,x'2,...,x'n ] T ，则有 (2.5) ' ' ' 2 1 2 1 = n n x x x M x x x
四、线性子空间的维数与基 基维数/坐标等概念也可以应用到线性子空间 定理4,4:设a1,a2,…,1与B1,B2,…,B 是线性空间V中的两个向量组。 (1)L(a1a2,…,a1)=L(B1,B2,…,Bs) 的充分必要条件是a1,a2,…,a与 β1,B2,…,B,等价; (2)L(a,a2,…,a1)的维数等于向量组 1, 的秩
四、线性子空间的维数与基 ➢ 基/维数/坐标等概念也可以应用到线性子空间． 定理 4.4: 设α1, α2 , ... , αl 与 β1 , β2 , ... , βs 是线性空间 V 中的两个向量组。 (1) L(α1, α2 , ... , αl ) = L(β1 , β2 , ... , βs ) 的充分必要条件是α1, α2 , ... , αl 与 β1 , β2 , ... , βs 等价; (2) L(α1, α2 , ... , αl ) 的维数等于向量组 α1, α2 , ... , αl 的秩
§4.3欧几里德( uclid)空间 、欧几里德空间的定义及基本性质 区定义4,7:引入内积后的有限维实线性空间 就是欧氏空间. 常定义内积( nner/ dot/scalar product)如下 实數 (a, B)=a,6,+a,b2+.+a,b,=aB (f, g)= f(x)g(x)dx
§4.3 欧几里德(Euclid)空间 一、欧几里德空间的定义及基本性质 定义 4.7:引入内积后的有限维实线性空间 就是欧氏空间. ➢ 常定义内积 (inner/dot/scalar product) 如下 T 实数 ( , ) = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn = = b a ( f , g) f (x) g(x)dx
区内积的基本性质: 对称性 (1)(a,β)=(β,a); (2)(ka,B)=k(α,β) (2、3)线性性 (3)(a+β,y)=(a,γ)+(B,y); (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0 恒正性
内积的基本性质： (1) (α,β) = (β,α)； (2) (kα,β) = k(α,β)； (3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ)； (4) (α,α)≥0 ，当且仅当α=0 时(α,α)= 0 . 对称性 (2、3)线性性 恒正性
二、向量的长度与夹角 >有了内积的定义,可以进一步给出欧氏空间内 向量的长度与向量间夹角的定义 区定义4,8:设a是欧氏空间V的一个向量, 称非负实数 a,a)长度为的向量:单位向量 为向量a的长度( ength)或模或范数 norm, 2范数),记为:‖a 区有了范数就可以度量:度量向量间距离的远近, 度量向量的长度,度量误差的大小
二、向量的长度与夹角 ➢ 有了内积的定义，可以进一步给出欧氏空间内 向量的长度与向量间夹角的定义. 定义 4.8: 设α是欧氏空间 V 的一个向量， 称非负实数 为向量α的长度(length) 或模或范数 (norm，2范数) ，记为: (,) || || 长度为1的向量:单位向量. 有了范数就可以度量：度量向量间距离的远近， 度量向量的长度，度量误差的大小
长度的基本性质: (1)正定性:|l|≥0;且‖叫=0台a=6; (2)齐次性:|kc|=|klc(k∈R) (3)三角不等式:|la+B≤|ll+|f 区定理4,5:柯西一施瓦茨不等式 Cauchy-Schwartz Inequality) 对于欧氏空间V中任意两个向量a,B,恒有 (a,B)≤af(32) 当且仅当a与线性相关时等号成立
长度的基本性质： (3) 三角不等式: || + || |||| + ||||. (1) 正定性: |||| 0; 且|||| = 0 = ; (2) 齐次性: ||k|| = |k|·|||| (kR); 定理 4.5: 柯西—施瓦茨不等式(Cauchy-Schwartz Inequality): 对于欧氏空间 V 中任意两个向量 ， ，恒有 (,) (3.2) 当且仅当 与 线性相关时等号成立
区定义49:设aB是欧氏空间中的两个非零向量 定义a,B的夹角为 (a,B) p= arccos ,0≤s丌 区定义4,10:若(a,B)=0,即φ=x/2,则称o与B 正交或垂直,记为a⊥月
定义, 的夹角为 = arccos (, ) ||||·|||| , 0 定义 4.9:设, 是欧氏空间中的两个非零向量 定义 4.10: 若(, ) = 0, 即 = / 2, 则称与 正交或垂直 ，记为 ⊥